投資者的效用函數(shù)

含做空的資產(chǎn)組合之例假設(shè)投資者有100元，他賣空價(jià)值900元的證券A，購買價(jià)值1000元的證券B，如何表示此資產(chǎn)組合？第一頁第二頁，共65頁。含做空的資產(chǎn)組合練習(xí)題（42頁）假設(shè)投資者擁有１００元可以投資于證券Ａ和證券Ｂ。投資者可以將資金全部投資于證券Ａ，獲得１４元的收益，即１４％的收益率。另一方面，投資者也可以賣空價(jià)值１０００元的證券Ｂ，購買價(jià)值１１００元的證券Ａ，則資產(chǎn)組合的期望收益為１５４元，而借入證券Ｂ的成本為８０元，因此，最初１００元的投資，可以獲得７４元（１５４－８０）的收益，即期望收益率為７４％。期望收益率從１４％增加到７４％，但是標(biāo)準(zhǔn)差也從６％增加到５７．２％，試寫出計(jì)算過程。第二頁第三頁，共65頁。含做空的資產(chǎn)組合練習(xí)題（42頁）第三頁第四頁，共65頁。最大化目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：一、允許賣空且可以無風(fēng)險(xiǎn)借貸第四頁第五頁，共65頁。練習(xí)題考慮三種證券：Ｃ公司的股票，期望收益率為10%，收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為7%；Ｓ公司的股票，平均收益率為8％，收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為6％；Ｕ公司的股票，平均收益率為18％，收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為13％。此外，假設(shè)Ｃ公司和Ｓ公司之間的相關(guān)系數(shù)為0.5，Ｃ公司和Ｕ公司之間的相關(guān)系數(shù)為0.3，Ｓ公司和Ｕ公司之間的相關(guān)系數(shù)為0.2。最后假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)借貸利率為4％。假設(shè)允許賣空且可以無風(fēng)險(xiǎn)借貸。求切點(diǎn)資產(chǎn)組合G與有效邊界。第五頁第六頁，共65頁。一、條件重述二、解方程：解題過程三、代入公式：第六頁第七頁，共65頁。第三章

投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好

與最優(yōu)資產(chǎn)組合第一節(jié)投資者的效用函數(shù)第七頁第八頁，共65頁。第一節(jié)

投資者的效用函數(shù)第八頁第九頁，共65頁。0效用U100財(cái)富W100100100000例1考慮錢對(duì)同一個(gè)人的價(jià)值。假設(shè)一個(gè)學(xué)生手頭緊張，正好有機(jī)會(huì)掙100元錢，但是所要做的是他不喜歡的工作。（1）如他經(jīng)濟(jì)情況差，他會(huì)認(rèn)為100元錢的實(shí)際價(jià)值足夠大，所要做的工作即使是不喜歡的，他仍會(huì)去干；（2）如他先有了10000元，要為100元錢去干這份讓他討厭的工作，他就很可能不干了。一、效用第九頁第十頁，共65頁。一、投資者的效用效用最大化準(zhǔn)則投資者會(huì)選擇組合Ｂ，而放棄組合Ａ。第十頁第十一頁，共65頁。0效用U100財(cái)富W100100100000（一）效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為正隨著財(cái)富增加，效用也將增加。非飽和性：二、效用函數(shù)的性質(zhì)第十一頁第十二頁，共65頁。（二）效用函數(shù)隨投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好而變化表３-２一個(gè)等價(jià)變量稱變量X為等價(jià)變量。等價(jià)變量：也稱變量y為X的確定性等價(jià)量。二、效用函數(shù)的性質(zhì)第十二頁第十三頁，共65頁。１．風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者的效用函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著投資者將拒絕一個(gè)等價(jià)變量。表３-２一個(gè)等價(jià)變量如果以U(W)表示效用函數(shù)，U″(W)表示效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著U″(W)<0?！痰谑摰谑捻摚?5頁。２．風(fēng)險(xiǎn)中性型投資者的效用函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性是指投資者不在意一個(gè)等價(jià)變量，或者說一個(gè)等價(jià)變量不影響投資者的決策。對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者而言，其效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為０表３-２一個(gè)等價(jià)變量√√第十四頁第十五頁，共65頁。３．風(fēng)險(xiǎn)偏好型投資者的效用函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)偏好是指投資者愿意選擇一個(gè)等價(jià)變量。表３-２一個(gè)等價(jià)變量√效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為正第十五頁第十六頁，共65頁。風(fēng)險(xiǎn)偏好類型總結(jié)表３-３投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度與效用函數(shù)第十六頁第十七頁，共65頁。投資者財(cái)富增加風(fēng)險(xiǎn)投資增加？固定絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡不變?cè)黾舆f減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡減少遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡（三）投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度與絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度投資者的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度第十七頁第十八頁，共65頁。（３-４）表３４絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡相對(duì)于財(cái)富的變化絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量第十八頁第十九頁，共65頁。上式對(duì)財(cái)富W

