物理競賽-波動

競賽內(nèi)容和要求機械振動一、簡諧振動的定義

1、定義：物體運動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）隨時間按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律變化，稱這個物體在作簡諧振動或簡諧運動。

2、兩個特例：“彈簧振子”和“單擺”。彈簧振子單擺動力學(xué)特征：動力學(xué)方程：運動方程：彈簧振子單擺注1：彈簧振子水平放置，豎直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做簡諧振動。注2：l例.質(zhì)量為m的質(zhì)點在水平光滑面上,兩側(cè)各接一彈性系數(shù)為k的彈簧,如圖,彈簧另一端被固定于壁上,L為兩彈簧自然長度,如使m向右有一小位移后,靜止施放,則質(zhì)點每秒通過原點的次數(shù)為______(1987.二.2)mkkLL解：質(zhì)點離開其平衡位置位移為x,所受合力為-2kx.由牛頓定律,其自由振動方程為:∴其振動頻率為：質(zhì)點每秒通過原點為

次。二、簡諧振動的特征量1、振幅A2、角頻率（圓頻率）ω：質(zhì)點離開平衡位置的最大距離。

:2

秒內(nèi)質(zhì)點的振動數(shù)。對彈簧振子：對單擺：由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。由振動系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定。3、相位（位相，周相）：反映質(zhì)點的運動狀態(tài)。t=0時位相值

，稱初相，

(

t+

)是t時刻的相位，由振動系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定。為方便計，規(guī)定：注：角頻率ω就是相位的變化速率。4、兩個同頻率簡諧振動的相位差：它們的相差為：（也可寫成）兩質(zhì)點振動步調(diào)相同(同相)兩質(zhì)點振動步調(diào)相反(反相)質(zhì)點2比質(zhì)點1相位超前△

質(zhì)點2比質(zhì)點1相位滯后△

注1：超前與滯后是相對的。注2：通常將

限制在≤π。三、簡諧振動的速度和加速度1、位移:2、速度:3、加速度:為速度振幅；速度比位移的相位超前為加速度振幅；加速度與位移反相。（1）x、v、a周期均為T。（2）v比x超前π/2，a與x反相。都是簡諧振動txtvta(x-t曲線叫振動曲線)

2、t=0時，與x軸正向夾角為

。Ox

1、矢量（模與振幅等值)以勻角速度ω(與角頻率等值)逆時針旋轉(zhuǎn)。

M(t=0)x0ωxM(t)ωt這樣,矢量逆時針勻角速度旋轉(zhuǎn)過程中，其端點M在x軸上的投影點坐標(biāo)為：

x=Acos(ωt+

)恰為x軸上簡諧振動。

3、t=t時，與x軸正向夾角為(ωt+

)。四、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法4、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用②已知振動曲線畫旋轉(zhuǎn)矢量在任意時刻的位置：xtx①利用旋轉(zhuǎn)矢量制作振動曲線：（1）畫圖（2）求振動初相（3）求兩個簡諧振動的相位差（4）兩個簡諧振動的合成問題五、簡諧振動的能量Ek、Ep周期為T/2xoA-ATttT/2EPEkEx以水平彈簧振子為例：七、一維簡諧振動的合成1、同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成xyoωxx=x1+x2=A

cos(

t+

)兩種特殊情況：（1）若A1=A2，A=2A1，（2）若A1=A2，A=0。稱為干涉相消。稱為干涉相長。

2、同方向、不同頻率的兩個簡諧振動的合成拍

為簡化問題，設(shè)兩諧振動的振幅和相位都相等。x=x1+

x2合振動不是簡諧振動。當(dāng)

2

1時，

2-

1

2+

1隨ｔ緩變；隨ｔ快變。合振動可看作振幅緩變的“簡諧振動”。xtx2tx1t

拍拍頻:單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)。合振動的強弱A02(t)隨t

變化的現(xiàn)象－拍(beat)設(shè)拍周期為Tb實例：雙簧口琴、雙簧管(oboe)、鋼琴(piano)調(diào)音(鋼琴與標(biāo)準(zhǔn)音叉聲波形成拍—拍頻越小，說明鋼琴的音越準(zhǔn))。機械波一、機械波的基本特征1、機械波產(chǎn)生條件:（1）波源（2）彈性媒質(zhì)由以彈性力互相聯(lián)系著的質(zhì)點組成?！a(chǎn)生振動?！獋鞑フ駝?。

