高考復(fù)習(xí)之概率與統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)解析及例題輔導(dǎo)

概率與統(tǒng)計(jì)

高考要求：

概率是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，尤其是新增的隨機(jī)變量這部分內(nèi)容.要充分注意一些重

要概念的實(shí)際意義，理解概率處理問(wèn)題的基本思想方法.

重難點(diǎn)歸納己

本章內(nèi)容分為概率初步和隨機(jī)變量?jī)刹糠?第一部分包括等可能事件的概率、互斥事

件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn).第二部分包括隨機(jī)

變量、離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

涉及的思維方忠觀察與試驗(yàn)、分析與綜合、一般化與特殊化

主要思維形式有8邏輯思維、聚合思維、形象思維和創(chuàng)造性思維.

典型題例示范講解3

例1有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下：

[10,15]4[30,35)9[15,20)5[35,40)8

[20,25)10[40,45)3[25,30)11

(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；

(2)畫(huà)出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖.

命題意圖：本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫(huà)法.

知識(shí)依托；頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫(huà)法.

錯(cuò)解分析a解答本題時(shí)，計(jì)算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)

技巧與方法本題關(guān)鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系.

解：(D由所給數(shù)據(jù)，計(jì)算得如下頻率分布表；

數(shù)據(jù)段頻數(shù)頻率累積頻率

[10,15)40.080.08

E15,20)50.100.18

[20,25)100.200.38

[25,30)110.220.60

[30,35)90.180.78

[35,40)80.160.94

[40,45)30.061

總計(jì)501

(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下a

例2袋子｛和8中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從4中摸出一個(gè)紅球的概率是,，從占

3

中摸出一個(gè)紅球的概率為p.

(I)從4中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止.

(力求恰好摸5次停止的概率；

(門(mén))記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為J,求隨機(jī)變量J的分布率及數(shù)學(xué)期望E4.

(II)若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12,將48中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)

2

紅球的概率是求p的值.

命題意圖：本題考查利用概率知識(shí)和期望的計(jì)算方法.

知識(shí)依托：概率的計(jì)算及期望的概念的有關(guān)知識(shí)

錯(cuò)解分析；在本題中，隨機(jī)變量的確定，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤.

技巧與方法；可借助n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式計(jì)算概率.

解：(I)⑴C：x撲停"=5

(ii)隨機(jī)變量彳的取值為0,1,2,3,；

由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式P?(k)=C：p*(1-p)"Y,得

P^=0)=C；'x(l-1?噎

4

1I80

%=i)=Gxixi-i

33243

P楮=2)=C；X

P(J=3)=C；x

(或「(八3)=1-號(hào)詈號(hào),

隨機(jī)變量J的分布列是

0123

32808017

P

243243243243

J的數(shù)學(xué)期望是:

拶=三。+$+㈣x2+jU

24324324324381

(H)設(shè)袋子A中有m個(gè)球，則袋子B中有2m個(gè)琥

1c

>+2呻2…13

由----------=—,得p=—?

3m530

例3如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2,當(dāng)元件A、B、C都正

常工作時(shí)，系統(tǒng)M正常工作；當(dāng)元件4正常工作且元件8、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系

統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、8、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90,分別求系統(tǒng)

N1，%2正常工作的概率尸I、Py

解：記元件A、B、C正常工作的事件分別為4、B、C,

由已知條件P(A)=0.80,尸(8)=0.90,尸(C)=0.9a

(1)因?yàn)槭录?、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)M正常工作的概率

)

Pt=P(A-B?。=尸(4)/(8)尸(0=0.648,故系統(tǒng)從正常工作的概率為0.64&

(2)系統(tǒng)M正常工作的概率P2=P(A)?[l-P(B-C)]

=P(A).[1-P(B)P(C)J

=0.80X[l-(l-0.90)(1-d90)]=0.792

故系統(tǒng)從正常工作的概率為0.792.

