測(cè)量平差基礎(chǔ)

誤差理論與測(cè)量平差SurveyingAdjustment

編輯課件誤差理論與測(cè)量平差第六章附有參數(shù)的條件平差第二章精度指標(biāo)與誤差傳播第三章平差最小二乘模型與最小二乘原理第四章條件平差第五章間接平差第一章緒論第七章附有限制條件的間接平差第八章概括平差函數(shù)模型退出第九章誤差橢圓編輯課件測(cè)繪工程專業(yè)主干課：專業(yè)根底主要課程：測(cè)量學(xué)〔5〕、測(cè)量平差根底〔5〕、控制測(cè)量學(xué)〔5〕、攝影測(cè)量學(xué)〔4〕、測(cè)繪數(shù)據(jù)計(jì)算機(jī)處理〔3〕專業(yè)課：GPS〔4〕、GIS〔3〕、工程測(cè)量〔4〕、數(shù)字制圖〔3〕、近代平差〔2〕等編輯課件測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)

大地測(cè)量與測(cè)量工程攝影測(cè)量與遙感地圖制圖與地理信息系統(tǒng)工程

數(shù)學(xué)政治英語測(cè)量平差編輯課件課程安排前修課程：高數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程分兩個(gè)學(xué)期進(jìn)行：第二學(xué)年上學(xué)期：3學(xué)分第三學(xué)年下學(xué)期：2學(xué)分后續(xù)課程：測(cè)繪數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)處理、控制測(cè)量、近代平差編輯課件教學(xué)方式與內(nèi)容講授為主，例題、習(xí)題相結(jié)合。內(nèi)容：本學(xué)期主要講前五章的內(nèi)容。參考書目：測(cè)量平差原理，於宗儔等，測(cè)繪出版社誤差理論與測(cè)量數(shù)據(jù)處理，測(cè)量平差教研室，測(cè)繪出版社。編輯課件第一章緒論第一節(jié)觀測(cè)誤差第二節(jié)補(bǔ)充知識(shí)停止返回編輯課件第一章緒論第一節(jié)：概述1、測(cè)量平差的研究對(duì)象——誤差任何量測(cè)不可防止地含有誤差

閉合、附合水準(zhǔn)路線閉合、附合導(dǎo)線距離測(cè)量角度測(cè)量………..停止返回編輯課件誤差：測(cè)量值與真值之差由于誤差的存在，使測(cè)量數(shù)據(jù)之間產(chǎn)生矛盾，測(cè)量平差的任務(wù)就是消除這種矛盾，或者說是將誤差分配掉，因此稱為平差。停止返回編輯課件產(chǎn)生誤差的原因測(cè)量?jī)x器：i角誤差、2c誤差觀測(cè)者：人的分辨力限制外界條件：溫度、氣壓、大氣折光等三者綜合起來為觀測(cè)條件停止返回編輯課件誤差的分類系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè)，如果誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。停止返回系統(tǒng)誤差的存在必然影響觀測(cè)結(jié)果。削弱方法：采用一定的觀測(cè)程序、改正、附加參數(shù)編輯課件誤差的分類偶然誤差/隨機(jī)誤差：在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè)，如果誤差在大小、符號(hào)上都表現(xiàn)出偶然性，從單個(gè)誤差上看沒有任何規(guī)律，但從大量誤差上看有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。不可防止，測(cè)量平差研究的內(nèi)容粗差：錯(cuò)誤停止返回編輯課件停止返回測(cè)量平差的任務(wù)：

對(duì)一系列帶有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法來消除它們之間的不符值，求未知量的最可靠值。

評(píng)定測(cè)量成果的質(zhì)量編輯課件停止返回測(cè)量平差產(chǎn)生的歷史

最小二乘法產(chǎn)生的背景18世紀(jì)末，如何從多于未知參數(shù)的觀測(cè)值集合求出未知數(shù)的最正確估值？

最小二乘的產(chǎn)生1794年，C.F.GUASS，從概率統(tǒng)計(jì)角度，提出了最小二乘1806年，A.M.Legendre，從代數(shù)角度，提出了最小二乘。?決定彗星軌道的新方法?1809年，C.F.GUASS，?天體運(yùn)動(dòng)的理論?編輯課件停止返回測(cè)量平差產(chǎn)生的歷史

