第34講-棱錐和棱柱（解析版）-【高考培優(yōu)直通車】-2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)教案（上海專用）

第34講-棱錐和棱柱（解析版）

1.掌握棱柱和棱錐的概念和性質(zhì)；

學(xué)習(xí)目標(biāo)：2.掌握棱柱和棱錐常見的計(jì)算問題；

3.會(huì)利用棱柱和棱錐的性質(zhì)解決實(shí)際應(yīng)用問題

教學(xué)內(nèi)容---------------------

入門

◎小測

1.下列命題正確的是（）

A.棱柱的底面一定是平行四邊形B.棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐

C.棱錐的底面一定是三角形D.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱

【答案】D

【分析】

根據(jù)棱柱與棱錐的結(jié)構(gòu)特征依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】

解：對于A選項(xiàng)，三棱柱的底面是三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于B選項(xiàng)，過棱錐頂點(diǎn)與底面內(nèi)的線構(gòu)成的截面將棱錐分為兩個(gè)棱錐，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于C選項(xiàng)，棱錐有三棱錐、四棱錐等，故底面不一定為三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)該截面為平行于上下底面的截面時(shí)，分成的兩部分依然為棱柱，故D選項(xiàng)正確.

故選：D

2.在如圖所示的棱長為2()的正方體MS-A8CQ中，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)p在側(cè)面A*A

上，且到AA的距離為6,至!的距離為5,則過點(diǎn)P且與4〃垂直的正方體截面的形狀是()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，以及正方體的截面的性質(zhì)、平面的基本性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

如圖所示，過點(diǎn)P作EF//AR,因?yàn)锳RJ.AD,可得M_LA,。，

又由ABJ平面A。。圈,可得EF±A,B,,

因?yàn)榭傻闷矫?/p>

又因?yàn)锳MU平面A與C。，所以

又由平面//平面BCG4,可得EF//NH,

過EF,NH作一個(gè)平面，交正方體其它各面的交線分別為FG,GH,NI,IE,

可得截面的形狀為六邊形EFGHM.

故選：D.

3、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

4

【答案】-

3

【解析】由三視圖可知，三棱錐高為2,底面為底邊長為2的等腰三角形，底邊

114

上的高為2,從而可求體積，V=-x2x2x-x2=-.

323

4、在正方體ABC。-44G。的所有棱中，任取其中三條，則它們所在的直線兩兩異面的概率為

2

【答案】—

55

【解析】】如圖，將正方體12條棱分成3組，記為A、B、C,在A組找一

條直線，可以在B、C組找到兩組與A組直線異面的，A組直線有4條，顧

基本事件有8種，樣本容量為所以，本題概率為義=上

C：255

即小課導(dǎo)堂入

克萊因瓶是一個(gè)不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是定向的二維緊流形。

如果觀察克萊因瓶，有一點(diǎn)似乎令人困惑一一克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句

話說，瓶頸上的某些點(diǎn)和瓶壁上的某些點(diǎn)占據(jù)了三維空間中的同一個(gè)位置。

我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個(gè)在四維空間中才可能

真正表現(xiàn)出來的曲面。如果我們一定要把它表現(xiàn)在我們生活的三維空間中，我們只好

將就點(diǎn)，把它表現(xiàn)得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維度

再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。用扭結(jié)來打比方，如果把它看作平面上的曲線

的話，那么它似乎自身相交，再一看似乎又?jǐn)喑闪巳亍５鋵?shí)很容易明白，這個(gè)圖形其實(shí)是三維空間中的曲

線。它并不和自己相交，而是連續(xù)不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的

話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因?yàn)槲覀円阉嬙诙S平面上時(shí)，只好將就一點(diǎn)，把它畫

成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，我們可以把它理解成處于四維空間中的曲面。在我們這個(gè)三維空

間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣：就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結(jié)的

時(shí)候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會(huì)得到兩個(gè)

莫比烏斯環(huán)。

,精講

甲精練

。知識點(diǎn)一：棱柱的概念與分類

------------------卬知識梳理------------------

1、概念：如果一個(gè)多面體有兩個(gè)全等的多邊形的面相互平行，且不在這兩個(gè)面上的棱都相互平行，那么這個(gè)

多面體叫做棱柱.棱柱的兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側(cè)面，棱柱的側(cè)面都是平行

四邊形.不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱，兩個(gè)底面間的距離叫做棱柱的高.

