淺談矩陣的應用

淺談矩陣的應用作者摘要：矩陣是數(shù)學的重要研究工具之一，其應用很廣泛，矩陣的應用對于矩陣理論以及數(shù)學發(fā)展有著非常重要的作用。本論文主要討論了矩陣在不同領域中的應用，有非常重要的理論及現(xiàn)實意義。本研究的開展以文獻研究法為基礎，通過具體實例來將矩陣在不同領域當中的應用問題解決。主要討論的矩陣應用領域主要有經濟生活、密碼學、交通運輸、文獻管理以及在解方程組、矩陣秩、在計算機中、向量組秩領域。關鍵詞：矩陣；應用；線性方程組1引言在漢代《九章算術》當中就已經提出了矩陣的概念，但并非為獨立概念，主要是在實際的問題當中進行應用。至19世紀末，其概念逐漸形成。到了20世紀開始，矩陣迅速發(fā)展，且遍布生活的每個領域當中，隨著現(xiàn)代科學的發(fā)展，矩陣在經濟中廣泛而深入的應用是當前經濟學最為深刻的因素之一，矩陣的應用是具備重要的現(xiàn)實意義的，在不同領域當中都會有它的身影[1]。高校中的必須科目就是代數(shù)學，而矩陣的應用也是代數(shù)學的重要載體之一。因此，了解且掌握矩陣的應用，對于解決代數(shù)學等問題尤為重要。本文也將對有關矩陣應用的內容進行了解，并通過具體的例子來說明矩陣在經濟學、密碼學、交通運輸、文獻管理以及在解方程組、矩陣秩、在計算機中、向量組秩等方面的應用。2.預備知識由個數(shù)a(1,2,..j.=1.2...n)排成的行列的數(shù)表稱為行列矩陣，簡稱行矩陣。只有一行的矩陣A=aa...a)稱為行矩陣或行向量，只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量。矩陣計算的合適出發(fā)點是矩陣與矩陣的乘法。這一問題在數(shù)學上雖然簡單,但從計算_上來看卻是十分豐富的。矩陣相乘可以有好幾種不同的形式，還將引入矩陣劃分的概念，并將其用來刻畫計算上的幾種線性代數(shù)的“級”。如果一個矩陣具有某種結構，則它常?？梢约右岳?。例如一個對稱矩陣，只需要一個一般矩陣的一半空間即可儲存。在矩陣乘向量中如果矩陣有許多零元素，則可減少許多時間。矩陣計算是基于線性代數(shù)運算的，點積運算包括標量的加法和乘法。矩陣向量相乘由點積組成。（1）轉置（2）相加（3）標量和矩陣相乘（4）矩陣和矩陣相乘此類運算均為構建矩陣計算基石對任意的數(shù)。(2)逆矩陣對于階矩陣，如果有一個階矩陣，使，則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣，簡稱逆陣。如果矩陣是可逆的那么的矩陣是唯一的。的逆陣記作:1即若，則。.若矩陣可逆，則。若,則矩陣可逆，且，其中*為矩陣的伴隨陣。3矩陣的應用下面將討論矩陣在經濟學、密碼學、交通運輸、文獻管理以及在解方程組、矩陣秩、在計算機中、向量組秩方面的應用。3.1矩陣在經濟學中的應用定義：矩陣乘法屬于一種高效算法，能將一些一維遞推優(yōu)化到，還能求路徑的方案等。因此，其更屬于一種應用性非常強的算法。矩陣為線性代數(shù)當中的一個基本概念。一個的矩陣就是個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣。因為其將很多數(shù)據(jù)集中在一起，因此有時能將某些復雜模型簡單的表示。定理：設AB為屬于P上的矩陣，則：也就是矩陣乘積行列式等于其因子的行列式乘積。探究：在現(xiàn)實生活中，我們會接觸到各種各樣的量，比如，水果店賣單一品種且單一等級的水果，用數(shù)表示單價.當出售的水果包括兩種以上，例如蘋果、梨，等級也分為優(yōu)等、中等，那么如何列出價格表，標出不同品種，不同等級的水果單價呢。例1：小蘭家里開一個超市，門口兼顧出售3種水果，它們的單價和利潤如表所示：品種西瓜哈密瓜普通優(yōu)等365中等254單價向量和利潤向量構成的長方形數(shù)表為。從以上案例我們可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實經濟學中的一些數(shù)據(jù)需要矩陣表示出來，這樣有些關系例如不同品種的水果價格便于查詢、計算和管理，為此，有必要對他們進行深入探究[2]。例2：發(fā)電廠需要使用煤也需要使用電，還需要一定程度的鐵路運能。