必修四平面向量基本概念、線性運(yùn)算題型歸納總結(jié)

專題平面向量的基本概念、線性運(yùn)算一、學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或稱模）平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為士〔；平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共線向量）0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則⑴交換律：a+b=b+a；(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量一b的和的運(yùn)算叫做a與b的差上a三角形法則a—b=a+(—b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)A與向量a的積的運(yùn)算|Aa|=|A||a|，當(dāng)A>0時(shí)，Aa的方向與a的方向相同；當(dāng)A<0時(shí)，Aa的方向與a的方向相反；當(dāng)A=0時(shí)，Aa=0A(^a)=(A^)a；(A+“)a=Aa+“a；A(a+b)=Aa+Ab考點(diǎn)三經(jīng)典結(jié)論一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即硝+硫+—丸+…+力―X=—特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.在△ABC中，AD,BE,CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：(1)—7+—音+~G(C=0；(2)2G=；(—*+—2)；(3)反D=-(—^+~GCC)=1(—^+~A(C).考點(diǎn)四共線向量定理、平面向量基本定理及應(yīng)用⑴判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)久使得b=扁，則向量b與a共線.(2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)兀使得b=a考點(diǎn)五平面向量基本定理及應(yīng)用如果弓，勺是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)久1，定，使a=A1e1+A2e2，其中e1，e2是一組基底.二、重難點(diǎn)題型突破重難點(diǎn)題型突破1平面向量的基本概念例1.(2020-宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校高一月考)下列命題正確的是( )若a與b共線，b與c共線，則a與c共線—? —> —>―?- —>―?第2頁(yè)/共15頁(yè)三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)人，使a泌D.零向量是模為0，方向任意的向TOC\o"1-5"\h\z量 =【解析】A選項(xiàng)，若b=0，則根據(jù)零向量方向的任意性，可的a與b共線，b與c共線；但a與c不一定共線，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄渴亲杂梢苿?dòng)的量，因此三個(gè)向量共面，其所在的直線不一定共面；故B錯(cuò)；~ ~C選項(xiàng)，共線向量定理，若a//b，其中b。0，則存在唯一的實(shí)數(shù)人使a泌；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，根據(jù)零向量的定義可得，零向量是模為0，方向任意向量；即D正確.故選：D.【變式訓(xùn)練11】、（2019?四川廣安市?高一期末）有下列四個(gè)命題：互為相反向量的兩個(gè)向量模相等；若向量AB與CD是共線的向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上；若|a|=|b|，則a=b或a=-b；④若a?=0，則a=0或b=0；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C2 D.1【解析】方向相反，模相等的兩個(gè)向量是相反向量，故①正確；因?yàn)橄蛄渴亲杂梢苿?dòng)的量，所以兩向量共線，點(diǎn)不一定共線，故②錯(cuò)；向量有方向，因此模相等時(shí)，向量方向不確定，故③錯(cuò)；兩向量垂直時(shí)，數(shù)量積也為0，所以④錯(cuò).故選D【變式訓(xùn)練12】、（2019?四川成都市?石室中學(xué)高一期中）以下說法正確的是（）A.零向量沒有方向 B,單位向量都相等C.共線向量又叫平行向量 D.任何向量的模都是正實(shí)數(shù)【解析】由于向量中規(guī)定共線向量又叫平行向量故應(yīng)選C.重難點(diǎn)題型突破2平面向量的線性運(yùn)算例2、（1）（2020?四川省瀘縣第四中學(xué)高一月考）已知O是平面上一點(diǎn)，TOC\o"1-5"\h\zOA=a,OB=b,OC=c,OD=d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則（ ）—.ja+b七c+dm0__ B.a—b—c+d—0C.a+b—c—d—0 D.a—b+c—d—0―? —? ―? ? ―? —? ―? ―? ? ―?【詳解】易知OB—OA—AB,OC—OD—DC,而在平行四邊形ABCD中,AB—DC,—? —? —? ? —? —? ―? —? ? ―?所以O(shè)B—OA—OC—OD,即b—a—c—d，所以a—b+c—d—0，故選:D（2）在^ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB—1_ 1 3 - 3 1_ 1 3_A.—AB——ACb.AB——ACC.—AB+—AC d.—AB+—AC4 4 4 4 4 4 4【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，BE—1BA+1BD—1BA+1BC—1BA+1(BA+AC)2 2 2 4 2 4111 31 31—_BA+-BA+-AC——BA+-AC，所以EB——AB——AC.故選a.W」頊4 4 4，4【變式訓(xùn)練2-1】、（2020?四川瀘州市?瀘縣五中高一月考）如圖所示，已知在ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，則CD—（ ）△

