閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(詳細版)

第十節(jié)一、有界性與最大值最小值定理二、零點定理與介值定理*三、一致連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一章1編輯課件學(xué)習(xí)指導(dǎo)１．教學(xué)目的：了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。２．根本練習(xí)：了解并通過一定的練習(xí)學(xué)習(xí)最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理在函數(shù)值的估計和根的估計上的應(yīng)用。3．本卷須知：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有許多好的性質(zhì)。應(yīng)了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理。了解定理的條件和結(jié)論，并通過一定的練習(xí)學(xué)會運用它們．2編輯課件如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),在右端點b左連續(xù),在左端點a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的。3編輯課件

并非任何函數(shù)都有最大值和最小值

例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a

b)內(nèi)既無最大值又無最小值

應(yīng)注意的問題:一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))那么稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)4編輯課件例如,5編輯課件說明:定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一點x2

[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一點x1

[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理說明

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

那么6編輯課件應(yīng)注意的問題:

如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)

或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點

那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值

例如

函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a

b)內(nèi)既無最大值又無最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

7編輯課件又如如下函數(shù)在閉區(qū)間[0

2]內(nèi)既無最大值又無最小值

應(yīng)注意的問題:

如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)

或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點

那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

8編輯課件定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界

證明設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)根據(jù)定理1存在f(x)在區(qū)間[ab]上的最大值M和最小值m使任一x[ab]滿足mf(x)M上式說明f(x)在[ab]上有上界M和下界m因此函數(shù)f(x)在[ab]上有界定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

9編輯課件有界性與最大值最小值定理:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值.注意:1.假設(shè)區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.假設(shè)區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.10編輯課件二、零點定理與介值定理注:如果x0使f(x0)=0那么x0稱為函數(shù)f(x)的零點定理3(零點定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)與f(b)異號

即f(a).f(b)<0，那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少存在一點x

使f(x)=0

11編輯課件例1證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個根證明設(shè)f(x)=x3-4x2+1那么f(x)在閉區(qū)間[01]上連續(xù)并且f(0)=1>0f(1)=-2<0根據(jù)零點定理在(01)內(nèi)至少有一點x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個根是x二、零點定理與介值定理定理3(零點定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)與f(b)異號

即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少存在一點x

使f(x)=0

12編輯課件定理4(介值定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)

f(b)

那么

對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少有一點x

使得f(x)=C

二、零點定理與介值定理定理3(零點定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)與f(b)異號

即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少存在一點x

使f(x)=0

13編輯課件二、零點定理與介值定理定理3(零點定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)與f(b)異號

那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點x

使f(x)=0

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值

定理4(介值定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)

f(b)

那么

對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少有一點x

使得f(x)=C

14編輯課件證MBCAm15編輯課件由零點定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.幾何解釋:16編輯課件例2證由零點定理,17編輯課件三、一致連續(xù)性定理5(一致連續(xù)性定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么它在該區(qū)間上一致連續(xù).不管在區(qū)間I的任何局部，只要自變量的兩個數(shù)值接近到一定程度，就可使對應(yīng)的函數(shù)值到達所指定的接近程度。定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于任意給定的正數(shù)ε，總存在著正數(shù)δ，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1,x2，當|x1-x2|<δ時，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。18編輯課件思考題下述命題是否正確？19編輯課件思考題解答不正確.例函數(shù)20編輯課件五、小結(jié)關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的四個定理：有界性定理、最值定理、零點定理、介值定理，注意條件：1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點不全滿足時上述定理不一定成立．它們是研究連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具。21編輯課件內(nèi)容小結(jié)在上到達最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當時,使必存在上有