經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 課件 第7、8章 最優(yōu)配置與最佳效果分析、概率計(jì)算成果因素分析

第七章

最優(yōu)配置與最佳效果分析目

錄CONTENTS1安排生產(chǎn)問(wèn)題及解決方案ArrangeproductionproblemsandSolutions2使用EXCEL討論線性規(guī)劃問(wèn)題UsingExceltodiscusslinearprogramming3進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：?jiǎn)渭冃畏‵urthermathematicsknowledge:Simplexmethod安排生產(chǎn)問(wèn)題及解決方案ArrangeproductionproblemsandSolutions1一、問(wèn)題的引入問(wèn)題分析:這是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)先設(shè)出目標(biāo)變量和關(guān)鍵變量并建立目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，選擇合適的方法求最值。

引例某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用3種不同的原料A、B、C．

從工藝資料可知：每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品，需耗用3種原料分別為1，1，0單位；生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品，需耗用3種原料分別為1，2，1單位．每天原料供應(yīng)的能力分別為6，8，3單位．

又知道每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品，企業(yè)的利潤(rùn)收入為300元，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品，企業(yè)利潤(rùn)收入為400元．那么該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使一天的總利潤(rùn)最大呢？一、問(wèn)題的引入設(shè)企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品為噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品為噸，稱，為決策變量，他們不能任意取值，要受到可供利用的原料資源數(shù)量的限制．又因?yàn)楫a(chǎn)品的產(chǎn)量一般是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以有，，稱為非負(fù)約束．

解決方案

上面得到的3種原料的線性不等式是決策變量，取值所必須滿足的條件，它們約束了決策變量，不能取任意值，稱它們?yōu)榧s束條件．?dāng)?shù)學(xué)模型由三部分組成的：

①?zèng)Q策變量；

②線性的目標(biāo)函數(shù)；③線性的約束條件．線性規(guī)劃問(wèn)題的三要素．一、問(wèn)題的引入生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品企業(yè)的利潤(rùn)收入為300元，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品企業(yè)的利潤(rùn)收入為400元．于是甲、乙兩種產(chǎn)品的總利潤(rùn)為：它是決策變量的線性函數(shù)，并稱此函數(shù)為目標(biāo)函數(shù).綜上所述，得到描述原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下：二、線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念

在線性規(guī)劃問(wèn)題中，滿足約束條件的解稱為可行解，所有可行解的集合稱為可行集；使目標(biāo)函數(shù)取值最大或最小的可行解稱為最優(yōu)解，對(duì)應(yīng)于最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值稱為最優(yōu)值．

目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性關(guān)系的最優(yōu)化問(wèn)題稱為線性規(guī)劃問(wèn)題，線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般形式如下：三、圖解法例1

利用圖解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題

學(xué)習(xí)圖解法的主要目的在于幫助理解線性規(guī)劃問(wèn)題解的性質(zhì).下面首先通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例來(lái)說(shuō)明圖解法的原理和步驟.三、圖解法解

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域.圖中陰影部分即為線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域，可行域內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是該線性規(guī)劃問(wèn)題的可行解.(2)繪制目標(biāo)函數(shù)等值線.

在幾何上，目標(biāo)函數(shù)代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對(duì)應(yīng)一個(gè)Z值.落在同一條直線上的點(diǎn)，如果又落在可行域上，那么這樣的點(diǎn)就是具有相同目標(biāo)函數(shù)值的可行解，所以平行直線族中的每一條直線又稱為等值線.三、圖解法(3)確定最優(yōu)解最優(yōu)解必須是滿足約束條件，并使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值的解，故的值只能在可行域中去尋找.當(dāng)?shù)戎稻€由原點(diǎn)開(kāi)始向右上方移動(dòng)時(shí)，Z的值逐漸增大，于是，當(dāng)移動(dòng)到與可行域相切時(shí)，切點(diǎn)就是代表最優(yōu)解的點(diǎn).本例中等值線與可行域的切點(diǎn)為C點(diǎn)當(dāng)時(shí)最優(yōu)解為：19三、圖解法例2某?；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，面食每100g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉.問(wèn)：應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少?模型建立決策變量：設(shè)每盒盒飯需要面食（百克），米食（百克）目標(biāo)函數(shù)：使費(fèi)用最少，即約束條件：營(yíng)養(yǎng)需求約束：非負(fù)約束：三、圖解法綜上所述，得藥品生產(chǎn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：三、圖解法模型求解：

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域.(2)繪制目標(biāo)函數(shù)等值線.目標(biāo)函數(shù)代表平面上的一族平行直線，如圖中虛線所示.(3)確定最優(yōu)解本例中等值線與可行域的切點(diǎn)為A，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值.當(dāng)時(shí)最優(yōu)解為：四、線性規(guī)劃問(wèn)題解的性質(zhì)一般地，含兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的解有下面四種情況：

（1）有可行解且有唯一最優(yōu)解；

（2）有可行解且有無(wú)窮多最優(yōu)解；

（3）有可行解但無(wú)最優(yōu)解；

（4）無(wú)可行解.

同時(shí)，若線性規(guī)劃問(wèn)題存在最優(yōu)解，它一定在可行域的某個(gè)頂點(diǎn)得到，若在兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)得到最優(yōu)解，則它們連線段上的任意一點(diǎn)都是最優(yōu)解，即有無(wú)窮多最優(yōu)解.性質(zhì)1求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，解的情況有：唯一最優(yōu)解、無(wú)窮多最優(yōu)解、無(wú)界解、無(wú)可行解.性質(zhì)2若線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解存在，則最優(yōu)解或最優(yōu)解之一（如果有無(wú)窮多最優(yōu)解）一定可以在基可行解(頂點(diǎn))中找到.使用Excel討論線性規(guī)劃問(wèn)題UsingExceltodiscusslinearprogramming2一、使用EXCEL求解線性規(guī)劃

