專題07 雙曲線離心率歸類 （解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)講練測(cè)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)專題07雙曲線離心率歸類一、核心考點(diǎn)題型歸納【題型一】方程與離心率【題型二】漸近線求離心率【題型三】中點(diǎn)型求離心率【題型四】第三定義型點(diǎn)差法求離心率【題型五】漸近線型中點(diǎn)求離心率【題型六】第一定義型中點(diǎn)求離心率【題型七】共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型求離心率【題型八】求離心率范圍最值型【題型九】共焦點(diǎn)橢圓與雙曲線型離心率最值【題型十】離心率求參【題型十一】焦點(diǎn)三角形內(nèi)心型求離心率二、期中期末好題培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納知識(shí)點(diǎn)與技巧：雙曲線結(jié)論：(1)如圖3：①動(dòng)點(diǎn)P到同側(cè)焦點(diǎn)F2的距離最小值為：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；②焦點(diǎn)到漸近線的距離為：|F2M|＝b；(2)漸近線求法結(jié)論：可直接令方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等號(hào)右邊的常數(shù)為0，化簡(jiǎn)解得；（3）已知直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.（4）已知F1,F2是雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，（5）根據(jù)條件求得，利用或（6)性質(zhì)：過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸（橢圓是長(zhǎng)軸，雙曲線是實(shí)軸）的夾角為(7)橢圓（雙曲線）在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切.(8)橢圓（雙曲線）在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切.(9)橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．【題型一】方程與離心率1.（2021秋·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）雙曲線的離心率用來(lái)表示，則（

）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) D．是常數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線為坐標(biāo)軸，結(jié)合等軸雙曲線的離心率為定值，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線為軸和軸，即坐標(biāo)軸，其中坐標(biāo)軸互相垂直，即該雙曲線為等軸雙曲線，所以雙曲線的離心率為，即（常數(shù)）.故選：D.2.（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用題意可得到，，的值，即可求解【詳解】由雙曲線的焦距為4可得，，則，所以．故選：C3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為 B．C的漸近線方程為C．C的離心率為 D．C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】C【分析】求出實(shí)半軸、虛半軸、半焦距，即可按定義逐個(gè)判斷.【詳解】對(duì)A，C的實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)；對(duì)B，C的漸近線方程為，B錯(cuò)；對(duì)C，C的離心率為，C對(duì)；對(duì)D，C的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，D錯(cuò).故選：C4.（2022秋·廣東江門(mén)·高二江門(mén)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過(guò)，兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．或2 D．2【答案】D【分析】寫(xiě)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，以及之間的關(guān)系列方程求出雙曲線的離心率，再根據(jù)分類討論，確定雙曲線的離心率.【詳解】解：由題意在雙曲線中，，半焦距為，直線過(guò)，兩點(diǎn)∴在中，原點(diǎn)到直線的距離為，∴解得：∵∴當(dāng)時(shí)，解得：，舍去，當(dāng)時(shí)，解得：，符合題意，綜上，，故選：D.5.（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的頂點(diǎn)為，，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，且是一個(gè)等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】利用題給條件得到關(guān)于的關(guān)系式，即可求得雙曲線C的離心率【詳解】由是一個(gè)等邊三角形，可得即，則有，即則雙曲線C的離心率。故選：A【題型二】漸近線求離心率1.（2023·陜西咸陽(yáng)·陜西咸陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】求出兩漸近線的傾斜角，得到漸近線方程，得到，求出離心率.【詳解】因?yàn)橐粭l漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，且這兩條漸近線傾斜角的和等于，所以漸近線的傾斜角分別為，故漸近線方程為，故，，故離心率為.故選：B.2.（2023春·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】將P點(diǎn)坐標(biāo)代入漸近線方程，求出a與b的關(guān)系，再根據(jù)求出離心率.【詳解】漸近線方程為：，由于P點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限，選用，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，又；故選：D.3.（2022·全國(guó)高二專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知：雙曲線與沒(méi)有公共點(diǎn)，則，即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，若雙曲線（，）與直線無(wú)公共點(diǎn)，則應(yīng)有，所以離心率，故選：D4.（2022春·新疆博爾塔拉高二階段練習(xí)）若雙曲線的兩條漸近線與直線y＝2圍成了一個(gè)等邊三角形，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意得到漸近線方程的斜率，從而得到，求出離心率.【詳解】由題意得：漸近線方程的斜率為，又漸近線方程為，所以，所以C的離心率為故選：D5.（2022春·河南濮陽(yáng)高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線，若直線與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，的夾角為，則C的離心率為(