的一階導(dǎo)數(shù)是R′(W)。表３５隨財(cái)富變化的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量第十九頁第二十頁，共65頁。三、效用函數(shù)與資產(chǎn)組合選擇一般認(rèn)為，大多數(shù)投資者是屬遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。因此，最常見的投資者的效用函數(shù)應(yīng)是二次型的，即：它的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：對(duì)W的限制：第二十頁第二十一頁，共65頁。（四）投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度與相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度投資者財(cái)富增加風(fēng)險(xiǎn)投資比例增加？固定相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡不變?cè)黾舆f減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡減少遞增相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭的惡度第二十一頁第二十二頁，共65頁。在此限定條件下，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的函數(shù)式及它們的一階導(dǎo)數(shù)將為：二次型效用函數(shù)對(duì)應(yīng)的厭惡度第二十二頁第二十三頁，共65頁。二次型效用函數(shù)具有遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的性質(zhì)。二次型效用函數(shù)必然也是遞增相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡。如果投資的收益率服從正態(tài)分布（即滿足馬科維茨均值—方差分析假設(shè)條件），同時(shí)投資者效用函數(shù)為二次型，那么不論投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好程度如何，他們?cè)谫Y產(chǎn)組合的有效邊界（有效集）中總能確定一個(gè)最優(yōu)資產(chǎn)組合。二次型效用函數(shù)與均值—方差模型的關(guān)系第二十三頁第二十四頁，共65頁。第二節(jié)效用無差異曲線與最優(yōu)資產(chǎn)組合一、資產(chǎn)組合效用函數(shù)的類型二、期望效用無差異曲線三、最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇第二十四頁第二十五頁，共65頁。一、資產(chǎn)組合效用函數(shù)的類型（一）凸性效用函數(shù)投資收益率的邊際效用遞減第二十五頁第二十六頁，共65頁。一、資產(chǎn)組合效用函數(shù)的類型（二）凹性效用函數(shù)投資收益率的邊際效用遞增第二十六頁第二十七頁，共65頁。一、資產(chǎn)組合效用函數(shù)的類型（三）線性效用函數(shù)投資收益率的邊際效用不變。第二十七頁第二十八頁，共65頁。二、期望效用無差異曲線第二十八頁第二十九頁，共65頁。不同類型的無差異曲線第二十九頁第三十頁，共65頁。三、最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇分離定理一、對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的選擇二、選擇包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資產(chǎn)組合的有效邊界●三、無差異曲線將決定最優(yōu)資產(chǎn)組合的具體位置?！瘛耧L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合有效邊界包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合的有效邊界切點(diǎn)組合（市場(chǎng)組合）無差異曲線確定了具體的位置第三十頁第三十一頁，共65頁。第三節(jié)其他最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇方法一、幾何平均收益率方法二、安全第一方法第三十一頁第三十二頁，共65頁。一、幾何平均收益率方法第三十二頁第三十三頁，共65頁。（一）幾何平均收益率的計(jì)算1、一個(gè)資產(chǎn)組合的幾何平均收益率假設(shè)某個(gè)資產(chǎn)組合的收益率如下：則這個(gè)資產(chǎn)組合的幾何平均收益率定義為：當(dāng)時(shí)，第三十三頁第三十四頁，共65頁。幾何平均收益率的計(jì)算例題假設(shè)某個(gè)資產(chǎn)組合的收益率如下：解：這個(gè)資產(chǎn)組合的幾何平均收益率為：試計(jì)算其幾何平均收益率。第三十四頁第三十五頁，共65頁。（一）幾何平均收益率的計(jì)算2、多個(gè)資產(chǎn)組合P的幾何平均收益率假設(shè)第j個(gè)資產(chǎn)組合的收益率如下：則第j個(gè)資產(chǎn)組合的幾何平均收益率定義為：當(dāng)時(shí)，第三十五頁第三十六頁，共65頁。幾何平均收益率的計(jì)算例題下面舉例說明。表３—６給出了三種可能的投資——證券Ａ、證券Ｂ和證券Ｃ；每種投資都有兩種可能的結(jié)果，每種可能性相同；該組合中這三種證券比例相等。