最小二乘法原理的兩次證明形成測(cè)量平差的最根本模型1912年，A.A.Markov，對(duì)最小二乘原理進(jìn)行證明，形成數(shù)學(xué)模型：最小二乘解：測(cè)量平差理論的擴(kuò)展編輯課件補(bǔ)充知識(shí)一、矩陣的定義及其某些特殊矩陣〔1〕由個(gè)數(shù)有次序地排列成m行n列的表叫矩陣通常用一個(gè)大寫字母表示，如：停止返回編輯課件(2)假設(shè)m=n，即行數(shù)與列數(shù)相同，稱A為方陣。元素a11、a22……ann稱為對(duì)角元素。(3)假設(shè)一個(gè)矩陣的元素全為0，稱零矩陣，一般用O表示。(4)對(duì)于的方陣，除對(duì)角元素外，其它元素全為零，稱為對(duì)角矩陣。如：(5)對(duì)于對(duì)角陣，假設(shè)a11=a22=……=ann=1，稱為單位陣，一般用E、I表示。停止返回編輯課件〔6〕假設(shè)aij=aji，那么稱A為對(duì)稱矩陣。停止返回編輯課件矩陣的根本運(yùn)算：〔1〕假設(shè)具有相同行列數(shù)的兩矩陣各對(duì)應(yīng)元素相同，那么：〔2〕具有相同行列數(shù)的兩矩陣A、B相加減，其行列數(shù)與A、B相同，其元素等于A、B對(duì)應(yīng)元素之和、差。且具有可交換性與可結(jié)合性。〔3〕設(shè)A為m*s的矩陣，B為s*n的矩陣,那么A、B相乘才有意義，C=AB，C的階數(shù)為m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A〔B+C〕=AB+AC，ABC=A〔BC〕停止返回編輯課件二、矩陣的轉(zhuǎn)置對(duì)于任意矩陣Cmn:將其行列互換，得到一個(gè)nm階矩陣，稱為C的轉(zhuǎn)置。用：停止返回編輯課件矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：〔6〕假設(shè)那么A為對(duì)稱矩陣。停止返回編輯課件三、矩陣的逆給定一個(gè)n階方陣 A，假設(shè)存在一個(gè)同階方陣B，使AB=BA=I〔E〕，稱B為A的逆矩陣。記為：A矩陣存在逆矩陣的充分必要條件是A的行列式不等于0，稱A為非奇異矩陣，否那么為奇異矩陣停止返回編輯課件矩陣的逆的性質(zhì)停止返回編輯課件矩陣求逆方法：〔1〕伴隨矩陣法：設(shè)Aij為A的第i行j列元素aij的代數(shù)余子式，那么由n*n個(gè)代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣為A的伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣A*稱為A的伴隨矩陣。停止返回編輯課件矩陣求逆方法那么：〔2〕初等變換法：經(jīng)初等變換：停止返回編輯課件概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容隨機(jī)變量誤差分布曲線概率密度曲線數(shù)學(xué)期望方差停止返回編輯課件第一節(jié)概述第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)第四節(jié)協(xié)方差傳播律停止返回第五節(jié)協(xié)方差傳播律在測(cè)量上的應(yīng)用第六節(jié)協(xié)方差傳播律第七節(jié)權(quán)與定權(quán)的常用方法第八節(jié)協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律編輯課件第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性觀測(cè)值：對(duì)該量觀測(cè)所得的值，一般用Li表示。真值：觀測(cè)量客觀上存在的一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，一般用表示。一、幾個(gè)概念真誤差：觀測(cè)值與真值之差，一般用

i=-Li表示。第一節(jié)概述停止返回編輯課件觀測(cè)向量：假設(shè)進(jìn)行n次觀測(cè)，觀測(cè)值：L1、L2……Ln可表示為：停止返回編輯課件二、偶然誤差的特性例1：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495

