湖南省醴陵二中、醴陵四中2024年高三上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析_第1頁(yè)
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湖南省醴陵二中、醴陵四中2024年高三上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是()A. B. C. D.2.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.363.函數(shù)的圖象如圖所示,為了得到的圖象,可將的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位4.已知函數(shù),不等式對(duì)恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上且滿足,若取得最大值時(shí),點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.6.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.7.從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,且,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為()A. B. C. D.8.二項(xiàng)式展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.10.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.11.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中,存在兩項(xiàng),使得,,則的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若向量與向量垂直,則______.14.若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為_____15.“北斗三號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行軌道的離心率為__________.16.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求每天消耗原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是__________元.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系,我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo),請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線方程分析,2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸,問(wèn)是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.18.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明.20.(12分)已知函數(shù),當(dāng)時(shí),有極大值3;(1)求,的值;(2)求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.21.(12分)已知,函數(shù),(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時(shí)有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當(dāng)輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.2、B【解析】

方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡(jiǎn)可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.3、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到,結(jié)合圖像變換知識(shí)得到答案.【詳解】由圖象知:,∴.又時(shí)函數(shù)值最大,所以.又,∴,從而,,只需將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到的圖象,故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求,一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求.4、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為,利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調(diào)遞減,不等式,即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,即,設(shè),,故單調(diào)遞減,故,當(dāng),即時(shí)取最大值,所以.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

設(shè),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因?yàn)槭菕佄锞€的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),所以,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí),,點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn),一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解.6、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.7、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程,所以,解得,把點(diǎn)代入拋物線方程可得,,因?yàn)?,所以,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問(wèn)題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問(wèn)題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.10、D【解析】

由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí),數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè),解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí),,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時(shí),作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.11、D【解析】

根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目,12、C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比,進(jìn)而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號(hào),所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí),,所以最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解析】

直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、2025【解析】

利用賦值法,結(jié)合展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和列方程,由此求得的值.再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意,令,解得,所以,則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為:令,得,所以的系數(shù)為.故答案為:2025【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件,求得的值,即可求得橢圓的離心率,得到答案.【詳解】如圖所示,設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為,半焦距為,因?yàn)榈厍虬霃綖镽,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,可得,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解,其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì),列出方程組,求得的值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、1元【解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為桶,桶,利潤(rùn)為元

則根據(jù)題意可得目標(biāo)函數(shù),作出可行域,如圖所示作直線然后把直線向可行域平移,

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的截距最大,此時(shí)最大,

由可得,即此時(shí)最大,

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶,乙4桶,可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為1.【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值,根據(jù)條件建立不等式關(guān)系,以及利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)能夠滿足.【解析】

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo)的要求即可完成表格;(2)根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程,由線性回歸方程預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量,即可作出判斷.【詳解】(1)由所給數(shù)據(jù)和已知條件,對(duì)數(shù)據(jù)處理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由題意可知,變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,由(1)中表格可得,,,,.由上述計(jì)算結(jié)果可知,所求回歸直線方程為,利用回歸直線方程,可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量為:(萬(wàn)噸),因?yàn)?,故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預(yù)測(cè)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)證明見解析【解析】

(1),①當(dāng)時(shí),,②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)先求出,再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【詳解】(1)解:,①當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,②由①-②,得,因?yàn)榉仙鲜剑裕?)證明:因?yàn)?,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法,考查數(shù)列求和,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2),證明見解析.【解析】

(1)求出,對(duì)分類討論,分別求出的解,即可得出結(jié)論;(2)由(1)得出有兩解時(shí)的范圍,以及關(guān)系,將,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,不妨設(shè),令,則,即證,構(gòu)造函數(shù),只要證明對(duì)于任意恒成立即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)镽,且.由,得;由,得.故當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由(1)知當(dāng)時(shí),,且.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個(gè)不等實(shí)根,,,,,,即.要證,只需證,即證,不妨設(shè).令,則,則要證,即證.令,則.令,則,在上單調(diào)遞增,.,在上單調(diào)遞增,,即成立,即成立..【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明,構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.20、(1);(2)極小值為,遞減區(qū)間為:,遞增區(qū)間為.【解析】

(1)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程組,求解方程組,即可求得的值;(2)結(jié)合(1)中的值得出函數(shù)的解析式,即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值.【詳解】(1)由題意,函數(shù),則,由當(dāng)時(shí),有極大值,則,解得.(2)由(1)可得函數(shù)的解析式為,則,令,即,解得,令,即,解得或,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,極小值為.當(dāng)時(shí),有極大值3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念,以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,其中解答中熟記函數(shù)的極值的概念,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)【解析】試題分析:(1),分,討論,當(dāng)時(shí),對(duì),,當(dāng)時(shí),解得,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。所以,當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以。所以分和k>1討論。試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),對(duì),,所以在是減函數(shù),此時(shí)函數(shù)不存在極值,所以函數(shù)沒有極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),,令,解得,若,則,所以在上是減函數(shù),若,則,所以在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),取得極小值為,函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(Ⅱ)命題“,”是假命

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