考前沖刺三第六類

第六類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題重在“分”——分離、分解以函數(shù)為載體、以導(dǎo)數(shù)為工具的綜合問(wèn)題是高考?？嫉膲狠S大題，多涉及含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探索與討論、復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)的討論、不等式中參數(shù)范圍的討論、恒成立和能成立問(wèn)題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn).對(duì)于此類綜合試題，一般先求導(dǎo)，再變形或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理.【例6】

(2017·全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0. (1)求a； (2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e－2<f(x0)<2－2.(1)解

f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，設(shè)g(x)＝ax－a－lnx，則f(x)＝xg(x)，(分離)當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以x＝1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)≥g(1)＝0.綜上，a＝1.(2)證明由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx，設(shè)h(x)＝2x－2－lnx，(分解)因?yàn)閒′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn).由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).因?yàn)閤＝x0是f(x)在(0，1)的最大值點(diǎn)，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2<f(x0)<2－2.探究提高

1.(1)分離：把函數(shù)f(x)分離為x與g(x)的積.(2)分解：構(gòu)造h(x)＝2x－2－lnx.2.破解策略：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題計(jì)算復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大.可以把參變量分離，把復(fù)雜函數(shù)分離為基本函數(shù)；可把題目分解成幾個(gè)小題；也可把解題步驟分解為幾個(gè)小步；注重分步解答，這樣，即使解答不完整，也要做到盡可能多拿步驟分.【訓(xùn)練6】

(2018·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋b)ex，F(xiàn)(x)＝bx－lnx，b∈R. (1)若b<0，且存在區(qū)間M，使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)b的取值范圍； (2)若F(x＋1)>b對(duì)任意x∈(0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