停止返回編輯課件例2：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了421個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501停止返回編輯課件(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數(shù)曲線用直方圖表示:停止返回面積=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+…..=1編輯課件頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.475頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回提示：觀測(cè)值定了其分布也就確定了，因此一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)相同的分布。不同的觀測(cè)序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。編輯課件1、在一定條件下的有限觀測(cè)值中，其誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的界限；2、絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；3、絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等；4、當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，其算術(shù)平均值趨近于零，即Lim——n

i=1nni=Limn

——n[]=0偶然誤差的特性：停止返回編輯課件第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)精度：所謂精度是指偶然誤差分布的密集離散程度。一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測(cè)值精度相同。不同組觀測(cè)值，分布不同，精度也就不同。提示：一組觀測(cè)值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。編輯課件頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差停止返回可見：左圖誤差分布曲線較高且陡峭，精度高右圖誤差分布曲線較低且平緩，精度低編輯課件一、方差/中誤差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

面積為1第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)停止返回方差：中誤差：提示：越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。編輯課件方差的估值：編輯課件二、平均誤差停止返回在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望。與中誤差的關(guān)系：編輯課件三、或然誤差f()0閉合差50%停止返回編輯課件四、極限誤差四、相對(duì)誤差中誤差與觀測(cè)值之比，一般用1/M表示。編輯課件第四節(jié)協(xié)方差傳播律一、協(xié)方差對(duì)于變量X，Y，其協(xié)方差為：停止返回編輯課件表示X、Y間互不相關(guān)，對(duì)于正態(tài)分布而言，相互獨(dú)立。表示X、Y間相關(guān)編輯課件對(duì)于向量X=[X1，X2，……Xn]T，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：停止返回矩陣表示為：方差協(xié)方差陣編輯課件特點(diǎn)：I對(duì)稱II正定III各觀測(cè)量互不相關(guān)時(shí)，為對(duì)角矩陣。當(dāng)對(duì)角元相等時(shí)，為等精度觀測(cè)。編輯課件假設(shè)：假設(shè)DXY=0，那么X、Y表示為相互獨(dú)立的觀測(cè)量。編輯課件二、觀測(cè)值線性函數(shù)的方差：那么：停止返回證明：設(shè)：那么：編輯課件停止返回編輯課件

例1:設(shè)，已知，求的方差。例2:假設(shè)要在兩點(diǎn)間布設(shè)一條附和水準(zhǔn)路線,每公里觀測(cè)中誤差等于±5.0mm,欲使平差后線路中點(diǎn)高程中誤差不大于±10mm,問該路線長(zhǎng)度最多可達(dá)幾公里?停止返回編輯課件二、多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差陣已知：停止返回編輯課件停止返回例3：在一個(gè)三角形中，同精度獨(dú)立觀測(cè)得到三個(gè)內(nèi)角L1、L2、L3，其中誤差為，將閉合差平均分配后各角的協(xié)方差陣。例4：設(shè)有函數(shù)，已知求編輯課件四、非線性函數(shù)的情況設(shè)有觀測(cè)值X的非線性函數(shù)：：編輯課件停止返回將Z按臺(tái)勞級(jí)數(shù)在X0處展開：編輯課件編輯課件例4、根據(jù)極坐標(biāo)法測(cè)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)無誤差，測(cè)角中誤差為m，邊長(zhǎng)中誤差ms，試推導(dǎo)P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差。ABP

mssmump停止返回編輯課件協(xié)方差傳播應(yīng)用步驟:根據(jù)實(shí)際情況確定觀測(cè)值與函數(shù),寫出具體表達(dá)式寫出觀測(cè)量的協(xié)方差陣對(duì)函數(shù)進(jìn)行線性化協(xié)方差傳播停止返回編輯課件a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)…N(s)ABTP1TP2TPN-1協(xié)方差傳播在測(cè)量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度停止返回編輯課件作業(yè)1、在高級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)A、〔高程為真值〕間布設(shè)水準(zhǔn)路線，如以以下圖，路線長(zhǎng)分別為，設(shè)每公里觀測(cè)高差的中誤差為，試求：〔1〕將閉合差按距離分配之后的p1、p2點(diǎn)間高差的中誤差；〔2〕分配閉合差后P1點(diǎn)的高程中誤差。AP1P2B作業(yè)2、在相同條件下，觀測(cè)兩個(gè)角度A=150000，B=750000，設(shè)對(duì)A觀測(cè)4個(gè)測(cè)回的測(cè)角精度〔中誤差〕為3，問觀測(cè)9個(gè)測(cè)回的精度為多少？停止返回編輯課件第七節(jié)權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)的定義稱為觀測(cè)值Li的權(quán)。權(quán)與方差成反比。編輯課件〔三〕權(quán)是衡量精度的相對(duì)指標(biāo)，為了使權(quán)起到比較精度的作用，一個(gè)問題只選一個(gè)0?！菜摹持灰孪冉o定一定的條件，就可以定權(quán)。編輯課件二、單位權(quán)中誤差三、常用的定權(quán)方法1、水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)或編輯課件2、邊角定權(quán)停止返回編輯課件第八節(jié)協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣編輯課件不難得出：QXX為協(xié)因數(shù)陣編輯課件特點(diǎn)：I對(duì)稱，對(duì)角元素為權(quán)倒數(shù)II正定III各觀測(cè)量互不相關(guān)時(shí)，為對(duì)角矩陣。當(dāng)為等精度觀測(cè)，單位陣。編輯課件二、權(quán)陣編輯課件第一節(jié)測(cè)量平差概述第二節(jié)測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理停止返回編輯課件一、必要觀測(cè)、多余觀測(cè)