Excel具有強(qiáng)大的規(guī)劃求解功能，可以解決最多有200個(gè)變量，100個(gè)外在約束和400個(gè)簡(jiǎn)單約束（決策變量整數(shù)約束的上下邊界）的線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃問(wèn)題．因此，可通過(guò)Excel的規(guī)劃求解功能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解。第一步：在Excel工作表中輸入目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)、約束條件的系數(shù)矩陣和右端常數(shù)項(xiàng)（每一個(gè)單元格輸入一個(gè)數(shù)據(jù)）；第二步：選定一個(gè)單元格存儲(chǔ)目標(biāo)函數(shù)，用定義公式的方式在這個(gè)目標(biāo)單元格內(nèi)定義目標(biāo)函數(shù)；第三步：選定與決策變量個(gè)數(shù)相同的單元格（稱為可變單元格），用以存儲(chǔ)決策變量；再選擇與約束條件個(gè)數(shù)相同的單元格，用定義公式的方式在每一個(gè)單元格內(nèi)計(jì)算出相應(yīng)的約束函數(shù)（稱為約束函數(shù)單元格）；第四步：點(diǎn)擊規(guī)劃求解按鈕，打開(kāi)規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)定對(duì)話框，添加約束條件，完成規(guī)劃模型的設(shè)定.使用規(guī)劃求解加載宏求解數(shù)學(xué)規(guī)劃的步驟：二、典型案例典型問(wèn)題1某奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲，或者在設(shè)備乙上用8小時(shí)加工成4公斤．根據(jù)市場(chǎng)全部能售出，且每公斤獲利24元，每公斤加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，并且設(shè)，設(shè)備乙的加工能力沒(méi)有限制．請(qǐng)為該廠制定一個(gè)生產(chǎn)上用12小時(shí)加工成3公斤需求，生產(chǎn)的獲利16元.現(xiàn)在備甲每天至多能加工100公斤計(jì)劃，使得工廠每天獲利最大．解決方案1.模型建立決策變量：設(shè)每天用桶牛奶生產(chǎn)設(shè)每天用桶牛奶生產(chǎn)目標(biāo)函數(shù)：每天獲利，使獲利最大，即約束條件：原料供應(yīng)：勞動(dòng)時(shí)間：設(shè)備能力：非負(fù)約束：綜上所述，數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解第一步：建立表格.在工作表中的A1，A2，A3，D2，E2，A8單元格中分別輸入“目標(biāo)函數(shù)系數(shù)”，“決策變量”，“約束條件系數(shù)”，“目標(biāo)函數(shù)值”，“約

束條件左端的值”，“約束條件右端的值”；在B1，C1單元格中輸入目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)72，64，在B3，C3單元格中輸入第一個(gè)約束條件的系數(shù)1，1；同理，在相應(yīng)單元格中輸入其他約束條件的系數(shù)與約束條件右端的值，如下圖所示：二、典型案例第二步：計(jì)算約束條件左端的值和目標(biāo)函數(shù)值．在D3單元格中輸入公式“=B3*$B$2+C3*$C$2”，并使用句柄填充拖曳至D7單元格.目標(biāo)函數(shù)的值等于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)乘以決策變量，從而在B8單元格中輸入公式“=B1*B2+C1*C2”，如下圖所示．二、典型案例第三步：輸入各項(xiàng)參數(shù)

單擊【數(shù)據(jù)】菜單中的【規(guī)劃求解】命令，在彈出的規(guī)劃求解對(duì)話框中輸入各項(xiàng)參數(shù)．（1）設(shè)置目標(biāo)單元格和可變單元格在“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框中選中“最大值”前的單選按鈕，設(shè)置目標(biāo)單元格為“$D$10”，可變單元格為“$B$2:$D$2”

，如右圖所示．（2）添加約束條件單擊【添加】按鈕，打開(kāi)【添加約束】對(duì)話框，單擊單元格引用位置文本框，然后選定工作表中的D3至D5單元格，則在文本框中顯示“$D$3:$D$5”，選擇“<=”約束條件；單擊約束值文本框，然后選定工作表中的E3至E5單元格，如圖所示．二、典型案例第四步：在【規(guī)劃求解結(jié)果】對(duì)話框中，單擊【確定】按鈕，工作表中就顯示出規(guī)劃求解的結(jié)果，如圖所示．

如果要生成運(yùn)算結(jié)果報(bào)告，可在【規(guī)劃求解】對(duì)話框中選擇【報(bào)告】列表框中的【運(yùn)算結(jié)果報(bào)告】．單擊【確定】按鈕，則產(chǎn)生運(yùn)算結(jié)果報(bào)告表.二、典型案例飼料配料問(wèn)題在現(xiàn)代化的大型畜牧業(yè)中，經(jīng)常使用工業(yè)生產(chǎn)的飼料.設(shè)某種飼料由四種原料混合而成，要求它含有三種成份（如維生素、抗菌素等）的數(shù)量分別不少于25、36、40個(gè)單位，各種原料的每百公斤重含三種成份的數(shù)量及各種原料的單價(jià)如表所示.問(wèn)：應(yīng)如何配料，使合成飼料（產(chǎn)品）既含有足夠的所需成份，又使成本最低?二、典型案例二、典型案例1.模型建立目標(biāo)函數(shù)：要使得成本最低，即決策變量：百公斤.設(shè)合成飼料中原料

的含量分別為

解決方案

在生產(chǎn)過(guò)程中，要使合成飼料含有足夠的所需成份也就是說(shuō)合成飼料中所含三種成份的總量要大于等于每種成份的需要量.同時(shí)，總成本最低，也就是使得合成飼料過(guò)程中四種原料的含量總成本最低.二、典型案例約束條件：需求量約束：合成飼料中成份

的含量需要大于等于需要量，即非負(fù)約束：綜上所述，得數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計(jì)算約束條件左端的值和目標(biāo)函數(shù)值，如圖所示：第二步：?jiǎn)螕簟緮?shù)據(jù)】菜單下的【規(guī)劃求解】選項(xiàng)，在彈出的規(guī)劃求解對(duì)話框中輸入各項(xiàng)參數(shù)，如圖7-11所示．二、典型案例第三步：?jiǎn)螕簟厩蠼狻堪粹o，彈出【規(guī)劃求解結(jié)果】對(duì)話框，同時(shí)結(jié)果顯示在工作表中，如圖7-12所示．即在生產(chǎn)合成飼料的過(guò)程只需要用原料：7200公斤，最小生產(chǎn)成本為79.2元.二、典型案例藥品生產(chǎn)問(wèn)題