。 。 。BC-1BA B.-BC+1BA C.-BC-1BA d.BC+1BA2 2 2 2【詳解】囹D是邊AB的中點(diǎn)，囹BD=1BA,囹CD=CB+BD=-BC+1BA.選：B.

—> —> —> —2 ———2 —【變式訓(xùn)練2-2】、(2020?眉山市東坡區(qū)永壽高級(jí)中學(xué)高一期中)如圖，正六邊形ABCDEF中，BA+CD+EF=()A.0B.BEC.ADA.0B.BEC.ADD.CF【詳解】將—?平移到=，二平移到二，故BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF,故選D.重難點(diǎn)題型突破3平面向量共線定理的應(yīng)用一——————一————例3.(2020屆安徽省合肥市高三第二次質(zhì)檢)在平行四邊形ABCD中，若DE=EC,AE交BD于F點(diǎn)，則AF=()TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 12 12『一AB+-AD b-AB--ADCAB——ADd AB+—AD3 3十3 3 3 3［解柝口口圖二.DE=EC，二E為CD的中點(diǎn)一 一一一. 」 1 、直 1 、人.設(shè)AF=人AE=XIAB+BC+-CD=XAB+AD--AB=-AB+XAD，且B，\* 2 ) \ 2 J2F,D三點(diǎn)共線，...§+人=1，解得X=2，二AF=1AB+2AD.故選D。⑵（2019?四川南充市?閬中中學(xué)高一月考）設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)，求證：A,b,D三點(diǎn)共線;―?―?試確定實(shí)數(shù)k，使ka+b和a+kb同向. ?——>—>—>?——TOC\o"1-5"\h\z【詳解】(1)證明：囹AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),―?—?―? ―?BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5AB, ?—— > —>—>?——囹AB與BD共線，又它們有公共點(diǎn)B,財(cái)，B,D三點(diǎn)共線； ??? ―>—? —?—? —?—? ?(2)解：若ka+b和a+kb同向，囹存在實(shí)數(shù)人〉0,使ka+b=X(a+kb),即ka+b=Xa+k人b,二k=人』=k人，解得k=—1(舍),k=1.【變式訓(xùn)練31】、（2018?四川攀枝花市?高一期末）已知向量a,b不共線，c=ka+b,―?—? —? —?d=a—b，如果cd，那么（）II 一一--一A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向—?―? ―? —?―?C.k=—1且c與d同向 D?k=—1且c與d反向f) fl=Xk【解析】c//d,?c=Xd,?a+b=X^ka—b,a,b不共線，.?.〈解得[1=—XTOC\o"1-5"\h\z'k=—1 f) ?.?〈 ,d=—a—b=—M+bJ=—c,選d.X=—1—一_一一一__ __重難點(diǎn)題型突破4平面向量基本定理及其應(yīng)用