2、性質(zhì)：

(1)側(cè)棱平行且相等，側(cè)面都是平行四邊形;

(2)兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是全等的多邊形;

(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形.

3、分類：

,直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱

(1)按側(cè)棱與底面的關(guān)系分類：，

斜棱柱：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱

三棱柱：底面是三角形的棱柱

四棱柱：底面是四邊形的棱柱

(2)按底面多邊形的邊數(shù)分類：，

〃棱柱：底面是〃邊形的棱柱

4、特殊的棱柱：

(1)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

(2)平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱：

(3)直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體;

(4)長方體：底面是矩形的直棱柱;

(5)正四棱柱：底面是正方形的長方體:

(6)正方體：所有棱長都相等的長方體.

------------------字例題精講-------------------

例1、下列有關(guān)棱柱的命題中正確的是()

A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱：

C.一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱；

。.棱柱的側(cè)棱長有的都相等，有的不都相等；

【答案】C

【解析】A、B都不能保證側(cè)棱平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，對于。，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱都相等，一個(gè)最簡單

的棱柱是三棱柱，有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱；所以選C：

例2、己知下列六種棱柱：①直棱柱;②直平行六面體；③正三棱柱：④正五棱柱：⑤正六棱柱；⑥正方B

形.其中對角線長都相等的棱柱是O

A.②和④B.④和⑤

C.④和⑥D(zhuǎn).①和⑥

【答案】C,這六棱柱都是直棱柱，所以只要看他們底面的對角線是否相等。

〃鞏固練習(xí)

1、給出下列命題：①平行六面體是四棱柱；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也

兩兩垂直；③棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)；④用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部

分是棱臺；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

對于①，由平行六面體的定義判斷即可；對于②，利用面面垂直的判定定理判斷；對于③④，由

棱臺的定義判斷

【詳解】

解：對于①，因?yàn)榈酌媸撬倪呅蔚乃睦庵瞧叫辛骟w，所以平行六面體是四棱柱，所以①正確;

對于②，設(shè)三棱錐中，側(cè)棱尸因?yàn)榻挥谝稽c(diǎn)P,所以

PAJ■平面平面PAC,PC_L平面R43,因?yàn)镻Au平面PAC,"u平面2轉(zhuǎn)，所以平面

P8C_L平面PAC,平面尸8C_L平面相8,同理可得平面以8J_平面尸AC,所以②正確；

對于③，由棱臺的定義可知棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，所以③正確；

對于④，當(dāng)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分才是梭臺，所以

④錯(cuò)誤，

所以正確的有3個(gè),

故選：c

2、判斷下列命題是真命題還是假命題.

①側(cè)面是矩形的直四棱柱是長方體；②直平行六面體是長方形；③對角面是全等矩形的四棱柱是長方體；④底

面是矩形的棱柱是長方體

【答案】①②③④都是假命題

【解析】①中，底面不一定是矩形；②中；底面可以是一般的平行四邊形；③中底面四邊形兩對角線的長相等,

但不一定是矩形；④中，可以是斜棱柱。

。知識點(diǎn)二：棱柱的側(cè)面積與體積

------------------?知識梳理-------------------

側(cè)面積、表面積（全面積）、體積：

（1）棱柱的側(cè)面積等于各側(cè)面面積之和，表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面面積之和；

（2）V=S底=S直?/,其中S底是棱柱的底面積，力是棱柱的高，S直是棱柱的直截面面積，/是棱柱的側(cè)

棱長.

------------------軍例題精講-------------------

例1、己知一個(gè)長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別為2、3、4,則其體對角線長度為

【答案】叵

6

【分析】

計(jì)算出長方體共頂點(diǎn)的三條棱的長度，利用長方體體對角線公式可求得結(jié)果.