某藥品生產(chǎn)企業(yè)準(zhǔn)備投入生產(chǎn)六種藥品，經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)每種藥品所需要消耗的勞動(dòng)力、原材料、每種藥品的單位利潤(rùn)、需求量以及現(xiàn)有可

用的勞動(dòng)力和原材料具體數(shù)據(jù)如下表所示：

產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3產(chǎn)品4產(chǎn)品5產(chǎn)品6現(xiàn)有勞動(dòng)力（小時(shí)）65432.51.54500原料（磅）3.22.61.50.80.70.31600單位利潤(rùn)（元）65.35.44.23.81.8

需求量（磅）960928104197710841055

問(wèn)：該藥品生產(chǎn)企業(yè)該如何安排生產(chǎn)，使得總獲利最大？二、典型案例

解決方案1.模型建立目標(biāo)函數(shù)：要使得獲利最大，即決策變量：設(shè)該藥品生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)藥品1～6的產(chǎn)量分別為

藥品生產(chǎn)企業(yè)通常需要確定每月（或每周）生產(chǎn)計(jì)劃，列出每種產(chǎn)品必須生產(chǎn)的數(shù)量.具體來(lái)說(shuō)就是，產(chǎn)品組合問(wèn)題就是要確定公司每月應(yīng)該生產(chǎn)的每種產(chǎn)品的數(shù)量以使利潤(rùn)最大化.產(chǎn)品組合通常必須滿足以下約束：

（1）產(chǎn)品組合使用的資源不能超標(biāo).

（2）對(duì)每種產(chǎn)品的需求都是有限的.我們每月生產(chǎn)的產(chǎn)品不能超過(guò)需求的數(shù)量，因?yàn)樯a(chǎn)過(guò)剩就是浪費(fèi)（例如，易變質(zhì)的藥品）.二、典型案例約束條件：資源約束：生產(chǎn)藥品所消耗的勞動(dòng)力用時(shí)不能超過(guò)總的可用勞動(dòng)力時(shí)，即同理，生產(chǎn)藥品所消耗的原材料不能超過(guò)總的可用原材料量.需求量約束：每種藥品的生產(chǎn)量不能超過(guò)需求量，從而可得非負(fù)約束：二、典型案例綜上所述，得藥品生產(chǎn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計(jì)算約束條件左端的值和目標(biāo)函數(shù)值，如圖所示：二、典型案例第二步：?jiǎn)螕簟緮?shù)據(jù)】菜單下的【規(guī)劃求解】選項(xiàng)，在彈出的規(guī)劃求解對(duì)話框中輸入各項(xiàng)參數(shù)，如圖所示．二、典型案例第三步：?jiǎn)螕簟厩蠼狻堪粹o，彈出【規(guī)劃求解結(jié)果】對(duì)話框，同時(shí)結(jié)果顯示在工作表中，如圖7-15所示．即生產(chǎn)產(chǎn)品4：597.6667磅，生產(chǎn)產(chǎn)品5：1084磅，可獲得最大利潤(rùn)為6625.2元．二、典型案例

自來(lái)水運(yùn)送問(wèn)題(運(yùn)輸問(wèn)題)

某市有甲、乙、丙、丁四個(gè)居民區(qū)，自來(lái)水由三個(gè)水庫(kù)供應(yīng)，四個(gè)區(qū)每天必須得到保證的基本生活用水量分別為30，70，10，10千噸，但由于水源緊張，三個(gè)水庫(kù)每天最多只能供應(yīng)50，60，50千噸自來(lái)水．由于地理位置的差別，自來(lái)水公司從各水庫(kù)向各區(qū)送水所付出的引水管理費(fèi)不同.其他管理費(fèi)都是450元/千噸．根據(jù)公司規(guī)定，各區(qū)用戶按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)900元/千噸收費(fèi)．此外，四個(gè)區(qū)都向公司申請(qǐng)了額外用水量，分別為每天50，70，20，40千噸．該公司如何分配供水量，才能獲利最多？引水管理費(fèi)（元/千噸）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230二、典型案例決策變量：

假設(shè)三個(gè)水庫(kù)

分別向甲、乙、丙、丁四區(qū)的供水量為由于水庫(kù)與丁之間沒(méi)有輸水管道，即，因此只有11個(gè)決策變量．

1.模型建立

目標(biāo)函數(shù)：?jiǎn)栴}的目標(biāo)可以從獲利最多轉(zhuǎn)化為引水管理費(fèi)最少，于是有二、典型案例

約束條件：約束條件有兩類：一類是水庫(kù)的供應(yīng)量限制，另一類是各區(qū)的需求

量限制．由于供應(yīng)量總能賣出并獲利，水庫(kù)的供應(yīng)量限制可以表示為：考慮到各區(qū)的基本生活用水與額外用水量，需求量限制可以表示為：二、典型案例綜上所述，自來(lái)水運(yùn)送問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解

第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計(jì)算約束條件左端的值和目標(biāo)函

數(shù)值．本例中決策變量有12個(gè)，在Excel工作表中B2至M2單元格，分別表示決策變量，然后輸入各個(gè)約束條件（包括非負(fù)條件）的系數(shù)，同時(shí)計(jì)算約束條件左端的值和目標(biāo)函數(shù)的值，如圖所示．二、典型案例

第二步：在彈出的【規(guī)劃求解參數(shù)】對(duì)話框中輸入?yún)?shù)．單擊【求解】按鈕，得到

圖所示結(jié)果．因此，最佳送水方案為：水庫(kù)向乙區(qū)供應(yīng)50千噸，

水庫(kù)向乙、丁區(qū)分別供應(yīng)50，水庫(kù)向甲、丙區(qū)分別供應(yīng)40，10千噸．10千噸，進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：?jiǎn)渭冃畏‵urthermathematicsknowledge:Simplexmethod3

線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型主要是針對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件而言的，具體表現(xiàn)形式為：其中皆非負(fù)．

一、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型一、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立的模型常常不是標(biāo)準(zhǔn)型，那么如何把一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型呢？

(2)若約束條件中含有線性不等式約束，則需要引進(jìn)新的非負(fù)變量，把線性不等式約束化為線性等式約束，這樣引進(jìn)的新非負(fù)變量稱為松弛變量．(1)若求目標(biāo)函數(shù)

的最小值，則引進(jìn)新的目標(biāo)函數(shù)