)A．2 B． C． D．【答案】A【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由對(duì)稱性求出漸近線斜率，求解，解得c，即可求離心率．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA＝OB，由，的夾角為知為等邊三角形，∴漸近線的斜率為：，∴，又，∴，則．故選：A．【題型三】中點(diǎn)型求離心率1.（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為虛軸上端點(diǎn)，是中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】作出圖象，根據(jù)幾何性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合∥可得，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，在雙曲線C:中，右焦點(diǎn)為，F(xiàn)N垂直于軸，

由題意可知：，因?yàn)槭荁F中點(diǎn)，則，可得，且三點(diǎn)共線，則∥，可得，即,所以.故選：A.2.．（2023秋·四川成都高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.【詳解】由于線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，所以，由解得，則，而，所以，，兩邊除以得，解得或（舍去）.故選：D

3.．（2023·全國(guó)高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，與另一條漸近線交于點(diǎn)P，與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若Q為線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到直線，與另一條漸近線聯(lián)立得到，根據(jù)為線段的中點(diǎn)得到，再代入雙曲線方程求解即可.【詳解】由題知：，平行的一條漸近線為，則直線，，即.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以.把代入得：，化簡(jiǎn)得，即，則.故選：C4.（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谥校┮阎p曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)M在y軸上，且，若線段的中點(diǎn)恰好在雙曲線的漸近線上，則E的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】不妨設(shè)在軸的正半軸，設(shè)，，依題意可得，從而表示出的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再代入漸近線方程，即可得到，從而求出離心率；【詳解】解：不妨設(shè)在軸的正半軸，設(shè)，，顯然為等腰三角形，由，所以，故，設(shè)的中點(diǎn)為，由于，所以，又在漸近線上，所以，所以，所以．故選：A．5.（2023·全國(guó)高二專題練習(xí)）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在軸上，為等邊三角形，且線段的中點(diǎn)恰在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義，可得，再根據(jù)等邊三角形的特點(diǎn)可知，由此可得，即可求出離心率.【詳解】如圖所示，設(shè)，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則在雙曲線的右支上，又為等邊三角形，所以，所以，所以連接，則在等邊三角形中，且，所以，所以，即雙曲線的離心率為.故選：C.【題型四】第三定義型點(diǎn)差法求離心率1.（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得離心率.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，故.故選：C.2.．（2022秋·河南鄭州高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)差法得出，進(jìn)而由離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，，由的中點(diǎn)為，則，由，兩式相減得：=，則==，由直線的斜率，∴，則，雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率為，故選：B．3.（2022秋·甘肅蘭州高二蘭化一中校考階段練習(xí)）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則C的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中點(diǎn)弦問(wèn)題利用點(diǎn)差法處理.【詳解】法一：設(shè)，則，所以，又AB的中點(diǎn)為，所以，所以，由題意知，所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.法二：直線AB過(guò)點(diǎn)，斜率為1，所以其方程為，即，代入并整理得，因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，所以，整理得，所以C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.4.（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出，，的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，結(jié)合為線段的中點(diǎn)，以及兩點(diǎn)之間的斜率公式，通過(guò)恒等變換，得到與的斜率的乘積與的關(guān)系，根據(jù)化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】設(shè)，，，則，兩式作差，并化簡(jiǎn)得，，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，即所以，即，由，得.故選：B.5.（2023·全國(guó)高二專題練習(xí)）過(guò)雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出直線AB的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法及條件得到關(guān)于的關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線的離心率【詳解】不妨設(shè)過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D【題型五】漸近線型中點(diǎn)求離心率1.（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）已知直線與圓相切于點(diǎn)E，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，且E為AB的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的漸近線求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線與圓相切可得，再聯(lián)立直線與圓，即可用表示出的坐標(biāo)，再消即可得出的值，再利用求出答案.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為，聯(lián)立直線與漸近線，解得，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)，所以，又，所以，即點(diǎn)在第一象限，即，又直線與圓相切，即，解得（負(fù)值舍去），則直線，聯(lián)立直線與圓，解得，即，即，解得，所以雙曲線的離心率.