【詳解】

2"

X=---

。3

移%

設(shè)長方體共頂點(diǎn)的三條棱的長度分別為X、y、z,則yz=3,解得卜=手，

xz=4

z=Vr6

因此，該長方體的體對角線長為曲了壽=叵.

6

故答案為：華.

6

例2、長方體ABCO-ABCQ中，AB=2,BC=4,4A=L則一只小蟲從A點(diǎn)沿長方體的表面爬

到G點(diǎn)的最短距離是.

【答案】5

【分析】

首先根據(jù)題意得到A點(diǎn)到&點(diǎn)的最短距離有3種情況，再分別求出最短距離比較即可得到答案.

【詳解】

如圖所示：在長方體A8CD-A4CQ中,

若按照圖①展開，此時(shí)AG為A點(diǎn)到G點(diǎn)的最短距離,

若按照圖②展開，此時(shí)為A點(diǎn)到c,點(diǎn)的最短距離,

4c=6,CC,=1,=J36+1=后.

若按照圖③展開，此時(shí)AG為A點(diǎn)到c,點(diǎn)的最短距離,

DG

BBi

③

明=3,BC、=4,AC；=J9+16=5.

綜上所述：A點(diǎn)到G點(diǎn)的最短距離為5.

故答案為：5

例3、正三棱柱A8C-A4G中，所有棱長均為2,點(diǎn)E、尸分別為棱8月、AG的中點(diǎn),若過點(diǎn)A、

E、F作一截面，則截面的周長為.

【答案】2石+粵，

【分析】

將正三棱柱ABC-ABC擴(kuò)大成正三棱柱4"。-Az/A,其中供=2e=4,AH=2AB=4,再解三

角形可得答案.

【詳解】

如下圖所示，將正三棱柱A8C-A8G擴(kuò)大成正三棱柱4月力-4/2,其中

/L4,=2AA,=4,AH=2AB=4,

則點(diǎn)E為AM的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC2的中點(diǎn)，設(shè)％FnB?=G,則EF//HC，所以過點(diǎn)A、E、F

的截面為AEGF,

因?yàn)楹?AF均為兩直角邊分別為2,1的直角三角形，所以他=鉆=亞心=后,

在AAHQ中,連接〃聲交8G于G,則G為的重心,

所以SG=：BG=|，=因?yàn)槎?4xsin60°=26,C/=l,所以

FG=-Hf=->l\2+\=—,

3133

又因?yàn)間E,平面4乃6,所以三角形EB,G為直角三角形，且E4=1，4G=；2,所以

EG=.=半,所以截面的周長為2石+半.

故答案為：2柄+名叵.

3

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查幾何體的截面的相關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)公理作出所求的截面，再運(yùn)用解三

角形的相關(guān)知識得以解決.

例6、長方體的對角線與過同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)表面所成的角分別為a,p,y,則

cos2a+cos2P+cos2y=.

【答案】2.

例4、在長方體ABCD-A中，下列計(jì)算結(jié)果一定不等于0的2________________C1

AR?BCB.BDyAC

C.DCAD}D.BD「B￡

【答案】D

【解析】A中，當(dāng)四邊形A。。A為正方形時(shí)，AD^A^D,而4?！ㄓ谩?，所以ARLBC，此時(shí)有

也?時(shí)=0；B中，當(dāng)四邊形A8CO為正方形時(shí)，AC1BD,則結(jié)合ACJ_，知ACL平面8片已。，

所以AC_L82,此時(shí)有，BD^AC=0-.C中，由長方體的性質(zhì)知OC工平面AARO,所以。C_LAR,

此時(shí)有比?麗'=()；D中，由平面CORG，所以8CJ.CR,即ABCR為直角三角形，ZBCD,

為直角，所以5c和BA不可能垂直，又所以4G和5A不可能垂直。所以西?瓦故

選D

例5、已知正方體的棱長為2,每條棱所在直線與平面4所成的角相等，貝！截此正方體所得截

面面積的最大值為.