因此，系統(tǒng)當中的每一個生產部門也就是消耗部門，稱消耗系統(tǒng)內部的產品為投入，生產獲得的產品為本部門的產出。假設下表中給出的已知數(shù)據(jù)為：消耗部門生產部門煤礦電廠鐵路煤礦0.000.360.41電廠0.210.060.16鐵路0.410.160.16通過表中數(shù)據(jù)可以獲得以下矩陣：現(xiàn)設三個企業(yè)訂單分別是：煤礦訂單為40000元，電廠訂單為35000元，鐵路訂單為15000元。以下將對企業(yè)月總產出量是多少，才可以將訂單任務完成。設，，依次為三個企業(yè)的產出，那么其產出要將系統(tǒng)內部所需滿足，也要將訂單任務滿足，可以得到以下：令，，那么上述公式即是：也就是其中，是列昂節(jié)夫矩陣通過上述內容可以知道，不管外部存在任何的需求（其元是非負值），總可以獲得的解。也就是說，此種經濟系統(tǒng)是可行的。2.2矩陣在密碼學中的應用定義：二階單位矩陣：矩陣，叫做2階單位矩陣，記作。定理：如果，都是方陣，那么的行列式完全可以寫作的行列式乘以的行列式。如果矩陣是可逆矩陣，那么矩陣的逆矩陣是唯一的，記作的逆。密碼是通訊雙方的一種秘密約定，以防密碼被第三者破譯。本論文介紹一種新的編碼方式，用矩陣來編碼。密碼發(fā)送、接受的原理是：發(fā)送方把要發(fā)送的明文信息用加密矩陣加密成密文發(fā)出，接收方收到后用解密矩陣對解密，獲得明文通常，加密矩陣與解密矩陣是互逆的，即根據(jù)這一原理，矩陣成為密碼應用的有力工具。具體方法是：將要發(fā)送的明文信息幾數(shù)字化用矩陣表示，取可逆矩陣為加密密鑰，用左乘得到密文發(fā)出，收方用解密密鑰，左乘對密文解密，得到明文信息。本論文以二階矩陣為例，矩陣在密碼學中的作用[3]。二階可逆矩陣：設定一個二階方陣，若存在一個二階方陣使得，則稱是可逆的，且是的逆陣，記做。例3：已知矩陣，求。解：設，，，則，，，，得。例4：將英文字母數(shù)字化，，，···，發(fā)送方傳出的密文為16，23，24，60，加密密鑰矩陣為，試破解發(fā)送密碼。解：設，數(shù)字矩陣為發(fā)送方傳出的明文，那么，即，所以。即發(fā)送方傳出的明文為2，1，3，11，將數(shù)字英文化，其實發(fā)送者想傳遞的信息是“back”[5]。2.3矩陣在交通運輸中的應用定義：矩陣樹定理是一個計數(shù)定理，常用于解決無向聯(lián)通圖的生成樹計數(shù)問題。在交通運輸中應用矩陣需要應用樹定理：定理：若連通圖的鄰接矩陣為，將的對角線元素依次換為節(jié)點的度，其余元素取的相反數(shù)，所得矩陣記為，則的每個代數(shù)余子式相等，且等于的生成樹的數(shù)目。四個城市間的單向航線如圖1所示。如圖1四個城市間的單向航線若令1，從i市到j市有1條單向航線四個城市之間的航線連接可用矩陣表示為：A=AA2表示從i市經一次中轉到市的單向航線條數(shù)，如b42=2表示城市經過一次中轉到城市有兩條航線。類似可算出A3，A4···An，矩陣中的每個元素表示i市經兩次，三次，···次中轉到2.4矩陣在文獻管理中的應用定義：在線性代數(shù)中，列向量是一個的矩陣，即矩陣由一個含有個元素的列所組成:列向量的轉置是一個行向量，反之亦然。所有的列向量的集合形成一個向量空間，它是所有行向量集合的對偶空間。定理：假如數(shù)據(jù)庫中包括了個文件，而搜索所用的關鍵詞有個，如果關鍵詞按字母順序排列，我們就可以把數(shù)據(jù)庫表示為的矩陣。其中每個關鍵詞占矩陣的一行，每個文件用矩陣的列表示。的第列的第一個元素是一個數(shù)，它表示第一個關鍵詞出現(xiàn)的相對頻率；第二個元素表示第二個關鍵詞出現(xiàn)的相對頻率；…，依次類推。用于搜索的關鍵詞清單用空間的列向量表示。如果關鍵詞清單中第個關鍵詞在搜索列中出現(xiàn)，則的第個元素就賦值1，否則就賦值0。為了進行搜索，只要把乘以[7]。下面我們來看一個例子：假如，數(shù)據(jù)庫包含有一下書名：B1-應用線性代數(shù)，B2-初等線性代數(shù)，B3-初等線性代數(shù)及其應用，B4-線性代數(shù)，B5-線性代數(shù)應用，B6-矩陣代數(shù)及應用，B7-矩陣理論。