熱點07 相似三角形（解析版）-命題趨勢與限時檢測AB卷

熱點07相似三角形相似三角形在中考數(shù)學(xué)中的地址永遠都是無法撼動的第一，不管是對相似三角形性質(zhì)、判定、亦或是應(yīng)用的考察，都有出題類型多變，出題形式隨意的特點，并且，因為其高度的融合性，不管是在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中，都可以作為壓軸題的問題背景出現(xiàn)，也是解決壓軸題問題不可或缺的方法途徑?；谝陨咸卣?，相似三角的考察難度可以從中等跨越到較難，屬于中考數(shù)學(xué)中較為重要的壓軸考點。相似三角形的性質(zhì)：分類記憶——邊、角、線、面積＋周長；相似三角形的性質(zhì)有：對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊上的“三線”之比=相似比、對應(yīng)面積之比=相似比的平方、對應(yīng)周長之比=相似比。另外，相似三角形之前還有有關(guān)平行線分線段成比例的基本性質(zhì)的考察。2.相似三角形的判定：重點記“AA”與“SAS”類型，小題勿忘“SSS”類型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，其次是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似不長出現(xiàn)，但是個別小題，特別是和網(wǎng)格結(jié)合的問題小題中，也是有出現(xiàn)幾率的。3.相似三角形的應(yīng)用：理解題意、提煉模型、注意特殊要求；相似三角形的應(yīng)用多與實際生活結(jié)合，考察樹或者樓的高度、物體的某些邊的長度等。此時通常需要自己提煉出應(yīng)用的相似模型，并根據(jù)需要添加輔助線等，個別時候還會要求結(jié)果符合一定的要求，需要特點別注意。當(dāng)相似三角形與函數(shù)結(jié)合考察時，通常為壓軸題，需要同時注意相似三角形與函數(shù)各自的性質(zhì)的融合。相似三角形的考察熱點有：平行線分線段成比例的基本性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、判定以及其綜合應(yīng)用。近幾年也?？疾煜嗨评锏膸缀文Ｐ?，如：手拉手模型、K型圖模型、A字圖與8字圖模型、母子三角形模型等。A卷（建議用時：60分鐘）1．（2021?攀枝花·中考真題）若（x、y、z均不為0），則＝．【分析】設(shè)比值為k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式進行計算即可得解．【解答】解：設(shè)＝＝＝k（k≠0），則x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案為：3．2．（2021?百色·中考真題）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分線CD交AB于點D，則點D是線段AB的黃金分割點．若AC＝2，則BD＝．【分析】證AD＝CD＝BC，再證△BCD∽△BAC，得BC：AB＝BD：BC，則AD：AB＝BD：AD，得點D是AB邊上的黃金分割點，AD＞BD，求出AD＝AB＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴點D是AB邊上的黃金分割點，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案為：3﹣．3．（2021?哈爾濱·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例由DE∥BC得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故選：B．4．（2021?上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝．【分析】過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，由四邊形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根據(jù)AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，如圖：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四邊形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案為：．5．（2021?鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若＝，則＝．【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比求出，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵M，N分別是DE，BC的中點，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案為：．6．（2021?湘潭·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC上的點，試添加一個條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個角相等的三角形相似；夾角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似，即可解題．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案為：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．7．（2021?巴中·中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且＝＝，下列結(jié)論正確的是（）A．DE：BC＝1：2 B．△ADE與△ABC的面積比為1：3 C．△ADE與△ABC的周長比為1：2 D．DE∥BC【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進行逐一判斷即可．【解答】解：∵＝＝，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A錯誤；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE與△ABC的面積比為1：9，周長的比為1：3，故B和C錯誤；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正確．故選：D．8．（2021?恩施州·中考真題）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，E為BD與正方形網(wǎng)格線的交點，下列結(jié)論正確的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD【分析】根據(jù)勾股定理可以得到BC、CD、BD的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形狀，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，可以得到EF的長，然后即可得到CE的長，從而可以得到CE和BD的關(guān)系；根據(jù)圖形，很容易判斷△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到∠ABC和∠CBD的關(guān)系．【解答】解：由圖可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故選項A錯誤；由圖可知，顯然△ABC和△CBD不全等，故選項B錯誤；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故選項C錯誤；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故選項D正確；故選：D．9．（2021?內(nèi)江·中考真題）在同一時刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比．在某一時刻，有人測得一高為1.8m的竹竿的影長為3m，某一高樓的影長為60m，那么這幢高樓的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【分析】設(shè)此高樓的高度為x米，再根據(jù)同一時刻物高與影長成正比例出關(guān)于x的比例式，求出x的值即可．【解答】解：設(shè)這幢高樓的高度為x米，依題意得：＝，解得：x＝36．故這幢高樓的高度為36米．故選：D．10．（2021?蘭州·中考真題）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為5m時，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“”字高度為72.7mm，當(dāng)測試距離為3m時，最大的“”字高度為（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行線分線段成比例定理列比例式，代入可得結(jié)論．