故選：B2.（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的方程為，斜率為的直線與圓相切于M，與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B，且M為AB中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】.設(shè)出直線的方程，求出A，B的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入圓方程中即可求離心率【詳解】依題意，設(shè)直線的方程為，圓的方程可化為，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切于M，所以，由可化簡(jiǎn)得，則直線的方程為，雙曲線C的兩條漸近線分別為，，由得，同理可得，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，M在圓上，將M的坐標(biāo)代入圓方程可得，化簡(jiǎn)整理得，從而可得，則雙曲線C的離心率.故選：B3.（2023·全國(guó)高二專題練習(xí)）以雙曲線C：的實(shí)軸與虛軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形各邊中點(diǎn)恰在雙曲線的漸近線上，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)公式可得在直線上，即可代入求解.【詳解】由題意可得實(shí)軸的頂點(diǎn)為虛軸的頂點(diǎn)為，故4個(gè)中點(diǎn)為，雙曲線的漸近線為，因此不妨考慮點(diǎn)在直線上，所以，，雙曲線C的離心率，故選：A.4.．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中?？计谀╇p曲線的左焦點(diǎn)為F，離心率為e，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若AB的中點(diǎn)為M，若等于半焦距，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)直線方程，然后與漸近線方程聯(lián)立即可得出兩點(diǎn)坐標(biāo)，最后通過(guò)兩點(diǎn)坐標(biāo)得出中點(diǎn)坐標(biāo)并運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式得出算式，化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，設(shè)雙曲線的半焦距為，則雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，聯(lián)立，可得，聯(lián)立，可得，不妨設(shè)，，故中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，所以，因?yàn)?，所以，所以（矛盾舍去）或，所以所以，所以，故，故選：B．5.（2022秋·河南洛陽(yáng)高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B在直線上，且位于第一象限，直線與直線交于點(diǎn)A，且A是線段的中點(diǎn)，，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)和O是的中點(diǎn)，得出，建立等量關(guān)系得，即可求得離心率.【詳解】方法一：由題知直線是雙曲線的兩條漸近線，如圖，因?yàn)镺是的中點(diǎn)，且，所以，設(shè)，則解得即．因?yàn)锳是的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)A在直線上，所以，解得c＝2a，所以，故選：B．方法二：因?yàn)镺是的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)锳是的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以，則c＝2a，所以．故選：B．【題型六】第一定義型中點(diǎn)求離心率1.（2023春·山西高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，且為線段的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由條件證明為線段的中點(diǎn)，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)樗裕譃榫€段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，且，又為線段的中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故選：D.2.（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交的左、右半支分別于點(diǎn)．若為線段的中點(diǎn)，且是等腰三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義確定等腰的腰，再利用勾股定理列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，令，由雙曲線的定義知，，顯然，否則，有，，，，矛盾，若，即，則，，滿足條件，過(guò)作，垂足為，則為線段的中點(diǎn)，于是，，設(shè)雙曲線的焦距為，在中，，即，解得，所以的離心率．故選：B3.．（2023春·陜西西安高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的左支分別交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由條件結(jié)合雙曲線定義列出關(guān)于的齊次方程，由此可求的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)?，所以，由雙曲線定義可得，所以因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以，即所以，所以，所以離心率，故選：A.4.（2022秋·天津河?xùn)|高二天津市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為雙曲線T：（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，P是雙曲線T右支上一點(diǎn)，且滿足，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)M是線段的中點(diǎn)，若，則雙曲線T的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件可得OM是的中位線，由此求出，并證明，結(jié)合雙曲線定義可求，再根據(jù)勾股定理求，由此可得離心率.【詳解】如圖，設(shè)F1為雙曲線T：的左焦點(diǎn)，依題意可得OM是的中位線，又，所以且，所以，又，故．，，則雙曲線T的離心率為．故選：C.5.（2022·山西臨汾·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A，B分別在其左、右兩支上，，M為線段AB的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件結(jié)合雙曲線的定義求，結(jié)合勾股定理求出的關(guān)系，由此可得離心率.