(a)當(dāng)約束條件是時(shí)，在不等式左端加上松弛變量，將不等式約束化為等式約束．

(b)當(dāng)約束條件是

時(shí)，在不等式左端減去松弛變量，將不等式約束化為等式約束．(3)若約束條件中線性等式約束的常數(shù)項(xiàng)為負(fù)值，則將該約束條件兩端同時(shí)乘以，使得常數(shù)項(xiàng)為正值．(4)若對(duì)某一變量無(wú)約束，可令

作變量替換,使得對(duì)全部變量皆有非負(fù)限制．

一、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型一、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型例3將如下線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型解

因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為最小值，所以引進(jìn)新的目標(biāo)函數(shù)又因?yàn)榧s束條件為兩個(gè)不等式約束，故引進(jìn)松弛變量一、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型從而線性規(guī)劃問(wèn)題化為：上式第一個(gè)約束等式右端的常數(shù)為負(fù)值，因而在該約束條件兩端同時(shí)乘以-1，得到所給線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：二、單純形法的原理與步驟例4

運(yùn)用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題二、單純形法的原理與步驟第一步：引進(jìn)松弛變量將所給線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型：

第二步：用非基變量表示基變量和目標(biāo)函數(shù)求出一個(gè)基本可行解．由標(biāo)準(zhǔn)型可知：，令各非基變量等于0,即，得到基變量，它們構(gòu)成初始基本可行解．

二、單純形法的原理與步驟第三步：最優(yōu)性檢驗(yàn)最優(yōu)性檢驗(yàn)：判斷基本可行解是否是最優(yōu)解．

檢驗(yàn)數(shù)：用非基變量表示的目標(biāo)函數(shù)中的各非基變量的系數(shù)

最優(yōu)解判定定理：

在極大化問(wèn)題中，對(duì)于某個(gè)基本可行解，所有檢驗(yàn)數(shù)，則這個(gè)基本可行解是最優(yōu)解．二、單純形法的原理與步驟第四步：確定換入變量

在決定哪個(gè)變量從非基本變量轉(zhuǎn)化為基本變量時(shí)，當(dāng)存在時(shí)，

選擇作為換入變量.若檢驗(yàn)數(shù)大于0的非基變量不止一個(gè)，則可以任選其中一個(gè)作為換入本例選擇作為換入變量.變量．第五步：確定換出變量在決定出基變量時(shí)，按最小比值規(guī)則進(jìn)行．在本例中，因?yàn)橐獜幕兞?/p>

中換出一個(gè)，基變量的系數(shù)是1，

的系數(shù)是1，從而有

因此，選取作為換出變量．二、單純形法的原理與步驟第六步：回到第三步進(jìn)行新的基本可行解的最優(yōu)性檢驗(yàn)．用非基變量表示目標(biāo)函數(shù)有因?yàn)榉腔兞康臋z驗(yàn)數(shù)

，由最優(yōu)解判定定理可知，

基本可行解還不是最有解．第七步：確定新的換入變量、換出變量在目標(biāo)函數(shù)

中，只有非基變量

的檢驗(yàn)數(shù)大于0，因此我們選取作為換入變量,作為換出變量．令非基變量,得到基變量第三組基本可行解．二、單純形法的原理與步驟第八步：回到第三步

判斷第三組基本可行解是否是最有解．用非基變量表示目標(biāo)函數(shù)有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)，非基變量的檢驗(yàn)數(shù)由最優(yōu)性判定定理，我們可知，此時(shí)的基本可行解就是最優(yōu)解.

最優(yōu)解

應(yīng)用單純形解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題，相當(dāng)于從可行解集的一個(gè)極點(diǎn)跳總結(jié)到另一個(gè)極點(diǎn)，逐步接近最優(yōu)解，并最后到達(dá)最優(yōu)解．三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟

線性規(guī)劃的對(duì)偶單純形法是根據(jù)對(duì)偶問(wèn)題求解的特點(diǎn)和對(duì)稱性設(shè)計(jì)出的一種解法.對(duì)偶單純形法和單純形法的主要區(qū)別：?jiǎn)渭冃畏ㄔ谡麄€(gè)迭代過(guò)程中，始終保持原問(wèn)題的可行性，即常數(shù)列大于等于0；

對(duì)偶單純形法則是在整個(gè)迭代過(guò)程中，始終保持對(duì)偶問(wèn)題的可行性，即全部檢驗(yàn)數(shù)大于等于0.在運(yùn)用對(duì)偶單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，不需要引進(jìn)人工變量，但是必須先給定原問(wèn)題的一個(gè)對(duì)偶可行的基本解.三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟例5

利用對(duì)偶單純形法求解下列規(guī)劃模型第一步：給定一個(gè)初始對(duì)偶可行的基本解把原問(wèn)題引入附加變量化為標(biāo)準(zhǔn)型.為了得到對(duì)偶可行的基本解，不需要引入人工變量，只要將每個(gè)約束方程兩端同時(shí)乘以-1即可，并實(shí)現(xiàn)所有檢驗(yàn)數(shù)大于等于0，但常數(shù)列中含有負(fù)元素.三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟把原問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型，得然后分別將每個(gè)約束方程兩端同乘以-1，得到：三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟從而可得下表第二步：最優(yōu)性檢驗(yàn)若線性常數(shù)列，則停止計(jì)算，現(xiàn)行對(duì)偶可行的基本解即是最優(yōu)解.否則，，從而線性對(duì)偶可行的基本解不是最優(yōu)轉(zhuǎn)下一步.從上表可知，解.三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟第三步：確定換出變量將現(xiàn)行常數(shù)列中最小的負(fù)元素所在行的基變量換出，即第行約束式的基變量為換出變量.從表中我們知道，故為換出變量.三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟第四步：確定換入變量在換出變量所在的第行約束式中，找出各非基變量列中系數(shù)為負(fù)的那些元素，用相應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)分別除以這些負(fù)元素，所得個(gè)負(fù)比值中最大者所在列即為換入列.令由第3步可知，第2行為換出變量所在行，即所在列為換入變量列，故為換入變量.三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟在對(duì)偶單純形法中，確定換入變量的規(guī)則稱為最大負(fù)比值規(guī)則.選取新的基變量為.令各非基變量等于0，可以得到一個(gè)新的基本可行解(0,5,0,-2,0)，如下表從上表可知，，從而線性對(duì)偶可行的基本解不是最優(yōu)解，需進(jìn)行第二次迭代.三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟根據(jù)換入變量，換出變量原則，選定為換出變量，為換入變量.見(jiàn)下表上表中的，根據(jù)最優(yōu)性檢驗(yàn)條件，停止迭代，此時(shí)的對(duì)偶可行基本解即是最優(yōu)解.三、對(duì)偶單純形法的原理與步驟單純形法與對(duì)偶單純形法對(duì)比注：對(duì)偶單純形法的實(shí)質(zhì)就是對(duì)原問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題運(yùn)用單純形法求解.長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院通識(shí)教育中心本章結(jié)束THANKS第八章