確定平面三角形的形狀觀測(cè)三個(gè)內(nèi)角的任意兩個(gè)即可,稱其必要元素個(gè)數(shù)為2，必要元素有種選擇第一節(jié)測(cè)量平差概述

確定平面三角形的形狀與大小s1s3s26個(gè)元素中必須有選擇地觀測(cè)三個(gè)內(nèi)角與三條邊的三個(gè)元素，因此，其必要元素個(gè)數(shù)為3。任意2個(gè)角度+1個(gè)邊、2個(gè)邊+1個(gè)角度、三個(gè)邊。停止返回編輯課件必須有選擇地觀測(cè)6個(gè)高差中的3個(gè)，其必要元素個(gè)數(shù)為3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等

確定如圖四點(diǎn)的相對(duì)高度關(guān)系A(chǔ)DCBh1h6h5h2h4h3必要觀測(cè):能夠唯一確定一個(gè)幾何模型所必要的觀測(cè)一般用t表示。停止返回特點(diǎn):給定幾何模型，必要觀測(cè)及類型即定，與觀測(cè)無關(guān)。必要觀測(cè)之間沒有任何函數(shù)關(guān)系，即相互獨(dú)立。確定幾何模型最大獨(dú)立觀測(cè)個(gè)數(shù)編輯課件多余觀測(cè):觀測(cè)值的個(gè)數(shù)n與必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t之差一般用r表示，r=n-t。確定幾何模型最大獨(dú)立觀測(cè)個(gè)數(shù)為t,那么再多進(jìn)行一個(gè)觀測(cè)就相關(guān)了，即形成函數(shù)關(guān)系，也稱為觀測(cè)多余了。觀測(cè)值:為了確定幾何模型中各元素的大小進(jìn)行的實(shí)際觀測(cè)，稱為觀測(cè)值，觀測(cè)值的個(gè)數(shù)一般用n表示。n<t，那么無法確定模型n=t，唯一確定模型，不能發(fā)現(xiàn)粗差。n>t,，可以確定模型，還可以發(fā)現(xiàn)粗差。編輯課件二、測(cè)量平差必要觀測(cè)可以唯一確定模型，其相互獨(dú)立?？梢娂僭O(shè)有多余觀測(cè)必然可用這t個(gè)元素表示，即形成r個(gè)條件。ADCBh1h6h5h2h4h3停止返回實(shí)際上：編輯課件第二節(jié)測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型一、條件平差法以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。即為條件平差的函數(shù)模型。

條件平差的自由度即為多余觀測(cè)數(shù)r，即條件方程個(gè)數(shù)。二、間接平差法

選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立變量為平差參數(shù)，每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式，以此為平差的函數(shù)模型，成為間接平差法。停止返回編輯課件三、附有參數(shù)的條件平差法

設(shè)在平差問題中，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，t為必要觀測(cè)數(shù)，那么可列出r=n-t個(gè)條件方程，現(xiàn)有增設(shè)了u個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)，而0<u<t，每增設(shè)一個(gè)參數(shù)應(yīng)增加一個(gè)條件方程。以含有參數(shù)的條件方程作為平差的函數(shù)模型，稱為附有參數(shù)的條件平差法。

上式就是間接平差的函數(shù)模型。盡管間接平差法是選了t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，但多余觀測(cè)數(shù)不隨平差不同而異，其自由度仍是r=n-t。上式為附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型。