（1）波動中每一個質(zhì)點均在其平衡位置附近振動，不“隨波逐流”，傳播的是振動狀態(tài)。2、波動的特征：

（2）波動中，傳播方向上各質(zhì)點的振動依次滯后，即后動的點在相上總滯后于先動的點。各點的振動頻率均與波源的相同。（3）波源作一次全振動，將傳出一個完整的波形。（2）波振面——由振動相位相同的點聯(lián)成的面（同相面），簡稱波面。3、波的幾何描述（1）波射線——表示波的傳播方向的射線。簡稱波線。某時刻處在最前面的波面，稱為波前。平面波波面波線

球面波波面波線（3）波形曲線：表示任一時刻同一波線上各質(zhì)元相對于各自平衡位置的分布情況曲線。yoxλλλ4、波的特征量——波速、波長與波頻波速由介質(zhì)的性質(zhì)決定，波頻由波源的振動頻率決定（波源、觀測者均不動時）

。二、平面簡諧行波即從振動落后或超前的角度考慮問題并求得波動方程。1、波函數(shù)：（2）波函數(shù)的意義：①x一定，y

t

給出x點的振動方程。

②t一定，y

x

給出t時刻空間各點位移分布，即波形曲線。

③一般地

y=y(x,t)

表波線上各質(zhì)點在不同時刻的位移，反映了波形的傳播。y(x+

x,t+

t)

=y(x,t),

其中

x=u

t。

yTt0振動曲線x

一定

x

y0波形曲線t

一定△xx

y0y(x,t)uy(x+△x,t+△t)2、波的能量波的強度（1）波動能量的特點

②波動質(zhì)元中總能量：W=△Wk+

△Wp

≠const

，隨時間t作周期性的變化。①對某一質(zhì)元，其動能與勢能等值同相。同時達(dá)最大，同時為0。質(zhì)元經(jīng)過其平衡位置時具有最大的振動速度,同時其形變也最大，因而動能、勢能最大；質(zhì)元在最大位移時，動能、勢能均為零。

③波的實質(zhì)是能量的傳播過程，且波的能量是以波的傳播速度和方向傳播的。波動傳播時，介質(zhì)單位體積內(nèi)的總機械能。（2）能量密度：（3）平均能量密度（對時間平均)（適于各種彈性波）（特征）

單位時間內(nèi)垂直通過某一截面的能量,稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。（4）在一個周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流:

通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強度。（5）能流密度（波的強度）對無吸收媒質(zhì)：波傳播時振幅的變化①平面波：A1=A2；②球面波：A1r1=A2

r24、惠更斯原理（1）原理內(nèi)容:介質(zhì)中波傳到的各點,都可看作是發(fā)射子波的波源

(點波源)。在以后的任一時刻,這些子波面的包絡(luò)面（包跡）就是該時刻的波前。

（2）應(yīng)用：

①已知某時刻的波振面，用作圖法確定下一時刻的波振面。tt+△tu△tt+△tt

②用惠更斯原理作圖法解釋波的衍射現(xiàn)象。

③用惠更斯原理作圖法解釋波的反射和折射規(guī)律。5、波的干涉（1）波的疊加原理

波動互不相干地按自身的方式傳播，在波的交匯處，質(zhì)元的振動是相交匯的各個波單獨傳播時激發(fā)的振動之和。同頻率、同振動方向、相位差恒定。（2）相干條件：（3）干涉規(guī)律r1r2相干波源：兩列相干波在P點引起的振動●S1●S2●P疊加結(jié)果：干涉加強的條件：干涉減弱的條件：

10=

20時，相長干涉相消干涉三、駐波1、駐波的形成：兩列振幅相同的相干波在同一直線上相向傳播時交匯處產(chǎn)生的干涉。2、駐波的方程3、駐波的特點（2）頻率特點：（3）振幅特點：（4）相位特點：各質(zhì)點同頻率同一段振動同相相鄰段振動反相兩相鄰波腹（節(jié)）間距為λ/2相鄰的波腹與波節(jié)間距為λ/4（5）能量特點：能量不傳播（1）駐波的波形：不隨時間改變4、半波損失（1）波密波疏，反射點無相位突變；（2）波疏波密，反射點相位突變

.——“半波損失”天津站K198次62次天津站人耳聽到的聲音的頻率與聲源的頻率相同嗎？多普勒效應(yīng)