概率計(jì)算與成果因素分析目

錄CONTENTS1彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案2使用Excel討論概率計(jì)算問(wèn)題3進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：概率初步LotteryDesignProblemsandSolutionsUsingExceltoDiscussProbabilityCalculationsFurtherMathematicsKnowledge:PreliminaryProbability彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案LotteryDesignProblemsandSolutions1一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題引例：近年來(lái)，“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額獎(jiǎng)金的誘惑使越來(lái)越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂(lè)透型”兩種類型。“傳統(tǒng)型”彩票采用“10選6+1”方案：先從6組0～9號(hào)球中搖出6個(gè)基本號(hào)碼，每組搖出一個(gè)，然后從0～4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成中獎(jiǎng)號(hào)碼。投注者從0～9中任選6個(gè)基本號(hào)碼（可重復(fù)），從0～4中任選1個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成一注。根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少及順序確定中獎(jiǎng)等級(jí)。以中獎(jiǎng)號(hào)碼“abcdef+g”為例說(shuō)明中獎(jiǎng)等級(jí)，如表8-1所示（X表示未選中的號(hào)碼）。中獎(jiǎng)等級(jí)10選6+1（6+1/10）基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)abcdefg選7中6+1二等獎(jiǎng)abcdef

選7中6三等獎(jiǎng)abcdeX

Xbcdef

選7中5四等獎(jiǎng)abcdXX

XbcdeX

XXcdef

選7中4五等獎(jiǎng)abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中3六等獎(jiǎng)abXXXX

XbcXXX

XXcdXX

XXXdeX

XXXXef

選7中2表8-1傳統(tǒng)型中獎(jiǎng)等級(jí)情況表一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題又如“36選6+1”的方案：先從01～36號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出6個(gè)基本號(hào)，再?gòu)氖Ｏ碌?0個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼。從01～36號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼順序。這兩種方案的中獎(jiǎng)等級(jí)如表8-2所示。

“樂(lè)透型”有多種不同的玩法，比如“33選7”的方案：先從01～33號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出7個(gè)基本號(hào)，再?gòu)氖Ｓ嗟?6個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼。投注者從01～33號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼順序。一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題中獎(jiǎng)33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）等級(jí)基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中7●●●●●●★選7中6+1二等獎(jiǎng)●●●●●●○★選7中6+1●●●●●●選7中6三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中6●●●●●○★選7中5+1四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中5+1●●●●●○選7中5五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中5●●●●○○★選7中4+1六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中4+1●●●●○○選7中4七等獎(jiǎng)●●●●○○○選7中4●●●○○○★選7中3+1表8-2樂(lè)透型彩票中獎(jiǎng)等級(jí)情況表一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題[(當(dāng)期銷售總額×總獎(jiǎng)金比例)-低項(xiàng)獎(jiǎng)總額]×單項(xiàng)獎(jiǎng)比例

以上兩種類型的總獎(jiǎng)金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級(jí)別的獎(jiǎng)就不再兼得低級(jí)別的獎(jiǎng).現(xiàn)在常見(jiàn)的銷售規(guī)則及相應(yīng)的獎(jiǎng)金設(shè)置方案如表8-3，其中一、二、三等獎(jiǎng)為高項(xiàng)獎(jiǎng)，后面的為低項(xiàng)獎(jiǎng).低項(xiàng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)金固定，高項(xiàng)獎(jiǎng)按比例分配，但一等獎(jiǎng)單注保底金額60萬(wàn)元，封頂金額500萬(wàn)元。一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題

各高項(xiàng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的計(jì)算方法為：

一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題

一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題(5)假定各個(gè)不同方案均是在公正公平的原則下實(shí)施，而且彩民購(gòu)買和對(duì)獎(jiǎng)的方便程度相同。問(wèn)題分析與假設(shè)：(1)“傳統(tǒng)型”要求基本號(hào)碼是連號(hào)，如‘xbcdxf’表示與基本號(hào)碼相符合的是‘bcd’，首尾相連的情況視為不連續(xù)，如‘a(chǎn)xxxxf’視為無(wú)獎(jiǎng)；(2)“傳統(tǒng)型”的抽獎(jiǎng)號(hào)碼可以重復(fù)，而“樂(lè)透型”中不管是“7/33”還是“6+1/36”的形式，投注者的抽取號(hào)碼不允許重復(fù)；(3)單注投注金額為兩元，總獎(jiǎng)金為當(dāng)期銷售總額的50％，且此比例固定不變；(4)低項(xiàng)獎(jiǎng)單注獎(jiǎng)金固定，高項(xiàng)獎(jiǎng)金額按比例分配為浮動(dòng)值，但一等獎(jiǎng)單注保

底金額60萬(wàn)元，封頂金額500萬(wàn)元；一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題“傳統(tǒng)型”彩票中獎(jiǎng)概率：記pi為各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)概率，經(jīng)過(guò)對(duì)表8-1的分析，利用古典概率的相關(guān)知識(shí)，很容易就可以求出各獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的概率，見(jiàn)表8-4。解決方案：一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題

“樂(lè)透型”彩票中獎(jiǎng)概率：記pi為各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)概率，經(jīng)過(guò)對(duì)表8-2的分析（這里只計(jì)算“33選7”及“36選6+1”兩種情形），利用古典概率的相關(guān)知識(shí)，可以求出各獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的概率，見(jiàn)表8-5。一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題一、彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題二、隨機(jī)事件的概率隨機(jī)試驗(yàn)：一般地，稱滿足下述三個(gè)條件的實(shí)驗(yàn)為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，記作E。(1)試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。1.隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，稱為基本事件(樣本點(diǎn))。它們的全體，稱作基本空間(樣本空間)，常用表示基本事件，用表示樣本空間。從集合角度看，基本事件又是樣本空間的一個(gè)元素，可記作。