鞏固練習(xí)a

1.甲射擊命中目標(biāo)的概率是g,乙命中目標(biāo)的概率是:，丙命中目標(biāo)的概率是:.現(xiàn)

在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()

2.已知隨機(jī)變量0的分布列為：P(4=k)=L&=l,2,3,則P(34+5)等于

3

A.6B.9C3D.4

3.1盒中有9個(gè)正品和3個(gè)廢品，每次取1個(gè)產(chǎn)品，取出后不再放回，在取得正品前

已取出的廢品數(shù)4的期望E4=,

4某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個(gè)班中選出4人參加某項(xiàng)

活動(dòng)，這4人恰好來(lái)自不同組別的概率是f

5.甲、乙兩人各進(jìn)行?次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6,計(jì)算

(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；

(2)其中恰有?人擊中目標(biāo)的概率；

(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

0x<i

6,已知連續(xù)型隨機(jī)變量4的概率密度函數(shù)式x)=，l<x<2

0x>2

(1)求常數(shù)a的值，并畫(huà)出4的概率密度曲線；

3

⑵求P(l<C<-\

2

7.設(shè)P在[0,5]上隨機(jī)地取值，求方程f+px+/+g=0有實(shí)根的概率.

8.設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作.若

一周5個(gè)工作日里均無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元：發(fā)生詼故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，只發(fā)生兩

次故障可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多

少？

參考答案：

1.解析：設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A,乙命中目標(biāo)為事件8,丙命中目標(biāo)為事件C,則目

標(biāo)被擊中的事件可以表示為A+8+C,即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生.

P(ABC)=P(A)-P(B)-P(C)

=[1-P(A)]-[1-P(B)][1-P(C)]

———i3

故目標(biāo)被擊中的概率為1-P(A?B?C)=l----

44

答案：A

2.解標(biāo)Ef=(1+2+3)?-=2,E^2=(l2+22+32)?-=—

333

°o14o2

：.Df=Ef2-(￡f)2=—-22=-.

33

AD(3f+5)=9Ef=&

答案：A

r13

3.解析s由條件知，S的取值為0,1,2,3,并且有P(S=0)=—=-,

1

Jr2-4

尸?=1)==2,產(chǎn)化=2)=￡12^1=_2_,p(g=3)==1

2C；244,2C；22202C1220答案：0.3

3991

.-.E￡=0x-+lx—+2x——+3x——=0.3

444220220

4解析：因?yàn)槊拷M人數(shù)為13,因此，每組選1人有Ch種方法，所以所求概率為

4

p(C：3)

1--------O

5.解a(1)我們把“甲射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件A,“乙射擊一次擊中目標(biāo)”叫做

事件B.顯然事件A、B相互獨(dú)立，所以兩人各射擊一次都擊中目標(biāo)的概率是P(A?B)

=P(A)?P(B)=0.6X0.6=0.36

答：兩人都擊中目標(biāo)的概率是0.36

(2)同理，兩人各射擊一次，甲擊中、乙未擊中的概率是

P(A?8)=P(A)?P(B)=O.6X(l-0.6)=0.6X0.4=0.24

甲未擊中、乙擊中的概率是P(A?B)=P(A)P(B)=0.24,顯然，“甲擊中、乙未擊中”

和“甲未擊中、乙擊中”是不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A?萬(wàn)與N互斥，所以恰有一人擊

中目標(biāo)的概率是

P(A?B)+P(A?8)=0.24+0.24=0.48

答8其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率是0.4&

⑵兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)的概率尸=尸(4+[尸(A?B)+P(A)?B]

=0.36+0.48=0.84

答8至少有一人擊中目標(biāo)的概率是0.84

6.解a(1)因?yàn)閒所在區(qū)間上的概率總和為1,

所以,(1-a+2-a),1=1,

2

.1

??ci=一

2

概率密度曲線如圖：

31133

(2)P(1<f<-)=--(-+1)--=-

22229

7.