【答案】3百

【分析】

利用正方體的線面關(guān)系，判斷平面a所在的位置，然后求得截面面積的最大值即可.

【詳解】

在正方體中，共有3組互相平行的棱，每條棱與平面a所成的角都相等，如圖所示的正六邊形對

應(yīng)的截面面積最大.

其面積為6x且x（夜）2=36

此時(shí)正六邊形的邊長為友,

4

故答案為：36

例6、如圖，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=lf

=高等于3,點(diǎn)M2,M，M為所在線段的三等分點(diǎn).

（1）求此三棱柱的體積和三棱錐A-AM?N?的體積;

（2）求異面直線AN2,所成的角的大小.

13

【參考答案】解：（1）S^BC=-,VABCABC=-……2分

3

SMM|A=1,G到平面4網(wǎng)4的距離等于1，即N2到平面4?與4的距離等

131

「1，；?〃-'“此=匕2-4必4=§X/=/

31

三棱柱A8C-44G的體積等于萬（立方單位），三棱錐A-AM戶？的體積等于5（立方單

位）.........7分

（2）取線段AA的三等分點(diǎn)產(chǎn)P2,連KM?,ptc.

???部/Pg,AM}//PtM2,NM24c的大小等于異面直線4N2，所成的角或其補(bǔ)角的大

小........9分

RC=&,M2C=V6.

2+2-62

cosNA/26c

-2xV2xV22

/.異面直線4%2，所成的角的大小等丁14分

例7、如圖，己知四棱錐P-A3CD的底面4BCO是邊長為2的正方形，尸。人底面4BCD,PD=l.

p

D

AB

(1)求直線Q3與平面PCD所成的角的大小;

(2)求四棱錐P-ABC。的側(cè)面積.

【答案】⑴arctan=-；⑵2+2石.

【解析】

⑴，平面ABCD且AOq平面ABCD

：.PD±AD

?.?底面4BCD是正方形

ADLCD

又，AD且PD口8=。

，AD1,平面PDC

???AOu平面ABCD

平面ABCD±平面PDC

???BCu平面ABCD,。27平面/5。。，..^。，75。

由題可知，B在平面PDC的射影為C,故直線PB與平面0DC所成角為N5PC

-.CD=2,PD^\,:.CP=6tanNBPC=也=2=巫

CPy/55

2亞

故直線QB與平面PC。所成角的大小為arctan*.

(2)S側(cè)面積—Swp+S&CDP+SABCP+S/MBP

AD-DPCDDPBCCPABAP

39M面積=21■212h2

S例面積=1+1+石+6=2+26.

夕鞏固練習(xí)

1、已知某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為—

【答案】V22

【解析】構(gòu)造如圖邊長為3的正方體，四棱錐P—ABCD即滿

足題意的四棱錐，可知PC最長，PC=V32+32+22=y[22

2、如圖，正三棱柱ABC—AgG的各棱長均為2,。為棱3c的中點(diǎn)。

（1）求該三棱柱的表面積；

（2）求異面直線AB與G。所成角的大小.

【答案】⑴12+2百⑵arccos^-

【解析】（1）S=3x22+2x^x22=12+73

4

（2）取AC的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)OE、GE,則田〃所以（或其補(bǔ)角）是異面直線A3與

G。所成的角，在VCQE中，GD=GE=6DE=1

甯，所以異面直線AB與G。所成角的大小為arccos*

所以cos/CQE=CD+DE2-CE

2客iDQE

知識點(diǎn)三：棱錐的概念與分類

------------------卬知識梳理-------------------

1、概念：如果一個(gè)多面體有一個(gè)多邊形的面，且不在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這個(gè)多面體叫做棱

錐.棱錐的多邊形的面叫做棱錐的底面，其他的面叫做棱錐的側(cè)面，棱錐的側(cè)面都是三角形.不在底面上的棱

叫做棱錐的側(cè)棱，側(cè)棱的公共點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)與底面之間的距離叫做棱錐的高.