【詳解】因?yàn)?，所以，又M為線段AB的中點(diǎn)，所以，設(shè)，因?yàn)?，M為線段AB的中點(diǎn)，所以，，由雙曲線定義可得，，所以，，又，所以，故，所以，由，可得，由已知，所以，即，所以，所以離心率，C正確；故選：C【題型七】共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型求離心率1.（2022·全國(guó)高二專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，利用余弦定理得到，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得到，代入求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，則，又，，故，，所以，化簡(jiǎn)得，即.故選：B2.（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的值為（

）

A． B． C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義可得：，所以，在中，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，所以，即，故選：D3.（2022·全國(guó)高二專題練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)，，若，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且滿足，設(shè)，分別是，的離心率，則，的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由結(jié)合外角定理可得，然后可得，再結(jié)合橢圓和雙曲線定義、勾股定理列式整理可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以所以，記橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為，則由橢圓和雙曲線定義可得：…①…②①2+②2可得由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即所以故選：D4.（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，雙曲線：的離心率為，且橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同.過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上.若與的周長(zhǎng)之比為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及橢圓和雙曲線的離心率公式，利用橢圓和雙曲線的定義及三角形周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)焦距為，則，，，由橢圓的定義知，,,所以的周長(zhǎng)為，由雙曲線的定義知，，所以的周長(zhǎng)，又因?yàn)槿襞c的周長(zhǎng)之比為所以，整理得，所以.故選：A.5.（2022秋·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右焦點(diǎn)也是雙曲線的焦點(diǎn)，分別是在第二、四象限的公共點(diǎn)，若，且，則與的離心率之積是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和橢圓、雙曲線的對(duì)稱性可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義和離心率即可求解.【詳解】連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形.在中，，對(duì)于橢圓，其離心率為；而對(duì)于雙曲線，其離心率為，故，故選：C.【題型八】求離心率范圍最值型1.（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）已知雙曲線右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為雙曲線的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出對(duì)應(yīng)的圖象，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，則四邊形為矩形．因此．，．可得，結(jié)合余弦函數(shù)運(yùn)算求解．【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，則四邊形為矩形，所以，則，．．．即，則，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以，即雙曲線離心率的取值范圍是，故選：C．2.（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)彩虹學(xué)校?？茧A段練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，寫(xiě)出向量，根據(jù)∠ADB為鈍角，結(jié)合向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，令，得，可設(shè)由對(duì)稱性，不妨設(shè)，可得，，由題意知三點(diǎn)不共線，所以∠ADB為鈍角，即為，將代入化簡(jiǎn)得，由，可得，又，解得，則，綜上，離心率的取值范圍為．故選：D.3.．（2023秋·四川成都高二?？茧A段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線離心率的計(jì)算公式求解即得.【詳解】設(shè)，雙曲線的半焦距為c，則有，，，于是，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即，離心率，所以雙曲線離心率的最小值為.故選：D4.（2024·全國(guó)高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)不是頂點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意判斷P點(diǎn)在雙曲線右支上，推出，可得，從而利用在中求出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和推出，繼而推出，由此可得答案.【詳解】設(shè)與y軸交于Q點(diǎn)，連接，則，

因?yàn)?，故P點(diǎn)在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內(nèi)角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A5.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，則，再根據(jù)雙曲線的定義得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，再根據(jù)齊次式求解即可.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解?故選：A.