觀察者接收到的頻率

——單位時間內(nèi)觀測者接收到的振動次數(shù)或完整波數(shù)。

波源的頻率

——波源在單位時間內(nèi)的振動次數(shù)，或在單位時間內(nèi)發(fā)出完整波的數(shù)目。

波的頻率

——單位時間內(nèi)波傳播距離中完整波的數(shù)目，或介質(zhì)中質(zhì)點在單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。三種頻率與多普勒效應(yīng)

多普勒效應(yīng)——當(dāng)波源或觀察者或兩者均相對介質(zhì)運動，以上三種頻率不同的現(xiàn)象。一

波源不動，觀察者相對介質(zhì)以速度

運動觀察者接收的頻率

觀察者向波源運動觀察者遠(yuǎn)離波源二

觀察者不動,波源相對介質(zhì)以

運動波源向觀察者運動觀察者接收的頻率

波源遠(yuǎn)離觀察者BSS’u三.觀測者和波源同時運動

波源與觀測者相互接近時，接收到的頻率較高；波源與觀測者相互遠(yuǎn)離時，接收到的頻率較低。

觀測者接近于波源運動vR為正，反之為負(fù)；波源接近于觀察者運動vS為正，反之為負(fù)。

若波源和觀測者的運動不在二者連線上彈性波只有縱向多普勒效應(yīng)，無橫向多普勒效應(yīng)。即波源和觀察者沿著它們垂直方向運動，可推出二者頻率相等。

RS

S

R3636

例

一輛救護(hù)車以25m·s-1的速度在靜止的空氣中行駛，假設(shè)車上鳴笛的頻率為800Hz，求：靜止站在路邊的人聽到救護(hù)車駛近和離去時的鳴笛聲波的頻率.（設(shè)空氣中聲速330m·s-1.）3737救護(hù)車靠近時，

運用公式：解得:波源向觀察者運動3838當(dāng)救護(hù)車遠(yuǎn)離時波源遠(yuǎn)離觀察者

火車運動的多普勒效應(yīng)一列火車A的汽笛聲的頻率是f0，當(dāng)火車鳴著笛通過一個道口時，一位路人B離鐵軌的垂直距離為d，B在道口聽到火車的頻率是多少？[解析]如圖所示，當(dāng)波源運動速度不在波源與接收者的連線上時，只有徑向速度才是有效的。因此，路人B聽到的火車汽笛聲的頻率為由于vAxABθd所以

火車運動的多普勒效應(yīng)[討論]①如果d=0，可得(x<0)，(x>0)這是波源的速度方向和接收者在一條直線上的情況。②如果d≠0，當(dāng)x→-∞時，可得上面公式的第一式，可見：火車A從很遠(yuǎn)處開來時，路人B聽到笛聲的頻率接近于火車A沿直線迎面而來的頻率；當(dāng)x=0時可得fB=f0

當(dāng)火車A和路人B

擦身而過時，路人接收的頻率等于火車發(fā)出的頻率。隨著火車由遠(yuǎn)而近，再由近而遠(yuǎn)，x將從負(fù)到正連續(xù)變化，路人接收的汽笛聲的頻率都是持續(xù)降低的。當(dāng)x→+∞時，同理可知：火車A在很遠(yuǎn)處開去時，路人B聽到笛聲的頻率接近于火車A沿直線背面而去的頻率。中國速度的象征——京滬高鐵。它是由每根長100米的鋼軌鋪就而成。有位觀察者站在鐵軌旁，他離其中一根鋼軌AB（端點分別為A和B）的兩端點的距離均為100米。列車以360公里/小時高速貼地行駛，鳴著汽笛疾飛而過。列車司機說笛聲頻率為800赫茲。試問：(1)當(dāng)列車剛進(jìn)入鋼軌AB的起始端A點時，觀察者感覺到的笛聲頻率為多少？（2）列車駛離鋼軌時，觀察者感覺到的笛聲頻率為多少？(3)在觀察者看來，鋼軌AB的中點C處發(fā)出的笛聲，其頻率為多少？（2012天津物理競賽試題）波源向觀察者運動波源遠(yuǎn)離觀察者如圖所示，有一半徑為R質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓環(huán)，懸掛在墻壁上的釘子上可自由擺動。求環(huán)作微小角度（小于5度）擺動時的周期T。（2011天津