2、性質(zhì)：

（1）側(cè)棱和高被平行于底面的截面分成比例線段；

（2）平行于底面的截面和底面是相似多邊形；

（3）平行于底面的截面面積和底面積之比，等于頂點(diǎn)到截面與頂點(diǎn)到底面的距離平方之比.

3、分類：按棱錐的底面多邊形的邊數(shù)分類，底面是幾邊形，就稱該棱錐是幾棱錐.

------------------序例題精講

例L下列說法正確的是（）

A.四棱柱的所有面均為平行四邊形

B.長方體不一定是正四棱柱

C.底面是正多邊形的棱錐，是正棱錐

D.正四面體一定是正三棱錐

【答案】BD

【分析】

利用棱柱以及棱錐的定義，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】

解：四棱柱的上下底面四邊形可以是任意四邊形，故A不正確；

長方體不一定是正四棱柱，正確，因?yàn)殚L方體的三邊可以不相等，所以B正確；

不僅底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，才是正棱錐，故C不正確；

正四面體一定是正三棱錐，故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

本題考查棱錐，棱柱的定義的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)特征的判斷，是基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是要準(zhǔn)確掌握有關(guān)幾何體

定義.

例2.一個(gè)多面體的所有棱長都相等，那么這個(gè)多面體一定不可能是（）

A.三棱錐B.四棱臺C.六棱錐D.六面體

【答案】BC

【分析】

利用特例判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】

解：一個(gè)多面體的所有棱長都相等，三棱錐是正四面體時(shí)，滿足題意所以選項(xiàng)A可能；

棱臺的上底面與下底面的邊長不相等，所以不滿足題意，所以選項(xiàng)B不可能；

如果正六棱錐的棱長都相等，則正六棱錐的六個(gè)頂角都是60,所以它們的和為36()。，則正六棱

錐的所有定點(diǎn)共面，顯然不成立，則正六棱錐的底面邊長與棱長不可能相等，所以C不可能；

六面體是正方體時(shí)，滿足題意，所以D有可能.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的概念，能利用特例和反例判斷.

例3、已知圓錐的底面半徑為G,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為()

A.3B.2>/3C.6D.4石

【答案】B

【分析】

設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長為/,由底面半徑為r=石，側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓,

所以2兀，,=%/,

所以該圓錐的母線長為/=2r=2V3.

故選：B.

------------------,鞏固練習(xí)-------------------

1、三棱錐成為正三棱錐的一個(gè)充分而不必要條件是三棱錐的（）

A.高經(jīng)過底面三角形重心；B.各側(cè)面都是全等的等腰三角形；

C.底面是正三角形且三棱錐的高經(jīng)過底面中心；。.三個(gè)側(cè)面與底面都是正三角形；

【答案】D

【解析】本題考查棱錐的概念和性質(zhì)。答案A,B都是必要非充分條件，答案C是充要條件，答案D是充分非必

要條件；比如正四面體是正三棱錐，而正三棱錐不一定是正四面體，所以選D.

2、判斷下列命題的真假：

（1）棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，且側(cè)棱相互平行；

（2）棱柱的兩個(gè)底面都是全等的多邊形，且兩多邊形所在平面相互平行；

（3）正棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影是底面多邊形的中心；

（4）多面體的側(cè)面積就是多面體某個(gè)側(cè)面的面積。

【答案】（1）真，（2）真，（3）真，（4）假

解析：根據(jù)棱柱和凌錐的性質(zhì)即可判斷。

｝知識點(diǎn)四：棱錐的表面積、體積與正棱錐

-------------------------------5知識梳理----------------

1、側(cè)面積、表面積(全面積)、體積：

(1)棱錐的側(cè)面積等于各側(cè)面面積之和，表面積等于側(cè)面積與底面面積之和：

(2)其中S是棱錐的底面積，力是棱錐的高.

2、正棱錐：

(1)定義：如果棱錐的底面是正多邊形，且底面中心與頂點(diǎn)的連線垂直于底面，那么這個(gè)棱錐叫做正棱錐.

