專題3.8 勾股定理的逆定理（直通中考）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題3.8勾股定理的逆定理（直通中考）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2018·江蘇南通·中考真題）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，122．（2018·山西·統(tǒng)考中考真題）“算經(jīng)十書”是指漢唐一千多年間的十部著名數(shù)學(xué)著作，它們曾經(jīng)是隋唐時期國子監(jiān)算學(xué)科的教科書，這些流傳下來的古算書中凝聚著歷代數(shù)學(xué)家的勞動成果．下列四部著作中，不屬于我國古代數(shù)學(xué)著作的是（）A． B．C． D．3．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（

）A．4 B．8 C．12 D．164．（2021·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈尺，）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺5．（2019·湖北咸寧·統(tǒng)考中考真題）勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”．我國對勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，他用來證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會選它作為會徽．下列圖案中是“趙爽弦圖”的是（

）A． B． C． D．6．（2012·浙江寧波·中考真題）勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）A．90B．100C．110 D．1217．（2007·江蘇泰州·中考真題）如圖，王大伯家屋后有一塊長12m，寬8m的矩形空地，他在以長邊BC為直徑的半圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時拴A處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長可以選用（）A．3m B．5m C．7m D．9m8．（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）平面內(nèi)，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線，其中可以繞點任意旋轉(zhuǎn)，保持，將，兩點用繃直的皮筋連接，設(shè)皮筋長度為，則不可能是（）

A．3 B．5 C．7 D．89．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)校考模擬預(yù)測）圖1、圖2的兩個正方形網(wǎng)格的面積分別為、，正方形、滿足，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．10．（2017·廣東·統(tǒng)考一模）五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（）A．B．C． D．二、填空題（本大題共9小題，每小題4分，共36分）11．（2020·湖南婁底·中考真題）由4個直角邊長分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積與4個直角三角形的面積的和證明了勾股定理，還可以用來證明結(jié)論：若、且為定值，則當_______時，取得最大值．12．（2013·福建莆田·中考真題）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是___．13．（2011·貴州遵義·中考真題）.如圖，圓柱底面半徑為，高為，點分別是圓柱兩底面圓周上的點，且、在同一母線上，用一棉線從順著圓柱側(cè)面繞3圈到，求棉線最短為_________．14．（2013·山東東營·中考真題）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為_______m（容器厚度忽略不計）．15．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=________．16．（2020·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：中，，，，則的長為______．17．（2022·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若的三邊長a，b，c滿足，則是____________．18．（2022·浙江舟山·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是_____寸．19．（2020·福建·校聯(lián)考零模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引酸赴岸，適與岸齊．問水深，葭長幾何”意思是有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好達到池邊的水面水的深度是__________，這根蘆葦?shù)拈L度是___________（l丈=10尺，1尺）三、解答題20（10分）．（2018·山西·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm．（1）作出△ABC的高線CD（保留痕跡，不寫作法）；（2）求CD的長．21（10分）．（2021·湖南張家界·統(tǒng)考一模）如圖，小亮發(fā)現(xiàn)升旗的繩子放下時，末端剛好接觸到地面處，但將繩子末端拉到距離旗桿米的處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面米．求旗桿的高度．22.（10分）（2018·山西·統(tǒng)考一模）如圖，是由6個大小相同的小正方形組成的方格．（1）如圖1，A、B、C是三個格點，判斷AB與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，直接寫出∠α＋∠β的度數(shù)．23．（12分）（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．24．（12分）（2020·湖北黃石·?？寄M預(yù)測）如圖是一個可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到床面之上了（這里的A、B、C、D各點都是活動的）．活動床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計而成的，其折疊過程可用如圖的變換反映出來，如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時，才能實現(xiàn)上述的折疊變化？參考答案1．A【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形．最長邊所對的角為直角．由此判定即可．解：A、∵32+42=52，∴三條線段能組成直角三角形，故A選項正確；B、∵22+32≠42，∴三條線段不能組成直角三角形，故B選項錯誤；C、∵42+62≠72，∴三條線段不能組成直角三角形，故C選項錯誤；D、∵52+112≠122，∴三條線段不能組成直角三角形，故D選項錯誤；故選：A．【點撥】考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形．2．B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)常識逐一判別即可得．解：A、《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，作者已不可考，它是經(jīng)歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現(xiàn)今定本的；B、《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作；C、《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者編撰的最早一部測量數(shù)學(xué)著作，由劉徽于三國魏景元四年所撰；D、《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，是算經(jīng)的十書之一，中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作；故選B．【點撥】本題主要考查數(shù)學(xué)常識，解題的關(guān)鍵是了解我國古代在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就．3．B【分析】根據(jù)圖形分析可得小正方形的邊長為兩條直角邊長的差，據(jù)此即可求解．解：圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是．故選B．【點撥】本題考查了以弦圖為背景的計算題，理解題意是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.解：設(shè)水池里的水深為x尺，由題意得：解得：x=12故選：C.【點撥】本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理并能根據(jù)勾股定理正確的列出對應(yīng)的方程式解題的關(guān)鍵.5．B【分析】“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．解：“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示：故選B.【點撥】本題主要考查了勾股定理的證明，證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．6．C解：如圖，延長AB交KF于點O，延長AC交GM于點P，所以四邊形AOLP是正方形，邊長AO=AB+AC=3+4=7，所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此矩形KLMJ的面積為10×11=110．故選：C．7．A解：連接OA，交⊙O于E點，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以O(shè)A==10；又OE=OB=6，所以AE=OA-OE=4．因此選用的繩子應(yīng)該不大于4，故選A．8．D【分析】連接，根據(jù)勾股定理可得的長，在分兩種情況討論即可；解：連接，則．如圖1，當點在線段上時，；