此平差問題，由于選擇了u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，方程總數(shù)由r個(gè)增加到c=r+u個(gè)，故平差的自由度為r=c-u。停止返回編輯課件四、附有限制條件的間接平差法如果進(jìn)行間接平差，就要選出t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，按每一個(gè)觀測(cè)值與所選參數(shù)間函數(shù)關(guān)系，組成n個(gè)觀測(cè)方程。如果在平差問題中，不是選t個(gè)而是選定u>t個(gè)參數(shù)，其中包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，那么多項(xiàng)選擇的s=u-t個(gè)參數(shù)必是t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，亦即在u個(gè)參數(shù)之間存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系，它們是用來約束參數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系。在選定u>t個(gè)參數(shù)進(jìn)行平差時(shí)，除了建立n個(gè)觀測(cè)方程外，還要增加s個(gè)約束參數(shù)方程，故稱此平差方法為附有限制件的間接平差法。停止返回編輯課件五、平差的隨機(jī)模型數(shù)學(xué)模型停止返回函數(shù)模型隨機(jī)模型：編輯課件第三節(jié)函數(shù)模型的線性化條件方程的綜合形式為：為了線性化，取X的近似值：取的初值：將F按臺(tái)勞級(jí)數(shù)在X0，L處展開，并略去二次以及以上項(xiàng)：編輯課件停止返回編輯課件一、條件平差法二、間接平差法編輯課件三、附有參數(shù)的條件平差法四、附有限制條件的間接平差法編輯課件第四節(jié)參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理

為了求得唯一解，對(duì)最終估計(jì)值應(yīng)該提出某種要求，考慮平差所處理的是隨機(jī)觀測(cè)值，這種要求自然要從數(shù)理統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)去尋求，即參數(shù)估計(jì)要具有最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，從而可對(duì)平差數(shù)學(xué)模型附加某種約束，實(shí)現(xiàn)滿足最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)唯一解。

一、參數(shù)估計(jì)及其最優(yōu)性質(zhì)對(duì)于上節(jié)提出的四種平差方法都存在多解的情況。以條件平差為例：條件的個(gè)數(shù)r=n-t<n，即方程的個(gè)數(shù)少，求解的參數(shù)多，方程多解。其它模型同。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所述的估計(jì)量最優(yōu)性質(zhì)，主要是估計(jì)量應(yīng)具有無偏性、一致性和有效性的要求?？梢宰C明，這種估計(jì)為最小二乘估計(jì)。停止返回編輯課件例：勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位置y表示為：實(shí)際上：編輯課件寫成矩陣：間接平差函數(shù)模型編輯課件編輯課件二、最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，應(yīng)使各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)值偏差的平方和到達(dá)最小。測(cè)量中的觀測(cè)值是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，最小二乘原理可用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的最大似然估計(jì)來解釋，兩種估計(jì)準(zhǔn)那么的估值相同。

設(shè)觀測(cè)向量為L(zhǎng)，L為n維隨機(jī)正態(tài)向量，其數(shù)學(xué)期望與方差分別為：停止返回編輯課件其似然函數(shù)為：以間接平差法為例，顧及間接平差的模型與E〔〕=0得：按最大似然估計(jì)的要求，應(yīng)選取能使lnG取得極大值時(shí)的作為X的估計(jì)量。停止返回編輯課件由于上式右邊的第二項(xiàng)前是負(fù)號(hào)，所以只有當(dāng)該項(xiàng)取得極小值時(shí)，lnG才能取得極大值，換言之，的估計(jì)量應(yīng)滿足如下條件：即最小二乘原那么。停止返回編輯課件第四章條件平差第一節(jié)條件平差原理第二節(jié)條件方程第三節(jié)精度評(píng)定第四節(jié)水準(zhǔn)網(wǎng)平差例如停止返回編輯課件第一節(jié)條件平差原理一、根底方程和它的解按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造新的函數(shù)：停止返回?cái)?shù)學(xué)模型編輯課件求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：上式也稱為法方程式停止返回編輯課件二、條件平差的計(jì)算步驟停止返回根據(jù)平差問題的具體情況，列出條件方程式，條件方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測(cè)數(shù)r。根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測(cè)值的權(quán)組成法方程式，法方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測(cè)數(shù)r。解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K值。將K值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值為了檢查平差計(jì)算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。編輯課件BADh1h4h2h3C編輯課件BADh1h4h2h3C編輯課件h1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123編輯課件第二節(jié)條件方程一、水準(zhǔn)網(wǎng)列條件的原那么：1、閉合水準(zhǔn)路線2、附合水準(zhǔn)路線包含的線路數(shù)最少為原那么停止返回編輯課件h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3停止返回編輯課件二、測(cè)角網(wǎng)4個(gè)必要的起算數(shù)據(jù)為：一個(gè)點(diǎn)〔2個(gè)坐標(biāo)〕一個(gè)方位〔1個(gè)〕一個(gè)尺度〔1個(gè)兩點(diǎn)〔4個(gè)坐標(biāo)〕停止返回編輯課件列條件的原那么：將復(fù)雜圖形分解成典型圖形。條件類型：圖形條件、圓周條件、極條件、固定方位條件、固定邊長(zhǎng)條件、固定坐標(biāo)條件三角形大地四邊形中心多邊形扇形停止返回編輯課件AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T編輯課件第三節(jié)精度評(píng)定一、計(jì)算單位權(quán)中誤差二、協(xié)因數(shù)陣