【解答】解：由題意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故選：B．11．（2021?錦州·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點（位于AB下方），CD交AB于點E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（）A．2 B．4 C．3 D．4【分析】連接CO，過點D作DG⊥AB于點G，連接AD，因為CE＝2DE，構(gòu)造△DGE∽△COE，求出DG＝3，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，則AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解決．【解答】解：方法一、連接CO，過點D作DG⊥AB于點G，連接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG?BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，方法二、∵∠CDB＝∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴BC2＝CE×CD，設(shè)DE＝x，則CE＝2x，∴（6）2＝2x×3x，∵x＞0，∴x＝2，∴CE＝4，故選：D．12．（2021?連云港·中考真題）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，則△DBC的面積是（）A． B． C． D．【分析】過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的長，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，則∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分別求出BE和BD的長，進而可求出△BCD的面積．【解答】解：如圖，過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，則∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，則CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝?BD?CE＝×＝．故選：A．13．（2021?濟南·中考真題）如圖，一個由8個正方形組成的“C”模板恰好完全放入一個矩形框內(nèi)，模板四周的直角頂點M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的邊上，若8個小正方形的面積均為1，則邊AB的長為．【分析】如解答圖所示，連接EG，則∠OEP＝90°，由題意得，小正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理得出OP＝，根據(jù)矩形的性質(zhì)可判定△OEP∽△QBM，得到＝＝＝，進而得出BM＝，QB＝，利用AAS證明△QBM≌△MAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差即可得解．【解答】解：如下圖所示，連接EG，則∠OEP＝90°，由題意得，小正方形的邊長為1，∴OP＝＝＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，∴∠BMQ＝∠EPO，又∠OEP＝∠B＝90°，∴△OEP∽△QBM，∴＝＝＝，∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，在△QBM和△MAN中，，∴△QBM≌△MAN（AAS），∴AM＝QB＝，∴AB＝BM+AM＝+＝．故答案為：．14．（2021?鄂州·中考真題）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四邊形BEDF的形狀，并說明理由；（2）連接AC，分別交BE、DF于點G、H，連接BD交AC于點O．若＝，AE＝4，求BC的長．【分析】（1）利用∠ABE＝∠CDF以及平行四邊形的性質(zhì)，求證BE∥DF，AD∥BC即可判斷四邊形BEDF的形狀；（2）設(shè)AG＝2a，通過已知條件即可推出的值，再通過求證△AGE∽△CGB，利用相似比即可求出BC的長．【解答】解：（1）四邊形BEDF為平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，∴BE∥DF，∵AD∥BC，∴四邊形BEDF為平行四邊形；（2）設(shè)AG＝2a，∵，∴OG＝3a，AO＝5a，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，∴，∵AE＝4，∴BC＝16．15．（2021?聊城·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE是直徑，交BC于點H，點D在上，連接AD，CD過點E作EF∥BC交AD的延長線于點F，延長BC交AF于點G．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的長．【分析】（1）由題意可證∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形的性質(zhì)可得AE⊥BC，由平行線的性質(zhì)可證EF⊥AE，可得結(jié)論；（2）在Rt△OHC中，利用勾股定理可求半徑，可得AE的長，通過證明△AEF∽△AHG，可得，可求EF的長，通過證明△DCG∽△BAG，可得，可求CD的長．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AE是直徑，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，又∵EF∥BC，∴EF⊥AE，∴EF是⊙O的切線；（2）連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r，∵AE⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝1，∴HG＝HC+CG＝4，∴AG＝＝＝5，在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（3﹣r）2+1＝r2，解得：r＝，∴AE＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△AHG，∴，∴＝，∴EF＝，∵AH＝3，BH＝1，∴AB＝＝＝，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDG＝180°，∴∠B＝∠CDG，又∵∠DGC＝∠AGB，∴△DCG∽△BAG，∴，∴＝，∴CD＝．B卷（建議用時：80分鐘）1．（2021?大慶·中考真題）已知＝＝，則＝．【分析】設(shè)＝＝＝k，分別求出x、y、z的值，代入所求式子化簡即可．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝＝，故答案為．2．（2021?德陽·中考真題）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為﹣1，則該矩形的周長為．【分析】分兩種情況：①邊AB為矩形的長時，則矩形的寬為3﹣，求出矩形的周長即可；②邊AB為矩形的寬時，則矩形的長為＝2，求出矩形的周長即可．【解答】解：分兩種情況：①邊AB為矩形的長時，則矩形的寬為×（﹣1）＝3﹣，∴矩形的周長為：2（﹣1+3﹣）＝4；②邊AB為矩形的寬時，則矩形的長為：（﹣1）÷＝2，∴矩形的周長為2（﹣1+2）＝2+2；綜上所述，該矩形的周長為2+2或4．3．（2021?阿壩州·中考真題）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)．若AB：BC＝2：3，EF＝9，則DE的長是（）A．4 B．6 C．7 D．12【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故選：B．4．（2021?宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點F，則△AFE面積的最大值是．【分析】連接DE．首先證明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF＝S△ABD，求出△ABD面積的最大值即可解決問題．【解答】解：連接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴當(dāng)AB⊥BD時，△ABD的面積最大，最大值＝××4＝，∴△AEF的面積的最大值＝×＝，故答案為：5．（2021?盤錦·中考真題）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由示意圖獲得，設(shè)井深為x尺，所列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】如圖，設(shè)AD交BE于K．