(2)性質(zhì):

1°各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高：

2°棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也

組成一個(gè)直角三角形；

3°正棱錐的各側(cè)棱與底面所成的角相等，各側(cè)面與底面所成的二面角相等.

注意：正四面體是特殊的正三棱錐

申例題精講

例1、如圖，在正四棱錐ABC。中，側(cè)棱長均為4,且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為3（r,E,b分別

是線段0C上的一點(diǎn)，貝IAE+EF+FD的最小值為（）

A.4B.4C.4&D.272

【答案】C

【分析】

將正四棱柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)間距離結(jié)合三角形知識求得結(jié)果.

【詳解】

如圖，將正四棱柱的側(cè)面展開，則AE+EF+F。的最小值為AO.在△040中,

OA=OD=4,ZAOD=90°,則AO=0O4=4ji.

故選：C.

0

例2、如圖：正三棱錐4-5。中，ZfiM）=3（r,側(cè)棱長為2,過點(diǎn)c的平面截得AC8a.貝！JACBQ

的周長的最小值為（）

D

A.2B.2GC.4D.25/2

【答案】D

【分析】

沿正三棱錐A-8CZ）的側(cè)棱AC剪開，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，由AC8Q的周長的最小值為CC,求解.

【詳解】

由題意，沿正三棱錐A-BCO的側(cè)棱AC剪開，所得側(cè)面展開圖是三個(gè)頂角為30的等腰三角形,

腰長為2,如圖所示：

連接CC”則NCAG=90,

所以AACG是等腰直角三角形,

則C0=亞百=2近，

由兩點(diǎn)間線段最短得：ACBQ的周長的最小值為CC兩點(diǎn)之間的距離，即2夜,

故選：D

例3、如圖，在三棱錐?！狝EF中，4、B]、G分別是A4、DE、。廠的中點(diǎn),

B、C分別是AE、A尸的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱ABC-A8G的體積為匕，三棱錐

。―的體積為％,則乂：匕=.

3

【答案】-

O

1113

【解析】v=-s--h,v=-s^h,：.v-.v=-

x4]&，2Jx2o

例4、正四面體A6CD的體積為1,。為其中心，正四面體EFG”與正四面體A6CD關(guān)于點(diǎn)。對稱，則這

兩個(gè)正四面體的公共部分的體積為（）

【答案】B

【解析】正四面體ABCD旋轉(zhuǎn)過后，我們只需要觀察一角，上面的一角，點(diǎn)。為其中心，我們可以推出點(diǎn)0

31

把正四面體的高分為了一的關(guān)系，因此上面露出的體積為一，由于正四面體為中心對稱圖形，因此沒有重疊

18

的體積4x）,因此公共部分的體積為L

例5、如圖，直線/_L平面a,垂足為。，正四面體ABCD的棱長為2,A、

。分別是直線/和平面a上的動(dòng)點(diǎn)，且3C，/,則下列判斷：①點(diǎn)。到棱

中點(diǎn)E的距離的最大值為四+1；②正四面體45CD在平面a上的射

影面積的最大值為G；其中正確的說法是（

A.①②都正確B.①②都錯(cuò)誤

C.①正確，②錯(cuò)誤D.①錯(cuò)誤，②正確

【答案】C

【解析】對于①，取的中點(diǎn)M,由題意可知，點(diǎn)。是在以AD為直徑圓上，故0月皿="￡+1=0+1，

故正確

對于②，當(dāng)A與。重合時(shí)，投影是一個(gè)對角線長為2的正方形，此時(shí)面積為2,故錯(cuò)誤

例6、《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)

面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膈.首屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)

可以抽象為空間圖形陽馬，如圖所示.在陽馬ABC。中，PD1底面

1）已知A￡>=C￡>=4m,斜梁與底面ABCQ所成角為15。，求立柱的長（精確到0.01m）;

2）證明：四面體PDBC為鱉膈.