【題型九】共焦點(diǎn)橢圓與雙曲線型離心率最值1.（2031山西太原高二階段性聯(lián)考）已知點(diǎn)，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別是和的離心率，點(diǎn)為和的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由橢圓與雙曲線的定義和余弦定理,可得,再由求的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn),由橢圓與雙曲線的定義得,①,,②,由余弦定理得,③聯(lián)立①②③得,由,,得,,,,則,,,,,,又,,.故選:D.2.（2022秋·河北張家口·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有相同的左右焦點(diǎn)，，若點(diǎn)是與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且，設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．以上答案都不對(duì)【答案】B【分析】由橢圓與雙曲線的定義可得,由,則,兩邊同除可得,即,則,進(jìn)而利用單調(diào)性求解即可.【詳解】由橢圓定義可得,由雙曲線定義可得,則,因?yàn)?所以,兩邊同除,則,則,所以,因?yàn)?所以,易得單調(diào)遞增,所以,故選:B3.（2021·高二單元測(cè)試）已知橢圓：（）與雙曲線：（，）有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若，分別是兩曲線，的離心率，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積相等，即可求得之間的等量關(guān)系，再用均值不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓和雙曲線有相同的交點(diǎn)，且，則可得，解得，則，整理得，則，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)取得最小值.故選：B.4，（2020春·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知離心率為的橢圓：（）和離心率為的雙曲線：（，）有公共的焦點(diǎn)，，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理得出，最后由離心率公式以及基本不等式求解即可.【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸為，雙曲線的實(shí)軸為在雙曲線的右支上，且在橢圓上則由橢圓的定義知由雙曲線的定義知由余弦定理可得整理得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故選：C5.（2021·高二單元測(cè)試）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，且在上的投影等于，，分別是橢圓和雙曲線的離心率，則的最小值是（

）A． B．6 C．8 D．【答案】C【解析】由在上的投影等于可知PF1⊥PF2，利用橢圓與雙曲線的焦距相同找到和的關(guān)系，最后構(gòu)建函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值.【詳解】如圖，設(shè)半焦距為．∵點(diǎn)是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，且在上的投影等于，∴PF1⊥PF2．設(shè)，，則，．∴＝﹣．在中，由勾股定理可得：.∴．兩邊同除以c2，得2＝，所以，當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，因此9e12+e22的最小值是8．故選：C.【題型十】離心率求參1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，若的離心率為，則的值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即,解得或,又因?yàn)?即.故選：A2.（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線及雙曲線，且的離心率為，若直線與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的離心率可求得的值，分析可知兩雙曲線的漸近線重合，再結(jié)合兩雙曲線的焦點(diǎn)位置可得出的值.【詳解】由題意可知，雙曲線的離心率為，可得，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線、的漸近線重合，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)橹本€與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則.故選：B.3.（2022秋·四川瀘州·高二瀘縣五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，離心率為．是上一點(diǎn)，且．若的面積為4，則（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【分析】由雙曲線的離心率為可得①，又因?yàn)椋舻拿娣e為4，設(shè)在雙曲線的上半支，，則有，整理化簡(jiǎn)得，結(jié)合①，即可求得的值.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即有①，又因?yàn)椋拿娣e為4，由對(duì)稱性，設(shè)在雙曲線的上半支，，則有，所以，即由①可得，所以，解得.故選：D.4.（2022秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考期中）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，右焦點(diǎn)為.若與的離心率分別為和，點(diǎn)為的右支與的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的值為A．0 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】因?yàn)閮汕€的焦點(diǎn)相同，所以再根據(jù)已知得到，再利用橢圓和雙曲線的定義得到即得解.【詳解】因?yàn)閮汕€的焦點(diǎn)相同，所以因?yàn)榕c的離心率分別為和，所以，，設(shè)，則，設(shè)它們的左焦點(diǎn)為,所以，所以，所以.故選：C5.．（2022·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，P是右支上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF長(zhǎng)為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長(zhǎng)恰好等于，則的值為A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，，知，，，，再由雙曲線第二定義知，結(jié)合，由此能夠得出的值．【詳解】，，，，，，，由雙曲線第二定義，知，由于以P為圓心，PF長(zhǎng)為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長(zhǎng)恰好等于，故，，，，，故選：．