停止返回編輯課件第四節(jié)水準(zhǔn)網(wǎng)平差例如例：如圖，A、B是的高程點(diǎn)，P1、P2、P3是待定點(diǎn)。數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表。按條件平差求各點(diǎn)的高稱平差值。路線號(hào)觀測(cè)高差（m）路線長(zhǎng)度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回編輯課件解：1、列條件方程停止返回編輯課件2、定權(quán)取C=1，那么：3、形成法方程停止返回編輯課件4、解算法方程5、計(jì)算改正數(shù)6、計(jì)算平差值7、計(jì)算高程平差值停止返回編輯課件作業(yè)1：如以下圖的水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B、C水準(zhǔn)點(diǎn)，P1、P3、P3為待定點(diǎn)，水準(zhǔn)點(diǎn)的高程、各水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度及觀測(cè)高差列入下表。線號(hào)高差（m）路線長(zhǎng)度（km）點(diǎn)號(hào)高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002

53.4042

63.4524

A

oooBC123456P1P2P3如以下圖的水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B、C水準(zhǔn)點(diǎn)，P1、P3、P3為待定點(diǎn)，水準(zhǔn)點(diǎn)的高程、各水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度及觀測(cè)高差列入下表試用條件平差法求P1、P3、P3點(diǎn)高程的平差值。編輯課件第一節(jié)間接平差原理第二節(jié)誤差方程第三節(jié)精度評(píng)定第四節(jié)平差例如第五章間接平差停止返回編輯課件第一節(jié)間接平差原理一、根底方程和它的解按函數(shù)極值的求法，極值函數(shù)：求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：停止返回編輯課件代入誤差方程：即為法方程式停止返回編輯課件二、間接平差法平差步驟1、選擇t個(gè)獨(dú)立的未知參數(shù)2、將每個(gè)觀測(cè)值表示成未知參數(shù)的函數(shù)，形成誤差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、計(jì)算改正數(shù)6、精度評(píng)定編輯課件一、確定待定參數(shù)的個(gè)數(shù)水準(zhǔn)網(wǎng)測(cè)角網(wǎng)測(cè)邊網(wǎng)邊角網(wǎng)第二節(jié)誤差方程停止返回GPS網(wǎng)采用GPS尺度與方位不采用GPS尺度與方位編輯課件二、參數(shù)的選取高程控制網(wǎng)：待定點(diǎn)的高程平面控制網(wǎng)：待定點(diǎn)的二維坐標(biāo)三維控制網(wǎng)：待定點(diǎn)的三維坐標(biāo)停止返回編輯課件三、誤差方程的組成1、水準(zhǔn)路線的誤差方程ijXiXjhij當(dāng)i點(diǎn)時(shí)：當(dāng)j點(diǎn)時(shí)：停止返回編輯課件2、方向的誤差方程N(yùn)零方向jkl——定向角未知數(shù)設(shè)j、k的坐標(biāo)為未知參數(shù)：即：零方向的方位角jk的方位角為：停止返回編輯課件為非線性函數(shù)，要進(jìn)行線性化。對(duì)上式在初始近似值處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開，略去二次以及二次以上項(xiàng)：停止返回編輯課件停止返回編輯課件停止返回編輯課件停止返回編輯課件停止返回編輯課件停止返回編輯課件當(dāng)j點(diǎn)時(shí)：停止返回編輯課件當(dāng)k點(diǎn)時(shí)：停止返回編輯課件2、距離的誤差方程jk設(shè)j、k的坐標(biāo)為未知參數(shù)：jk的距離為：停止返回編輯課件為非線性函數(shù)，要進(jìn)行線性化。