試計(jì)算并比較各個(gè)資產(chǎn)與資產(chǎn)組合的幾何平均收益率。第三十六頁第三十七頁，共65頁。

在第一種情景下，資產(chǎn)組合收益率為：在第二種情景下，資產(chǎn)組合收益率為：資產(chǎn)組合的幾何平均收益率為：

計(jì)算資產(chǎn)組合的幾何平均收益率

第三十七頁第三十八頁，共65頁。

計(jì)算各個(gè)資產(chǎn)的幾何平均收益率資產(chǎn)組合的收益率高于任一單個(gè)證券的收益率第三十八頁第三十九頁，共65頁。（二）幾何平均收益率方法的運(yùn)用運(yùn)用幾何平均收益率法選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合，最簡單的辦法就是從各種投資方案中選擇最高幾何平均收益率的資產(chǎn)組合。幾何平均收益率方法不可能挑選一個(gè)收益率可能為負(fù)的投資組合，從而可極大程度地排除非有效組合和不適宜的有效組合。我們把這種特性稱為“有效集中”。使用幾何平均收益率方法選擇的最優(yōu)資產(chǎn)組合通常是一個(gè)分散化的組合。在收益率是正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布條件下，可以證明幾何平均收益率最大化的組合是均值—方差有效的。第三十九頁第四十頁，共65頁。二、安全第一方法（一）羅伊標(biāo)準(zhǔn)（Ｒｏｙ）（二）卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)（Ｋａｔａｏｋａ）（三）特爾瑟標(biāo)準(zhǔn)（Ｔｅｌｓｅｒ）第四十頁第四十一頁，共65頁。

（一）羅伊標(biāo)準(zhǔn)羅伊定義：最優(yōu)資產(chǎn)組合是收益率低于某一特定水平的可能性最小的組合。其中：RP表示組合收益率，

RL表示投資者可接受的最低收益率水平。羅伊的選擇標(biāo)準(zhǔn)是：（3-23）如果RL是收益率的“破產(chǎn)警戒線”，則羅伊標(biāo)準(zhǔn)就是看誰破產(chǎn)的可能性最小。第四十一頁第四十二頁，共65頁。-3-2-2368%95%99.7%正態(tài)曲線的特征資產(chǎn)組合投資收益率是正態(tài)分布的情況第四十二頁第四十三頁，共65頁。標(biāo)準(zhǔn)差=σ均值=μ1xx標(biāo)準(zhǔn)差=σ均值=μ2xx資產(chǎn)組合投資收益率是正態(tài)分布的情況RP<RL的概率遠(yuǎn)近小大··高于最低收益率水平低于最低收益率水平RP<RL的概率RL：可接受的最低收益率水平羅伊標(biāo)準(zhǔn)（極小化形式）羅伊標(biāo)準(zhǔn)（極大化形式）第四十三頁第四十四頁，共65頁。三個(gè)可行的資產(chǎn)組合中，組合Ｂ是最優(yōu)的根據(jù)羅伊標(biāo)準(zhǔn)選擇資產(chǎn)組合第四十四頁第四十五頁，共65頁。（二）卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)限制條件是收益率小于或等于下限的概率不超過預(yù)先規(guī)定的值