—? —? —?例4.(1)?(2019?四川雅安中學(xué)高一月考)以下四組向量能作為基底的是()A.A.e1=(1,2),e2=(2,4)C.ei=(2,1),e2=(-2,-1)ei=(3,-1),e2=(-1,3)D.[=(2,0),e2=(3,0)—A —A【解析】對(duì)于A, 1x4-2x2=0,.?.〈與e2共線，不能作為基底；TOC\o"1-5"\h\z—— —? 一對(duì)于B, 3x3-(-1)x(-1)=8更0,匕與e2不共線，能作為基底；\o"CurrentDocument" > >\o"CurrentDocument"對(duì)于C,???2x(-1)-1x(-2)=0,「?e1與e2共線，不能作為基底； ? >對(duì)于D，-2x0-0x3=0,.e1與e2共線，不能作為基底，故選B. >(2).(2019?江西高一期末(理))設(shè)e「e2是平面內(nèi)的一組基底，則下面四組向量中,能作為 >基底的是( )A.e一e與e一e2 112C.e+e與e-e十A.e一e與e一e2 112C.e+e與e-e十2FD.-—e+-e與e-—e之1一82婦1牛2【解析頊。匚匕是平面內(nèi)的一組基底，所以匕和e2不共線，一一對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A：e-e=-(e-e)，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底；2 1 1 2 > > > >對(duì)應(yīng)選項(xiàng)B：2e1+3e2=-2(^匕-6e2)，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底;對(duì)應(yīng)選項(xiàng)D：一!e+1e=-1J-=e］，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底;走1氣2 2煩142)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C：e1+烏與亍e2不共線,能作為基底.故選：C.(3).(2019?內(nèi)蒙古高三月考(理))在正方形ABCD中，點(diǎn)O為AABC內(nèi)切圓的圓心，若AO=xAB+yAD,則勺的值為（ ）D.TOC\o"1-5"\h\z2>/^-1 3 +1D.A. B. C. 4 4 4【解析】連并延長(zhǎng)到與相交于點(diǎn)H,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則BH=-BD=—,設(shè)AABC內(nèi)切圓的半徑為,，貝（J2 2BH=0H+0B=r+HS+）r=^，可得r= .2 2設(shè)AABC內(nèi)切圓在A8邊上的切點(diǎn)為E,則A0=AE+E0=（l-r）AB+rADJi一g —>V2X妗7^—1有工=——，y=l———，故xy="-x1-—=—-—.故選：d2 2 21 2 2【變式訓(xùn)練11（2011-北京高三開學(xué)考試（理））在平行四邊形ABCD中AB=e^AC=eNC=、AC,BM=}-MC,則MN= .（用表示）2 4 2 i2【解析】如圖:【解析】如圖:1 2 1MN=CN—CM=CN+2bm=CN+云BC=—-AC+—(AC—AB)=——^+4 3 4zTOC\o"1-5"\h\z2, 、 2 5 2 5*-<)=--e1+-2e2.故本題答案為--\+-2氣.J J -LJ J -LJ【變式訓(xùn)練2】.(2020-四川雅安市?雅安中學(xué)高一月考)已知向量a=(-3,4)測(cè)下列能使 ? ? ? ? ? ?a=人匕+目％(人，目eR)成立的一組向量匕，e2是( )A.e1=(0,0),e2=(-1,2) B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)e=(-1,2),e=(3,-1) D.e=(--,1),e=(1,-2)1 2 1 2 2【解析】A中e1是零向量，與任何向量共線，B中e2=-2e1,匕,e2,d中。2=-2匕，e,e，只有C中e,e不共線，根據(jù)平面向量基本定理，存在人,H使得a=Xe+^e.故12 12 1 2選：C.一 一一一一一一為線段AD的中點(diǎn)，［變式訓(xùn)練3】(2020四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二開學(xué)考試)在△ABC中，D為BC為線段AD的中點(diǎn)，若2BD=DC，且BE=xAB+yAC，則x+y=( )2A A. 2A A. 31B?—2C.1D?—-【詳解】由圖可知，BE【詳解】由圖可知，BE=AE-AB，因?yàn)镋為線段AD的中點(diǎn)，所以AE=；AD，因?yàn)?因?yàn)?BD=DC，所以BD=3bC，所以BE=AE-AB=1AD-AB=1(AB+BD)-AB=1AB+上(AC-AB)-AB2 2 2 62 1 2 1一3ab官'因?yàn)锽E=XAB+ '岌以切-3,yZ6，21 1所以x+y=-立6=-2，故選：B重難點(diǎn)題型突破5綜合應(yīng)用例5.（1）（2020屆黑龍江省齊齊哈爾高三二模）如圖，在AABC中，點(diǎn)2為線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P為線段BQ上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則PA+PC=（ ）A.1BA+-BC b5BA+-BC C1BA+10BCd-BA+-BCTOC\o"1-5"\h\z3 3 .9 9 ?9 9 .9 92—［解析］PA+PC—BA—BP+BC—BP—BA+BC——BQ一2一一1一一」1一 ,—BA+BC—^(BA+AQ)—-BA+BC-成1AC3 3 33一?5 7一——BA+BC——(BC—BA)——BA+—BC3 9 9 9 ?【變式訓(xùn)心1】、0020?仁壽縣文宮中學(xué)高一月考(文))設(shè)D,E,F分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且DC—2BD,CE—2EA,AF—2FB，則AD+BE+CF與BC△()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂「一一