由若干個(gè)基本事件組成的事件稱為復(fù)雜事件。無(wú)論基本事件還是復(fù)雜事件，它們?cè)谠囼?yàn)中發(fā)生與否，都帶有隨機(jī)性，所以都叫做隨機(jī)事件或簡(jiǎn)稱為事件，記作大寫(xiě)字母A，B…。2.基本事件和樣本空間：w

{}wW=

W二、隨機(jī)事件的概率3.必然事件與不可能事件例如：一個(gè)盒子中有十個(gè)完全相同的球，分別標(biāo)以號(hào)碼1，2，…10，從中任取一球，令

，則二、隨機(jī)事件的概率

二、隨機(jī)事件的概率定義8.5事件A的頻率的極限，我們稱之為事件A的概率。概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3注意：概率的定義刻畫(huà)了事件發(fā)生可能性的大??；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可以把頻率作為概率的近似值。4.概率的統(tǒng)計(jì)定義二、隨機(jī)事件的概率設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為r，樣本空間

中樣本點(diǎn)總數(shù)為n，則有古典概型

滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。古典概率的計(jì)算（1）所有基本事件是有限個(gè)；（2）各基本事件發(fā)生的可能性相同5.概率的古典定義二、隨機(jī)事件的概率二、隨機(jī)事件的概率二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)項(xiàng)(6個(gè)紅色號(hào)碼完全一致，藍(lán)色號(hào)碼不一致)中獎(jiǎng)概率為三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)項(xiàng)（5個(gè)紅色號(hào)碼相同和1個(gè)藍(lán)色號(hào)碼一致）中獎(jiǎng)概率為二、隨機(jī)事件的概率6.事件的關(guān)系與運(yùn)算二、隨機(jī)事件的概率

思考：如何借助集合運(yùn)算的韋恩圖來(lái)理解上述公式？二、隨機(jī)事件的概率加法公式

一般形式特殊形式

二、隨機(jī)事件的概率例8.2某設(shè)備由甲、乙兩個(gè)部件組成，超負(fù)荷時(shí)，甲出故障的概率為0.90，乙出故障的概率分0.85，甲、乙兩部件同時(shí)出故障的概率為0.80，求超負(fù)荷時(shí)至少有一個(gè)部件出故障的概率.于是即超負(fù)荷時(shí)，至少有一個(gè)部件出故障的概率是0.95.

二、隨機(jī)事件的概率例8.3某廠出產(chǎn)的一批乒乓球中含有一、二等品及廢品三種，若一、二等品率分別為80%和18%，求該批乒乓球的合格率和廢品率.三、事件的獨(dú)立性與貝努力概型若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱A,B獨(dú)立。定義8.7相關(guān)性質(zhì)

甲、乙兩人考大學(xué)，甲考上本科的概率是0.5，乙考上本科的概率是0.4，問(wèn)：（1）甲、乙兩人都考上本科的概率是多少？（2）甲、乙兩人至少一人考上本科的概率是多少？

例8.4解

三、事件的獨(dú)立性與貝努力概型某藥廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.1，假定各道工序互不影響，試求該產(chǎn)品的合格品率.例8.5解

三、事件的獨(dú)立性與貝努力概型三、事件的獨(dú)立性與貝努力概型貝努里試驗(yàn)是指滿足下列兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)：定義8.8重要公式

貝努里試驗(yàn)又稱之為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，對(duì)應(yīng)的概率模型稱為貝努里概型。

三、事件的獨(dú)立性與貝努力概型例8.6例8.7一種藥品對(duì)某疾病的治愈率為60%，今用該藥治療患者10例，問(wèn)恰好治愈2例的概率是多少？

某射手每次擊中目標(biāo)的概率是0.6，如果射擊5次，試求至少擊中2次的概率.

解：治療10例患者相當(dāng)于做了10次貝努里試驗(yàn)，設(shè)A={治愈2個(gè)患者}，則四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布1.隨機(jī)變量引例①拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有幾種情況？③拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有幾種情況？②喬丹罰球2次有可能得到的分?jǐn)?shù)有幾種情況？??????

?①②正面向上，反面向上隨機(jī)變量的定義這種變量的結(jié)果是隨機(jī)出現(xiàn)的，我們把這樣的變量稱之為隨機(jī)變量，常用X、Y、x、h來(lái)表示。所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。所有取值是整個(gè)數(shù)軸或數(shù)軸上的某些區(qū)間，稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。思考：能否把擲硬幣的結(jié)果也用數(shù)字來(lái)表示呢？定義8.11

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布1.隨機(jī)變量四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布1.隨機(jī)變量例8.8

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布2.二項(xiàng)分布隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

補(bǔ)充

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布2.二項(xiàng)分布小明是一名學(xué)生，正在學(xué)習(xí)一門(mén)統(tǒng)計(jì)課程.不幸的是，小明不是一名優(yōu)秀的學(xué)生，課前不看教科書(shū)，課后不做家庭作業(yè)，還經(jīng)常缺課，他想靠運(yùn)氣通過(guò)下次小測(cè)驗(yàn).小測(cè)驗(yàn)包括10道選擇題，每個(gè)問(wèn)題有5個(gè)答案，其中只有1個(gè)是正確的，小明對(duì)于每個(gè)問(wèn)題都是猜測(cè)答案.問(wèn)：例8.9解(1)小明1道題目都沒(méi)答對(duì)的概率是多少?(2)小明猜對(duì)2道題的答案的概率是多少?