利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，設(shè)AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴＝，∴＝，故選：A．6．（2021?臨沂·中考真題）如圖，點A，B都在格點上，若BC＝，則AC的長為（）A． B． C．2 D．3【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以得到AB的長，然后由圖可知AC＝AB﹣BC，然后代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：作CD⊥BD于點D，作AE⊥BD于點E，如右圖所示，則CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故選：B．7．（2021?湘西州·中考真題）如圖，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于點B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，則CD的長是（）A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，證明△ABE∽△DCE，得＝，即可求解．【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故選：C．8．（2021?益陽·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，將△ABC繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，連接BB′，CC′，則△CAC′與△BAB′的面積之比等于．【分析】證明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解決問題．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴＝，∴△ACC′∽△ABB′，∴＝（）2，∵∠CAB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴＝（）2＝．故答案為：9：4．9．（2021?常州·中考真題）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分別在CA、CB上，點F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA＝．【分析】連接AF，過點F作FG⊥AB于G，由四邊形CDFE是邊長為1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根據(jù)勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，設(shè)BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．【解答】解：連接AF，過點F作FG⊥AB于G，∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，設(shè)BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案為：．10．（2021?綿陽·中考真題）如圖，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，點Q是線段AB上的動點，則PQ的最小值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，得到BD＝4（負值舍去），AB＝BD＝4，過B作BH⊥AD于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH＝AD＝3，根據(jù)勾股定理得到BH＝＝＝，當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△DAB∽△DCA，∴＝，∴＝，解得：BD＝4（負值舍去），∵△DAB∽△DCA，∴，∴AC＝，∵AC2＝AB（AB+BC），∴（AB）2＝AB（AB+BC），∴AB＝4，∴AB＝BD＝4，過B作BH⊥AD于H，∴AH＝AD＝3，∴BH＝＝＝，∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2，當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴，∴＝，∴PQ＝，故選：A．11．（2021?溫州·中考真題）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點D作DF的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G，連結(jié)CG，延長BE交CG于點H．若AE＝2BE，則的值為（）A． B． C． D．【分析】如圖，過點G作GT⊥CF交CF的延長線于T，設(shè)BH交CF于M，AE交DF于N．設(shè)BE＝AN＝CM＝DF＝a，則AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想辦法求出BH，CG，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點G作GT⊥CF交CF的延長線于T，設(shè)BH交CF于M，AE交DF于N．設(shè)BE＝AN＝CM＝DF＝a，則AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四邊形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a，∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故選：C．12．（2021?山西·中考真題）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為．【分析】取AD中點F，連接EF，過點D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，由三角形中位線定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通過證明四邊形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通過證明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的長，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的長，即可求解．【解答】解：如圖，取AD中點F，連接EF，過點D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵點E為CD中點，點F為AD中點，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四邊形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四邊形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案為：4．13．（2021?鞍山·中考真題）如圖，△ABC的頂點B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，頂點C在x軸負半軸上，AB∥x軸，AB，BC分別交y軸于點D，E．若＝＝，S△ABC＝13，則k＝．【分析】過點B作BF⊥x軸于點F，通過設(shè)參數(shù)表示出三角形ABC的面積，從而求出參數(shù)的值，再利用三角形ABC與矩形ODBF的關(guān)系求出矩形面積，即可求得k的值．【解答】解：如圖，過點B作BF⊥x軸于點F．∵AB∥x軸，∴△DBE∽△OCE，∴＝，∵＝＝，∴＝＝＝＝，設(shè)CO＝3a，DE＝3b，則AD＝2a，OE＝2b，∴，OD＝5b，∴BD＝，∴AB＝AD+DB＝，∵S△ABC＝＝＝13，∴ab＝，∵S矩形ODBF＝BD?OD＝＝＝18，又∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，∴k＝18，故答案為18．14．（2021?營口·中考真題）如圖，AB是⊙O直徑，點C，D為⊙O上的兩點，且＝，連接AC，BD交于點E，⊙O的切線AF與BD延長線相交于點F，A為切點．（1）求證：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的長．【分析】（1）利用AB是⊙O直徑，AF是⊙O的切線，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，進而證得∠F＝∠AEF，根據(jù)等角對等邊即可證得AF＝AE；（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根據(jù)AE+CE＝AC即可求得AF．【解答】（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切線，∴∠FAB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直徑，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