高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和學(xué)案

數(shù)列求和的方法

考點(diǎn)一裂項(xiàng)相消法求和

1、定義：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為‘'分式或根式''的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，通過累加將一些正、

負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩收尾有限項(xiàng)的求和方法叫做裂項(xiàng)相消法.

2、適用數(shù)列：孰=」廠=!（,一^）,（b?-an=d,nwN*,d為常數(shù)）

a力“danbn

」-」(?)、；一1一一-一匚

3、常見的裂項(xiàng)技巧:

幾(〃+女)knn+k4n~-1(2八一1)(2〃+1)22n-l2〃+l

Yn+1-y/~n11〃+1111

t--------——1==Y+Z-G)一——,—、---------——I——---------1

1n+l&J〃+l(〃+2f4/(〃+2尸

（2〃比〃+1『+夕+-擊）、皿1+＞電5+1）-電〃（?！?。，"1）

〃(〃+l)1(〃+2)W[〃(〃+l)(〃+l)(1〃+2)

]、—=---(―--)(〃<9).

pqq-ppq

【例1】已知等差數(shù)列｛4,｝滿足4=6+%，且％T是%-1，%的等比中項(xiàng)?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a=」一（"eN*）,數(shù)列也｝的前項(xiàng)和為，，求卻

44+1

解：⑴設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,所以4-。3=34=6,即d=2,

二.%-1=q+3,%-1=4+1，4=4+6,

又a3T是4T，%的等比中項(xiàng)，

Q-］了=（%_］）.%,即（4+3）2=（4+1）（4+6）,解得％=3.

數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式為=2/1+1.

1

1

（2）由（1）得勿，=______=1O___

anan+i（2〃+1）（2〃+3）2（2〃+12n+3J

]__]_J1

二4=4+4+…+或=g

35572〃+12〃+3

_____]幾

一51丁2〃+3廠3（2〃+3）

例2數(shù)列｛%｝中，4=3,%=6,其前〃項(xiàng)和為S.,且（q+「a”S“.

⑴求證：數(shù)列｛S,,｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛S,,｝的通項(xiàng)公式;

2S

⑵設(shè)"=（S7）（1「1）,求數(shù)列低｝的前"項(xiàng)和為7”?

（?。ㄉ?4）?S?=g.%（/?>2）,

??［（加-S.HZTT）H=⑸---S.）,

2

.?同=S,J("N2).(3分)

QS]=q=3wO,§2=。1+4=9W0,

???S.*0,

??堂多以

??數(shù)列IS,｝是等比數(shù)列.

Q此數(shù)列的公比為5=3,

.??其通項(xiàng)公式為2=3-3-1=3".(6分)

Ob二

"(S.-I)JT)

2-3,

=之一念T”分)

“=島-士卜島-尚i+

考點(diǎn)二分組求和

(I)形如數(shù)列｛。”｝滿足?！?2±%,且｛"｝,上“｝為等差或等比數(shù)列，可用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)

和公式求解，先分組求出數(shù)列物,｝、1“｝的前n項(xiàng)和，再得到數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.

(2)形如分段函數(shù)型數(shù)列，如奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的，可以按項(xiàng)數(shù)分組為奇數(shù)項(xiàng)

和偶數(shù)項(xiàng)求和，再用差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，再將奇數(shù)項(xiàng)的求和結(jié)果與偶數(shù)項(xiàng)的求和結(jié)果

相加即是最終結(jié)果.注意：求和時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值.

⑶并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如冊(cè)=(-1)"(q)

例3已知數(shù)列｛?！埃枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，q=1且存在實(shí)數(shù)A滿足26用=然“+4,〃eN*.

3

(1)求X得值即通項(xiàng)勺；

(2)求數(shù)列｛4，j｝的前n項(xiàng)和S,,.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,有2a,㈤=而“+4,①得

當(dāng)時(shí)，2《,=布,泊+4,②

①一②得，2d=Ad,又dwO,所以4=2,

將2=2代入①，得％+1-。，=2,即d=2,

又6=1,所以a”=1+(〃-1)x2=2〃-1.

(2)由⑴知%z,—n=2(2"-〃)—1=21—(2〃+1),

所以由分組轉(zhuǎn)化求和法得5?=(22+23+---+2n+l)一[3+5+…+(2〃+1)]

"至-迪d=2K“2_2-4.

1-22

例4設(shè)數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知q=1,4=2,且a*=2S?-Sn+I+3,記2=log2a2“一1+咋2a2,,，

則數(shù)列[(-1)“也”的前10項(xiàng)和為.

【解】：4=1，々=2,且?！?2=2S”-S“+]+3,

.*.a3=2—3+3=2,?/an+2=2Sn—Sn+l+3,〃N2時(shí)，%+i=2s—S“+3,

兩式相減可得，??+2-??+1=2（S?-5?_,）-（5?+1-5?）,（n>2）

即〃N2時(shí)，a-一%+i=2a?-即氏+2=2%，

%=2q,.?.數(shù)列｛/｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比均為2,

二?2?=2x2"-'=2",=1x2"T=2"-',

bn=log2a2?_,+log2a2n=〃-1+〃=2〃-1,

4

則數(shù)列（T）“丸2=（T）"（2〃—1）2,則［（一1）"02｝的前10項(xiàng)和為

S=（32-l2）+（72-52）+.--+（192-172）=2X（4+12+20+28+36）=200.

考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和

1、一般地，如果數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,｛bn｝是等比數(shù)列,求數(shù)列｛a,rbn｝的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，所

謂“錯(cuò)位”,就是要找“同類項(xiàng)”相減.一般是在和式的兩邊同乘以等比數(shù)列｛bn｝的公比，然后錯(cuò)位作差求解.

2、適用數(shù)列：形如“等差乘等比型“：(〃eN*)且｛&｝,也,｝為等差或等比數(shù)列

3思路：①在等式S“=4+°2+。3+…+%兩邊同乘以等比數(shù)列的公比4，且

②兩式相減:左邊為,右邊為q的同次式對(duì)齊相減.

③右邊去掉最后一項(xiàng)(有時(shí)需要去掉第一項(xiàng))剩下的各項(xiàng)組成等比數(shù)列,可以采用公式求和.

【例5】已知等差數(shù)列｛4｝的公差是1,且％,%,旬成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列｛金｝的前〃項(xiàng)和

【解析】(1)因?yàn)椋鹮｝是公差為1的等差數(shù)列，且%,%,%成等比數(shù)列,

所以。；=。避9，即(4+2)2=%(q+8),解得4=1.

所以=q+(〃-1)"=〃.

3、“+1

、flfl

1MgH-------F（n-l）x+〃x

7J7J7

5

兩式相減得17；

2"

所以,=,1nUS,Tc2+n

1--------7-所以4=2一--

2"2n+'2"

考點(diǎn)四倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列｛冊(cè)｝與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)之和，可把正著寫與倒著寫的兩個(gè)式子相加,

就得到一個(gè)常數(shù)列的和,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。

例如,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.

4*122019

【例6】若/(x)=----,若S=/(——)+/(——)+…貝i」S=

4,+27202072020J2020-------

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