對(duì)上式在初始近似值處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開，略去二次以及二次以上項(xiàng)：停止返回編輯課件停止返回編輯課件停止返回編輯課件停止返回編輯課件當(dāng)j點(diǎn)時(shí)：停止返回當(dāng)k點(diǎn)時(shí)：編輯課件第三節(jié)精度評(píng)定二、協(xié)因數(shù)陣一、計(jì)算單位權(quán)中誤差停止返回編輯課件測(cè)角網(wǎng)間接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1設(shè)有一測(cè)角三角網(wǎng)，A、B、C、D為點(diǎn)，P1、P2為待定點(diǎn)，同精度觀測(cè)了18個(gè)角度，按間接平差求平差后P1、P2點(diǎn)的坐標(biāo)及精度。數(shù)據(jù)見下表。第四節(jié)平差例如停止返回編輯課件點(diǎn)名坐標(biāo)（m）邊長(zhǎng)方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.60274°39’38.4"C19063.6637818.8610232.1634°40’56.3"D17814.6349923.1912168.6095°53’29.1"A10156.11216°49’06.5"角度編號(hào)觀測(cè)值角度編號(hào)觀測(cè)值角度編號(hào)觀測(cè)值1126°14’24.1"722°02’43.0"1346°38’56.4"223°39’46.9"8130°03’14.2"1466°34’54.7"330°05’46.7"927°53’59.3"1566°46’08.2"4117°22’46.2"1065°55’00.8"1629°58’35.5"531°26’50.0"1167°02’49.4"17120°08’31.1"631°10’22.6"1247°02’11.4"1829°52’55.4"停止返回編輯課件解：n=18,t=2*6-4-4=4,r=18-4=14設(shè)P1、P2點(diǎn)的坐標(biāo)作為未知參數(shù)X1、Y1、X2、Y2，根據(jù)前方交會(huì)可以求出P1、P2的近似坐標(biāo)：根據(jù)角度的誤差方程：停止返回編輯課件VBxl停止返回編輯課件定權(quán)，P為單位陣，形成法方程為：停止返回編輯課件精度評(píng)定：停止返回編輯課件例：如圖，A、B是的高程點(diǎn)，P1、P2、P3是待定點(diǎn)。數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表。按間接平差求各點(diǎn)的高程平差值。路線號(hào)觀測(cè)高差（m）路線長(zhǎng)度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B編輯課件解：1、列誤差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4設(shè)P1、P2點(diǎn)的高程為未知參數(shù)求相應(yīng)的近似值列誤差方程：h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B編輯課件寫成矩陣的形式：定權(quán)，取C=1編輯課件編輯課件例：線號(hào)高差（m）路線長(zhǎng)度（km）點(diǎn)號(hào)高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.8

5-0.5774.2

6-0.7862.5

B

oooAC165423P1P2P3如以下圖的水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B、C水準(zhǔn)點(diǎn)，P1、P3、P3為待定點(diǎn)，水準(zhǔn)點(diǎn)的高程、各水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度及觀測(cè)高差列入下表試用間接平差法求P1、P3、P3點(diǎn)高程的平差值估算精度。編輯課件解：1、列誤差方程n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3設(shè)P1、P2、P3點(diǎn)的高程為未知參數(shù)求相應(yīng)的近似值列誤差方程：