【答案】（1）立柱尸。的長約為1.52加（2）略

【解析】（1）解：因?yàn)閭?cè)棱底面438,

則側(cè)棱PB在底面ABCD上的射影是DB,

所以NPBO就是側(cè)棱PB與底面A8CO所成的角，

即ZPBD=15°.在APDB中，ZPDB=90°,DB=>/AD2+CD2=4g(㈤，

PDPD

由山〃NP8O=——得以〃15°=號，解得PDyl.52（〃z）.所以立柱P。的長約為1.52%

DB472

（2）由題意知底面ABC。是長方形，所以ABCD是宜角三角形.

因?yàn)閭?cè)棱PC底面A5QD，得PD上DC,PD工DB,PD工BC,所以“。。、APZ乃是直角三角形.

因?yàn)?CJ_Z）C3C_LP。，又PDcDC=D，所以6。，平面尸。C.

又因?yàn)镻Cu平面2OC,所以8CLPC，所以APBC為直角三角形.

*

由鱉喘的定義知，四面體PDBC為鱉膈.

〃鞏固練習(xí)

1、已知正四棱錐P-ABCO的所有棱長均為2&,E,尸分別是PCAB的中點(diǎn)，則所=（）

A.V6B.75C.V7D.3

【答案】A

【分析】

設(shè)正方形488的中心為O,則P。，平面A8CD,由PC=2近求出OC=OP=2,取OC的中點(diǎn)H,

在QFH中由余弦定理求出FH,在Rt^EHF中由勾股定理即可求解.

【詳解】

如圖，設(shè)正方形ABCO的中心為。，則POJ_平面ABCD,連接OC,PO,OF,

因?yàn)榈酌媸沁呴L為2夜的正方形，所以AC=4,所以O(shè)C=OP=2,

設(shè)。C的中點(diǎn)為“，連接EH,FH,則EH//OP,所以訪=90=1,

所以E〃_L平面ABCD,因?yàn)殛杣平面4BCO,所以四

在AOF“中，O”=l,OF=；BC=g,ZTOC=135,

由余弦定理可得切=O"2+O產(chǎn)一2xOHxOFcosl35'=3-2xlx0x（-，）=5,

所以戶”=不，

在放中，由勾股定理可得：EF7EH?+FH2.

2、三棱錐尸—ABC滿足：ABLAC,AB±AP,AB=2,AP+AC=4,則該三棱

錐的體積/的取值范圍是.

4

【答案】（0；].

3

【點(diǎn)評】當(dāng)PAJ_平面ABC時(shí)體積最大.

3、一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，則截得的小棱錐與原棱錐的高之

比是（）

A.1：2B1：8C.72:2D-x/2:4

【答案】C

【解析】設(shè)截后錐的高度為/z,原錐高為H,由于截面與底面相似,一個(gè)正棱錐被平行于底面的平行而所

截，且截面面積與底面面積的比為1:2

2=[=也,所以答案選C

WV22

當(dāng)堂

檢測

1、已知正四棱柱底面邊長為2立，體積為32,則此四棱柱的表面積為,

【答案】16+32正

【解析】由題意得正四棱柱的高力=后于=4,所以表面積S表=2x(2jl)2+4x4x2拉=16+32拒

2、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為—

4

【答案】-

3

【解析】由三視圖可知，三棱錐高為2,底面為底邊長為2的等腰三角形，底

114

邊上的高為2,從而可求體積，V=-x2x2x-x2=-.

323

3、如圖，在過正方體ABCO-44G。的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的所有直線中，與直線

AG異面的直線的條數(shù)為

【答案】12

【解析】考察異面直線的知識點(diǎn)，可先找出與直線共面的直線，排除即可。

4、在正方體ABCD_AB￡D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線A.B異面且夾角成60。的直線的條數(shù)

為（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】直線BC-A|C「A|D、BD四條

5、在正方體ABCD-AqGR中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.（AA+AA+44）2=3Ag

B.V?-（4B,'-AA）=0

c.向量而與港的夾角是120。

D.正方體ABCD-A4GA的體積是AB-M-AD|

【答案】。

【解析】D錯(cuò)誤，應(yīng)為?礪H麗H而?