如圖2，當點在的延長線上時，，∴的取值范圍為，故選：D．【點撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出．9．D【分析】假設(shè)第一正方形網(wǎng)格邊長為，第二個網(wǎng)格正方形邊長為，然后根據(jù)勾股定理可得到，，然后利用計算即可得到和的比值．解：設(shè)第一正方形網(wǎng)格邊長為，第二個網(wǎng)格正方形邊長為，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：D【點撥】本題主要考查網(wǎng)格中面積的計算和勾股定理，利用勾股定理用網(wǎng)格的邊長表示正方形面積，然后轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格正方形面積的比值是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．解：A、，，，故A不正確，不符合題意；B、，，故B不正確，不符合題意；C、，，故C正確，符合題意；D、，，故D不正確，不符合題意．故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．11．=【分析】設(shè)為定值，則，先根據(jù)“張爽弦圖”得出，再利用平方數(shù)的非負性即可得．解：設(shè)為定值，則由“張爽弦圖”可知，即要使的值最大，則需最小又當時，取得最小值，最小值為0則當時，取得最大值，最大值為故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平方數(shù)的非負性，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．12．10解：如圖，根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得：A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，∵正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2，∵最大的正方形E的面積S3=S1+S2=2+5+1+2=10．故答案為：10．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵熟練運用勾股定理的發(fā)現(xiàn)的來源．13．【分析】將圓柱體展開，然后利用兩點之間線段最短解答即可.解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運動最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為2cm，∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2π×2=4πcm；又∵圓柱高為9πcm，∴小長方形的一條邊長是3πcm；根據(jù)勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；∴AC+CD+DB=15πcm；故答案為15π．【點撥】本題主要考查了圓柱的計算、平面展開--路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．14．1.3．解：因為壁虎與蚊子在相對的位置，則壁虎在圓柱展開圖矩形兩邊中點的連線上，如圖所示要求壁虎捉蚊子的最短距離，實際上是求在EF上找一點P，使PA+PB最短，過A作EF的對稱點，連接，則與EF的交點就是所求的點P．過B作于點M，在中，，，∴．∵，∴壁虎捉蚊子的最短距離為1.3m．15．12解：由題意得，正方形EFGH的面積為4，則4個直角三角形的面積和為4-，則正方形ABCD的面積為4+4-，所以S1+S2+S3=4+4-S3+4+S3=12．故答案為12．16．4.55【分析】設(shè)AC=x，可知AB=10-x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．解：如圖，設(shè)AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2．解得：x=4.55，即AC=4.55．故答案為：4.55．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．17．等腰直角三角形【分析】根據(jù)平方的結(jié)果是非負數(shù)、絕對值的結(jié)果為非負數(shù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定進行判定即可．解：∵又∵、∴、∴、∴是等腰直角三角形故答案為：等腰直角三角形．【點撥】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知識點，解答此題的關(guān)鍵是得出、．18．101【分析】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案為：101【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．4【分析】如圖所示，根據(jù)題意，可知的長為10尺，則＝5尺，設(shè)出AB＝＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB＝＝x尺，則水深A(yù)C＝（x﹣1）尺，∵＝10尺，∴＝5尺，在Rt中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，蘆葦長13尺，∵12尺＝4m，13尺＝m，故答案為：4，．【點撥】本題考查主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．20．（1）詳見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)過直線外一點作一條直線垂直于已知直線的方法作圖即可；（2）先用勾股定理的逆定理判定△ABC的形狀，再用面積法求斜邊上的高即可．解：（1）以C為圓心，以大于C到AB的距離為半徑畫弧，交AB于M、N兩點；分別M、N為圓心，大于MN為半徑畫弧，兩弧交于E點，作射線AE交AB于D點，線段就是所求作的圖形．

（2）∵，，，，∴，∴是直角三角形，為斜邊，在中，，即，∴．【點撥】本題考查的是尺規(guī)作圖-過直線外一點作一條直線垂直于已知直線及勾股定理的逆定理，掌握尺規(guī)作圖的方法、勾股定理的逆定理及用三角形的面積法求高是關(guān)鍵．21．米【分析】如圖：作于點，由題意得，設(shè)，則，，然后運用勾股定理求得x即可．解：作于點，由題意得設(shè)，則，．在中，解得．答：旗桿的高度是米．【點撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，做出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．22．（1），理由詳見分析；（2）45°【分析】（1）連接AC，再利用勾股定理列式求出AB2、BC2、AC