連續(xù)型隨機(jī)變量的定義若隨機(jī)變量可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值，那么這樣的隨機(jī)變量稱之為連續(xù)型隨機(jī)變量?；仡櫍核腥≈悼梢砸灰涣谐龅碾S機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量取在區(qū)間內(nèi)的任意值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的概率都為0。正態(tài)分布也稱為高斯分布——應(yīng)用最廣泛的連續(xù)型隨機(jī)變量分布。四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布問(wèn)題分析

下表給出了100位調(diào)查對(duì)象的初婚年齡統(tǒng)計(jì)情況。區(qū)間頻次頻率18.5—20.550.0520.5—22.5100.1022.5—24.5200.2024.5—26.5300.3026.5—28.5200.2028.5—30.5100.1030.5—32.550.05四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

定義8.13

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布曲線位于x軸上方，與x軸不相交01

02

03曲線與x軸圍成的面積等于104

05

06四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布演示圖均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布演示圖

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布例8.10解B的作案嫌疑大一些某兇殺案有兩個(gè)嫌疑人，從各自住處到兇殺現(xiàn)場(chǎng)所需時(shí)間(min)服從正態(tài)分布.A所用的時(shí)間X滿足

，B所用的時(shí)間Y滿足

.如果僅有65min可以被利用，問(wèn)誰(shuí)的作案嫌疑較大？A在65min內(nèi)從住處到兇殺現(xiàn)場(chǎng)的概率為B在65min內(nèi)從住處到兇殺現(xiàn)場(chǎng)的概率為

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布例8.11解

可以保證生產(chǎn)連續(xù)進(jìn)行

已知某車間工人完成某道工序的時(shí)間X服從正態(tài)分布

（1）從該車間工人中任選一人，其完成該道工序的時(shí)間不超過(guò)7分鐘的概率；問(wèn)：（2）為了保證生產(chǎn)連續(xù)進(jìn)行，要求以95%的概率保證該道工序上工人完成工作時(shí)間不多于15分鐘，這一要求能否得到保證？

的正態(tài)分布.被告提供的供詞表明，他在孩子出生時(shí)的前300天出國(guó)，在孩子出生前240天才回來(lái).請(qǐng)問(wèn)被告能否根據(jù)這些證詞為自己辯護(hù)？4.正態(tài)分布概率計(jì)算例8.12解結(jié)論：可以辯護(hù)某人被控告是一個(gè)新生兒的父親.此案鑒定人作證時(shí)指出，母親懷孕期的天數(shù)近似服從參數(shù)為

設(shè)X為母親懷孕期的天數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

四、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

使用Excel討論概率計(jì)算UsingExceltoDiscussProbabilityCalculations二一、彩票中獎(jiǎng)概率問(wèn)題典型問(wèn)題1試問(wèn)：買一張彩票，中一、二、三等獎(jiǎng)的概率各是多少?

某地發(fā)行福利彩票，每張彩票的號(hào)碼是7個(gè)數(shù)字的無(wú)序數(shù)組，開(kāi)獎(jiǎng)時(shí)，用一個(gè)搖獎(jiǎng)機(jī)，里面裝有分別寫(xiě)上01,02,…，35的35個(gè)小球。充分?jǐn)嚢柽@些小球一分鐘，從出口處掉出一個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字。搖出的小球不放回?fù)u獎(jiǎng)機(jī)中，重復(fù)剛才的做法，一直到產(chǎn)生一個(gè)7個(gè)數(shù)字的無(wú)序數(shù)組，記作a，設(shè)有一、二、三等獎(jiǎng)。

規(guī)定：彩票號(hào)碼與a完全一樣時(shí)，得一等獎(jiǎng)；彩票號(hào)碼與a有6個(gè)數(shù)字一樣時(shí)，得二等獎(jiǎng)；有5個(gè)數(shù)字一樣時(shí)，得三等獎(jiǎng)。一、彩票中獎(jiǎng)概率問(wèn)題

根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)袋子中有35個(gè)彩球，其中紅球7個(gè)，白球28個(gè)，每次隨機(jī)的取出一只，第一次取到的球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，共取7次，求取到7球中全是紅球、有6個(gè)紅球和有5個(gè)紅球的概率。

問(wèn)題分析經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換，問(wèn)題變?yōu)闊o(wú)放回的隨機(jī)抽樣(超幾何分布)，根據(jù)其概率分布（詳見(jiàn)本章第三節(jié)）即可計(jì)算出相應(yīng)的概率值。一、彩票中獎(jiǎng)概率問(wèn)題解決方案第一步：新建工作表，輸入表頭“應(yīng)用超幾何分布函數(shù)HYPGEOMDIST求概率”。第二步：分別單擊C2、E2、C3和E3單元格，輸入?yún)?shù):N=35，M=7，n=7，x=7。第三步：運(yùn)用HYPGEOMDIST求7個(gè)球中全為紅球的概率，在B5單元格輸入“=HYPGEOMDIST(E3，C3，E2，C2)”，結(jié)果如圖所示。一、彩票中獎(jiǎng)概率問(wèn)題其中sample_s為樣本中成功的次數(shù)，number_sample為樣本容量，population_s為樣本總體中成功的次數(shù)，number_population為樣本總體的容量.利用相同的原理可求得x=6及x=5的概率值.說(shuō)明:HYPGEOMDIST函數(shù)返回超幾何分布.給定樣本容量、樣本總體容量和樣本總體中成功的次數(shù)，HYPGEOMDIST函數(shù)返回樣本取得給定成功次數(shù)的概率.其語(yǔ)法為：HYPGEOMDIST(sample_s,number_sample,population_s,number_population)一、彩票中獎(jiǎng)概率問(wèn)題第四步：求不同的x對(duì)應(yīng)的概率.單擊C6單元格，輸入"=HYPGEOMDIST（B6，$C$3,$E$2，$C$2）”，再次單擊C6單元格，將鼠標(biāo)至于C6單元格右下角，當(dāng)光標(biāo)變?yōu)樾『谑謺r(shí)拖曳至C13單元格，求出其他x對(duì)應(yīng)的概率值，如圖8-7所示.各種情況下中獎(jiǎng)概率的求解過(guò)程：第一步：新建Excel工作表，輸入“超幾何分布函數(shù)概率分布圖”.第二步：分別單擊C2、E2和C3單元格，輸入己知參數(shù)N=35，M=7，n=8.第三步：設(shè)定樣本中中獎(jiǎng)的號(hào)碼個(gè)數(shù)x序列.在B6—B13單元格輸入x為0，1，…，7的取值.一、彩票中獎(jiǎng)概率問(wèn)題