6、已知四棱錐產(chǎn)一A3CD,PA,底面ABCD,PA=\,底面ABC。是正方形，E是P。的中點(diǎn)，PD是

TT

底面A3CD所成角的大小是一

6

（1）求四棱錐P—ABCD的體積

（2）求異面直線AE與PC所成角的大小，（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【答案】(1)1：(2)arccos—

7

【解析】解：（1）由PAJ_底面A3CQ,得與底面A8CO所成角為NPZM,…3分

由NPDA=C,得AO=6，....................4分

6

所以V=laZ52xPO=l；....................................7分

3

（2）解法一：取CO中點(diǎn)/，連接EF,AF,因?yàn)樗?/PC,所以NAE尸就是所求角（或其補(bǔ)角）10分

222

小、1筲拒4斤14〃岳通近.._AE+EF-AF幣

由t］算得AE=1,AF=---,EF=?cos/LA.pEFp=-----------------=-----

222AEEF7

所以，異面直線所成角為其補(bǔ)角，大小為arccos立........................14分

7

解法二：如圖建系（圖略），得P（0,0,l）,C（G，6,0）,E°，弓，3，.......10分

荏.定

設(shè)異面直線所成角為。，則cos6=_V7

\AE\\PC\~~

所以，異面直線所成角大小為arccos14分

7

7、若直三棱柱ABC—ABC，AB工BC,AB—BC=2,A4,=273,M是側(cè)棱GC

1.

上一點(diǎn)，設(shè)MC=/z.

（i）若力=百，求多面體ABM—ABC的體積；

（2）若異面直線8VT與4G所成的角為60。，求力的值.

【答案】⑴今8（2）2

【解析】（1）因?yàn)镸C=/z=Ji.

12^/3

三棱錐M-的體積V=棱椎=§SoBcxMC=q-...........................2分

三棱柱ABC-A】B￡的體積其棱柱=S△血xCC；=4g......................4分

所以多而體A8M—AgG的體積為

__一兇

vy多面體八BM—A與G一v三棱柱一v'二:棱錐—一一6分

（2）法1：在平面5CGA上過點(diǎn)G做3M的平行線與3瓦交于N,聯(lián)結(jié)4N,

則/AgN就是異面直線BM與4G所成的角?..............8分

顯然3戶=〃，AN=CM且AG=2夜......................io分

所以△4GN為等邊三角形，故》+4=8..........12分

解得：h=2.........................................14分

法2：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線片分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則得到5（0,0,0）,

A（0,2,2V3）,C,（2,0,273）,M（2,0,〃）,而=（2,-2,0）,BM=（2,0,/i）......8分

加.而

由異面宣線BM與AG所成的角為60°得，cos60°=10分

41LI----------

即—rz~/=—,>/2?v4+〃2=4...........................12分

"2

解得〃=2.................................................14分

8、如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的

直線豎直向上，并記組成該“釘”的四條線段的公共點(diǎn)為。，釘尖為A,（i=1,2,3,4）.

（1）記?？?4（a>0）,當(dāng)A、4、A3在同一水平面內(nèi)時(shí)，求04與平面44A3所成角的大?。ńY(jié)果用

反三角函數(shù)值表示）；

（2）若該“釘”的三個(gè)釘尖所確定的三角形的面積為3形cm"要用某種線型板

復(fù)制100枚這種“釘”（耗損忽略不計(jì)），共需要該種材料多少米？

【答案】（1）arccos^-（2）200.65.

3

【解析】（1）根據(jù)題意，可知組成該種釘?shù)乃臈l線段長必相等，且兩兩所成的肓

結(jié)，后得到的四面體為正四面體

延長A4O交平面A44于B,則A4B±平面A{A2Ay,連接A}B,

則45是0。在平面A44上的射影，所以ZO4.B即為。41與平面

所成角。

設(shè)444=/,則A1B=三/在RTAAEB中，AA?=4公+,

故AB=4巫a=^a

33