【詳解】AD=AB+BD=AB+1BC=AB+1CaC-AB）=-AB+-AC3 3 3 3同理.BE=2BA+1BC,CF=2CB+1CA,： ?3 ,, —_x，所以AD±BE所以AD±BE±CF=（2 1 \二.二13 3 ）（2 1 \ .（2a*Acj±-BA+-bc+-C+-CA=1CB,

3所以AD+BE+CF與Bb反向平行故選：A【變式訓(xùn)練5-2】、（2019四川廣安市高一期末）已知OAB中，點(diǎn)D在線段OB上，且OD=2DB，延長(zhǎng)BA到C，使BA=AC.設(shè)OA=a,OB=b.△（1） 用a,b表示向量OC,DC；（2）若向量OC與OA+kDC共線，求k的值.【詳解】解：（1）A為BC的中點(diǎn)，OA=1（OB+OC），1 A A匕r > A2—- 5-可得OC=2OA-OB=2a-b，而DC=OC-OD=OC-3OB=2a-3b（2） 由（1）得OA+kDC=（2k+1）a--kb， ??? ―? ~—?OC與OA+kDC共線，設(shè)OC=人￡+kDC），即2a-b=X（2k+1）a+--人kb，3TOC\o"1-5"\h\z2=X（2k+1） 3根據(jù)平面向量基本定理，得｛L 5八，解之得，k=-.-1=一一人k 4〔 3三、課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）

（2019?四川南充市?閬中中學(xué)高一月考）下列命題中正確的是（ ）A.共線向量都相等 B.單位向量都相等C.平行向量不一定是共線向量D.模為0的向量與任意一個(gè)向量平行【詳解】對(duì)于A,共線向量大小不一定相等，方向不一定相同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,單位向量的模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,平行向量一定是共線向量，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，模為0的向量是零向量，它與任意一個(gè)向量是平行向量，D正確.故選D.（2020四川綿陽(yáng)市?三臺(tái)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一開學(xué)考試）下列命題中正確的是（ ）A.OA-OB=AB B.AB=BAC.WB_=0AB+BC+CD=ADC.WB_=0【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，OA-OB=BA，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng)，AB=-BA，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，0?AB=0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng)，AB+BC+CD=AC+CD=AD，D選項(xiàng)正確.故選：D.B.2e—eB.2e—e，e-1e1 2 1 22A.e—e，e—e12 2 1C.2C.2e2—3e1，6匕—4e2D.e+e，e—e【詳解】不共線的兩個(gè)向量可以作為平面的一組基底對(duì)于A，e—e=—(e—e)不滿足；對(duì)于B，2e—e=2(e—二e)不滿足;2 1 12 12 122

對(duì)于C,6e—4e=—2（2e—3e）不滿足；故選：D.1 2 2 1（2020-四川綿陽(yáng)市?三臺(tái)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一月考）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，一E,兩別為BC,CD的中點(diǎn)，G為EF中點(diǎn)，則AG=（ ）ABABA.-AB+1AD b.1AB+-AD C.-AB+-AD d.2AB+-AD【詳解】根據(jù)題意:AG=-\AE+AF)，又AE=AB+BE=AB+1AD【詳解】根據(jù)題意:TOC\o"1-5"\h\z2一 一. 2一…_3 3…一AF=AD+DF=AD+-AB，所以AG=-AB+-AD，故選：C4>（2020?四川瀘州市?瀘縣五中高一月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.AB=DC B.AD+AB=AC C.AB—AD=BDD.AD+CB=0【解析】在平行四邊形ABCD中,顯然有AB=DC,AD+CB=0,故A,D正確；根據(jù)向量的平行四邊形法則，可知AD+AB=AC,故B正確;根據(jù)向量的三角形法,AB—AD=DB,故C錯(cuò)誤;故選:C.（2023四川成都市?棠湖中學(xué)高一月考（文））設(shè)AABC中BC邊上的中線為AD，點(diǎn)O滿足AO=2OD，則OC=( )A.--AB+-ACB.-AB-1A