圖8-7超幾何分布概率分布圖

二、車床故障維修問(wèn)題

某車間有160臺(tái)同型號(hào)的自動(dòng)車床獨(dú)立工作，每臺(tái)車床發(fā)生故障的概率都是0.01，假設(shè)發(fā)生故障時(shí)每臺(tái)車床必須由一名技師處理。若由一名技師負(fù)責(zé)維修20臺(tái)車床，求車床發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率。若由3名技師共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)，求車床發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率。典型問(wèn)題2二、車床故障維修問(wèn)題

的二項(xiàng)分布，車床發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修即同時(shí)有4臺(tái)或4臺(tái)以上發(fā)生故障。

問(wèn)題分析用X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的車床數(shù)。第一種情形，X服從

的二項(xiàng)分布，車床發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修即同時(shí)有2臺(tái)或2臺(tái)以上發(fā)生故障；根據(jù)二項(xiàng)分布的概率分布，可分別計(jì)算兩種情況下車床發(fā)生故障時(shí)，不能及時(shí)維修的概率。第二種情形，X服從二、車床故障維修問(wèn)題第三步：車床發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率。先求同時(shí)出現(xiàn)故障臺(tái)數(shù)小于等于1的概率，在C5中輸入“=BINOMDIST(C4,C2,C3,1)”，再求1個(gè)技師時(shí)發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率，單擊C6，輸入“=1-C5”即可求得，用同樣的方法可求得3個(gè)技師時(shí)發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率，計(jì)算結(jié)果如圖所示。

解決方案第一步：新建Excel工作表，輸入標(biāo)題“應(yīng)用二項(xiàng)分布BINOMDIST函數(shù)求概率”；第二步：分別單擊C2，C3，C4，輸入已知參數(shù)值：應(yīng)用二項(xiàng)分布求概率

二、車床故障維修問(wèn)題二、車床故障維修問(wèn)題其語(yǔ)法為：

BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)，其中為number_s為試驗(yàn)成功的次數(shù)，trials為獨(dú)立試驗(yàn)的次數(shù)，probability_s為每次試臉中成功的概率，cumulative含義同前.

說(shuō)明:BINOMDIST函數(shù)返回二項(xiàng)式分布的概率值.三、合理的訂貨量問(wèn)題

根據(jù)題意，打印機(jī)每周的銷售量服從

典型問(wèn)題3

一個(gè)零售商銷售和計(jì)算機(jī)有關(guān)的產(chǎn)品。他最熱賣的一種商品就是惠普激光打印機(jī)，平均每周需要200臺(tái)，從向廠家訂貨到貨物運(yùn)抵所需時(shí)間為1周，因?yàn)槊恐艿男枨笫请S機(jī)變量，且以往的數(shù)據(jù)表明周需求標(biāo)準(zhǔn)差為30臺(tái)。如果商品缺貨，那么他會(huì)失去這筆生意以及其他可能相關(guān)的買賣，他希望每周缺貨的概率不超過(guò)6%，那么每次應(yīng)該訂多少貨?問(wèn)題分析

的正態(tài)分布，問(wèn)題需要求出每周的缺貨概率不超過(guò)6%對(duì)應(yīng)的訂貨量臨界值，即94%概率下對(duì)應(yīng)的臨界值。

解決方案第一步：新建Excel工作表，輸入標(biāo)題“正態(tài)分布函數(shù)”；第二步：分別單擊單元格C2、E2，輸入己知數(shù)

第三步：計(jì)算不超過(guò)6%對(duì)應(yīng)的訂貨量臨界值（即94%概率下對(duì)應(yīng)的臨界值），在單元格C3中輸入“=NORMINV(0.94,C2,E2)”，結(jié)果如圖8-9所示。圖8-9正態(tài)分布臨界值三、合理的訂貨量問(wèn)題三、合理的訂貨量問(wèn)題語(yǔ)法為:

NORMINV（probability，mean，standard_dev）其中probability為正態(tài)分布的概率值，mean為正態(tài)分布的算術(shù)平均值，standard_dev為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差.

說(shuō)明:NORMINV函數(shù)返回指定平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)累積分布的反函數(shù).進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：概率初步FurtherMathematicsKnowledge:PreliminaryProbability三一、條件概率條件概率

則，在條件B發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率，稱之為條件概率，記為對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,并且

注意:

仍然是事件A發(fā)生的概率，只是在原來(lái)的基礎(chǔ)上，又增加了一個(gè)限制條件B的發(fā)生。計(jì)算公式對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,并且，則在條件B發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的條件概率

一、條件概率例8.13某種電子元件用滿6000小時(shí)未壞的概率是0.75，用滿10000小時(shí)未壞的概率為0.5，現(xiàn)有一個(gè)這樣的電子元件，已經(jīng)用滿6000小時(shí)未壞，問(wèn)它再用4000小時(shí)也未壞的概率？

一、條件概率乘法公式注意:乘法公式還可以推廣到多個(gè)事件相交的情況.由上式可知，對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,如果條件概率與概率有以下關(guān)系

則有

二、全概率公式和貝葉斯公式全概率公式貝葉斯公式例8.15設(shè)某批產(chǎn)品中甲、乙、丙三個(gè)廠家的產(chǎn)量分別占45%，35%，20%，各廠產(chǎn)品中次品率分別為4%，2%和5%.現(xiàn)從中任取一件，求取到的恰好是次品的概率？

二、全概率公式和貝葉斯公式例8.161981年3月30號(hào)，美國(guó)一所大學(xué)的退學(xué)學(xué)生JohnW.Hinckley企圖對(duì)里根總統(tǒng)行刺，他打傷了里根、里根的新聞秘書(shū)以及兩名保鏢.

在1982年審判時(shí)，Hinckley以他患有精神病為理由對(duì)自己進(jìn)行無(wú)罪辯護(hù)，辯護(hù)律師也試圖拿他的CAT掃描作為證據(jù)，辯護(hù)人爭(zhēng)辯說(shuō)因?yàn)镠inckley的CAT掃描顯示了腦萎縮，因而Hinckley患有精神分裂癥的可能性更大些.在美國(guó)精神分裂癥的發(fā)病率大約為1.5%，下面從概率的角度對(duì)Hinckley是否患有精神分裂癥進(jìn)行可能性分析.

以往的臨床資料表明，精神分裂癥患者掃描結(jié)果為腦萎縮的概率約為30%，而健康