B

oooAC165423P1P2P3編輯課件定權(quán)，取C=1編輯課件編輯課件編輯課件第一節(jié)根底方程和它的解第二節(jié)精度評(píng)定第六章附有參數(shù)的條件平差停止返回編輯課件一、測(cè)量平差方法回憶〔1〕條件平差法觀測(cè)數(shù)為n，必要觀測(cè)數(shù)為t，多余觀測(cè)數(shù)r=n-t，條件方程個(gè)數(shù)c。停止返回在最小二乘原那么下有：編輯課件〔2〕間接平差法觀測(cè)數(shù)為n，必要觀測(cè)數(shù)為t，多余觀測(cè)數(shù)r=n-t，設(shè)t個(gè)相互獨(dú)立的未知參數(shù)，那么條件個(gè)數(shù)c=n+t-t=n,即n個(gè)誤差方程：在最小二乘原那么下有：編輯課件〔3〕附有參數(shù)的條件平差法

設(shè)在平差問題中，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，t為必要觀測(cè)數(shù)，那么可列出r=n-t個(gè)條件方程，現(xiàn)有增設(shè)了u個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)，而0<u<t，每增設(shè)一個(gè)參數(shù)應(yīng)增加一個(gè)條件方程。以含有參數(shù)的條件方程作為平差的函數(shù)模型，稱為附有參數(shù)的條件平差法。

上式為附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型。

此平差問題，由于選擇了u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，方程總數(shù)由r個(gè)增加到c=r+u個(gè)，故平差的自由度為r=c-u。停止返回編輯課件設(shè)定未知參數(shù)的目的：〔2〕為了在條件平差過程中，直接估計(jì)一些量以及其精度。如：〔1〕為了方便列立條件。ABDC123456789121110131415161718P2P1編輯課件如圖：條件平差：123456其中：其它條件如何列？編輯課件設(shè)未知參數(shù)X1123456X1編輯課件將觀測(cè)值的估值寫成觀測(cè)值與改正數(shù)之和，對(duì)非線性條件進(jìn)行線性化，可形成根底方程。123456X1X2特點(diǎn)：方程中即有觀測(cè)量又有未知參數(shù)。采用改正數(shù)表示。編輯課件二、根底方程和它的解按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造新的函數(shù)：根底方程：停止返回編輯課件求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：聯(lián)立即為法方程式停止返回編輯課件將法方程寫成矩陣的形式：也可分別求解：編輯課件第二節(jié)精度評(píng)定一、計(jì)算單位權(quán)中誤差編輯課件二、協(xié)因數(shù)陣三、平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)線性化：編輯課件四、附有參數(shù)的條件平差的計(jì)算步驟根據(jù)平差問題的具體情況，設(shè)定參數(shù)（相互獨(dú)立，個(gè)數(shù)小于t，列出條件方程式，條件方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測(cè)數(shù)r與設(shè)定未知參數(shù)之和。根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測(cè)值的權(quán)組成法方程式。解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K與x值。將K與x值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值與參數(shù)平差值。精度評(píng)定。為了檢查平差計(jì)算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。編輯課件第一節(jié)根底方程和它的解第二節(jié)精度評(píng)定第七章附有限制條件的間接平差停止返回編輯課件間接平差：觀測(cè)數(shù)為n，必要觀測(cè)數(shù)為t，多余觀測(cè)數(shù)r=n-t，設(shè)t個(gè)相互獨(dú)立的未知參數(shù)，那么條件個(gè)數(shù)c=n+t-t=n，即n個(gè)誤差方程：從而可以唯一求出一、根底方程和它的解由于未知參數(shù)u>t，那么u個(gè)未知參數(shù)間肯定存在u-t個(gè)函數(shù)關(guān)系，稱為約束條件。編輯課件聯(lián)合根底方程編輯課件根底方程線性化形式：按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造新的函數(shù)：停止返回編輯課件求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：法方程式停止返回編輯課件寫成矩陣形式：編輯課件顯式表示：編輯課件第二節(jié)精度評(píng)定一、計(jì)算單位權(quán)中誤差二、協(xié)因數(shù)陣停止返回編輯課件三、平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)編輯課件四、附有限制條件平差的間接平差計(jì)算步驟根據(jù)平差問題的具體情況，設(shè)定參數(shù)，列出誤差方程式與限制條件。根據(jù)觀測(cè)值的權(quán)組成法方程式。解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)X與K值。將K與x值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值與參數(shù)平差值。精度評(píng)定。編輯課件例：如圖，A、B是的高程點(diǎn)，P1、P2、P3是待定點(diǎn)。數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表。按間接平差求各點(diǎn)的高程平差值。路線號(hào)觀測(cè)高差（m）路線長(zhǎng)度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016hAB=1.0002+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.4