【題型十一】焦點(diǎn)三角形內(nèi)心型求離心率1．（2023春·四川甘孜·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件和面積公式得出，的關(guān)系，從而得出離心率的范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，因?yàn)椋?，由雙曲線的定義可知，所以，即，又由，所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：D2.（2022·全國(guó)高二專題練習(xí)）點(diǎn)P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，，分別是雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若雙曲線C的離心率，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】設(shè)出內(nèi)切圓的半徑，表示出，由得，結(jié)合雙曲線的定義及離心率即可求解.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，由可得，化簡(jiǎn)得，又，故.故選：D.3.（2021秋·江西宜春·高二高安中學(xué)?？计谀┮阎?，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，分別為，的內(nèi)心，若，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，由雙曲線的定義及內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，即，同理可得，從而可得，再由，可得，設(shè)直線的傾斜角為，在和中，分別將,用表示代入即可求出直線的斜率，再結(jié)合直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，即可求出，進(jìn)而可求出離心率的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)直線的斜率大于0．如圖:連接．，，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)，，，則，所以，即，同理可得，所以，設(shè)直線的傾斜角為，在中，，在中，，又，所以，即，解得，所以，即直線的斜率為，由題意，直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，故，所以.故選:D4.（2023·全國(guó)高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，且滿足，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用三角形的內(nèi)切圓圓心到各邊距離都等于半徑，從而得到，，，再由找到的等量關(guān)系，進(jìn)而求得離心率的值.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，又,，所以，即，所以，故選：D.5.．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由重心坐標(biāo)求得I的坐標(biāo)，再利用圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義得到G的坐標(biāo)，再根據(jù)與軸平行，由求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，則，由圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義得，所以，則，因?yàn)榕c軸平行，所以，即，則，即，解得，故選：B培優(yōu)練1.（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為，則該雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，由解得，再由離心率公式求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為，所以，又因?yàn)椋?，所以離心率.故選：C.2.（2022·全國(guó)高二專題練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線形成的對(duì)頂角中有一對(duì)對(duì)頂角均為60°，則該雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．或2 D．4或【答案】C【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得漸近線的斜率進(jìn)而根據(jù)夾角是，求得的值，進(jìn)而根據(jù)求得，進(jìn)而離心率可得．【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，漸近線斜率是，而夾角是，因?yàn)閮芍本€關(guān)于軸對(duì)稱，所以和軸夾角是或，即或，若，即，，，（負(fù)的舍去）；若，，，，即．所以，或．故選：．3.（2022春·全國(guó)高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在的一條漸近線上，且（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線與軸交于點(diǎn)．若直線過(guò)線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)；將直線方程與漸近線方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得直線方程，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)為中點(diǎn)可構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，進(jìn)而得到雙曲線離心率.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，即直線交軸于，由雙曲線方程知：一條漸近線方程為，，，則直線方程為：，令，則，即；由得：，即，，直線方程為：，令，則，又為中點(diǎn)，，則，即，，解得：（舍）或.故選：C.4.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法即可．【詳解】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(-2，0)，∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．5.（2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段的中點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】由題意可得為直角三角形，再結(jié)合A為線段的中點(diǎn)，可得AO垂直平分，可表示出直線，再聯(lián)立漸近線方程可以得到，，的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線離心率【詳解】由題意可知，過(guò)的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)兩