，即：限制條件為：例如，某個(gè)資產(chǎn)組合的收益率滿足如下條件：則0就是該資產(chǎn)組合收益率的最大化下限?？ㄌ湛?biāo)準(zhǔn)：最大化下限第四十五頁第四十六頁，共65頁。在卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)下資產(chǎn)組合的選擇假設(shè)=5%，資產(chǎn)組合A，B的最大化下限分別為：試問：在卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)下應(yīng)該選擇哪個(gè)資產(chǎn)組合？所以，在卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)下應(yīng)該選擇資產(chǎn)組合B.第四十六頁第四十七頁，共65頁。在卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)下資產(chǎn)組合的選擇5%5%所以，在卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)下應(yīng)該選擇資產(chǎn)組合B.第四十七頁第四十八頁，共65頁。標(biāo)準(zhǔn)差=σ均值=μxx正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布-3-2-10123σ=1μ=0第四十八頁第四十九頁，共65頁。正態(tài)分布的累積分布曲線第四十九頁第五十頁，共65頁。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表N-1(0.95)=N-1(0.99)=1.6+0.05=1.652.3+0.03=2.33第五十頁第五十一頁，共65頁。第五十一頁第五十二頁，共65頁。假如設(shè)定

＝0.05，限制條件變?yōu)椋阂驗(yàn)槲覀兿Ｍ襆越大越好，所以資產(chǎn)組合收益率服從正態(tài)分布的情況第五十二頁第五十三頁，共65頁?？ㄌ湛?biāo)準(zhǔn)下的最優(yōu)資產(chǎn)組合也必定在均值—標(biāo)準(zhǔn)差坐標(biāo)系中的有效邊界上?！裼行н吔绲那悬c(diǎn)卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)與均值—方差模型的關(guān)系第五十三頁第五十四頁，共65頁。（三）特爾瑟標(biāo)準(zhǔn)選擇標(biāo)準(zhǔn)是最大化期望收益率。其限制條件是收益率小于或等于預(yù)先設(shè)定的限制的概率不超過預(yù)先設(shè)定的數(shù)值。用符號(hào)表示，即：限制條件為：第五十四頁第五十五頁，共65頁。在特爾瑟標(biāo)準(zhǔn)下資產(chǎn)組合的選擇

所以，在卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)下應(yīng)該選擇資產(chǎn)組合B.

特爾瑟標(biāo)準(zhǔn)：第五十五頁第五十六頁，共65頁。可能沒有滿足限制條件的可行點(diǎn)有效集中具有最高期望收益率的可行組合卡陶卡標(biāo)準(zhǔn)與均值—方差模型的關(guān)系第五十六頁第五十七頁，共65頁。小結(jié)與習(xí)題第五十七頁第五十八頁，共65頁。幾何平均收益率的計(jì)算例題下面舉例說明。表３—６給出了三種可能的投資——證券Ａ、證券Ｂ和證券Ｃ；每種投資都有兩種可能的結(jié)果，每種可能性相同；該組合中這三種證券比例相等。

試計(jì)算并比較各個(gè)資產(chǎn)與資產(chǎn)組合的幾何平均收益率。第五十八頁第五十九頁，共65頁。

在第一種情景下，資產(chǎn)組合收益率為：在第二種情景下，資產(chǎn)組合收益率為：資產(chǎn)組