而搜索的6個關鍵詞組成的集按以下的拼音字母次序排列；初等，代數(shù)，矩陣，理論，線性，應用因為這些關鍵詞在書名中做多出現(xiàn)1次，所以其相對頻率數(shù)不是0就是1[8]。當?shù)趥€關鍵詞出現(xiàn)在第本書名上時，元素就等于1，否則就等于0。這樣我們的數(shù)據(jù)庫矩陣就可用下表表示：關鍵詞書B1B2B3B4B5B6B7初等0110000代數(shù)1111110矩陣0000010理論0000001線性1111100應用1011110假如讀者輸入的關鍵詞是“應用，線性，代數(shù)”，則數(shù)據(jù)庫矩陣和搜索向量為：搜索結果可以表示為兩者的乘積：，于是可得的各個分量就表示各書與搜索向量匹配程度。因為，說明四本書B1，B3，B4，B5必然包含所有三個關鍵詞。這四本書就被認為具有最高的匹配度，因而在搜索的結果中會把這幾本書排在最前面[9]。本例把線性變換的概念進一步擴展，它不一定是在具體的幾何空間內進行的變量變換，在本例中是從“關鍵詞”到“文獻目錄”的變換[10]。現(xiàn)代搜索中往往包括幾百萬個文件和成千的關鍵詞，但由于矩陣和向量的稀疏性，節(jié)省計算機的存儲空間和搜索時間。2.5矩陣在解方程組方面的應用定義：在數(shù)論當中，整數(shù)矩陣是一種有重要應用的矩陣。表示元素；均為整數(shù)階矩陣。如果階整數(shù)矩陣的行列式全為1，那么稱作是幺模矩陣，一個整數(shù)矩陣存在逆整數(shù)矩陣，當且僅當此矩陣為幺模矩陣。定理：整矩陣的所有特征值為整數(shù)的充分必要條件為，其中與，是分量全部為整數(shù)的整向量且滿足證充分性。例5：求解線性方程：解：編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄1.解得原方程組的解為:.這是方程組有唯一解的情況，下面我們來看一下方程組有無窮解的情況：例6求解線性方程組解:編寫一個函數(shù)，程序及結果見附錄2.解得原方程組的通解為:2.6在矩陣秩方面的應用定義：在線性代數(shù)中，一個矩陣的列秩是的線性獨立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是的線性無關的橫行的極大數(shù)目。通俗一點說，如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數(shù)。定理：矩陣的秩等于非零子式的極大階。例6：求矩陣的秩，其中；解：法一（定義1）有4個3階子式，，，，.即它的所有3階子式均為0.我們再隨便寫幾個它的2階子式，，故的秩為2.法二（定義2）令，，.則.顯然中兩兩不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，這還需要驗證，令.則帶入數(shù)據(jù)，即有，解得，即有，也就是能被線性表出。故其秩為2.法三（定義3），最終階梯型矩陣不為0的行數(shù)是2，故其秩為2.2.7矩陣在計算機中的應用定義：變換矩陣為數(shù)學線性代數(shù)當中的概念之一。在線性代數(shù)當中，線性變換可以使用矩陣來進行表示。若為一個將映射至Rm的線性變換，并且為一個具有元素的列向量，則將的矩陣稱作是的變換矩陣。定理：如果已經有一個函數(shù)型的線性變換，那么通過對標準基每個向量進行簡單變換，然后將結果插入矩陣的列中，這樣很容易就可以確定變換矩陣。例7：在二維直角坐標系中有三角形ABC，坐標分別為（2，3），（3，1），（1，1），現(xiàn)將其向軸正方向平移2個單位，向軸正方向平移2個單位，求平移后各點對應的齊次坐標及相應的變換矩陣？解：先寫出ABC三點所對應的齊次坐標，（2，3，1），(3，1，1)，(1，1，1)平移的矩陣變換式為此處，，則變換矩陣為經上述變換后，點齊次坐標為（4，5，1）,點齊次坐標為(5，3，1),點齊次坐標為（3，3，1）?？梢钥闯鰣D形的一種變換對應著一個矩陣運算，也就是說二維圖形變換可以表示為圖形點集的齊次坐標矩陣與某一變換矩陣相乘的形式[11]。我們可以定義以下二維變換矩陣：這樣，二維空間中的某點的二維變換可以表示成點的規(guī)范化齊次坐標矩陣與三維齊次坐標變換矩陣相乘的形式，即根據(jù)在變換中的具體作用，進一步可以將分成4個子矩陣。矩陣的作用是對點進行比例、對稱、旋轉和錯切變換。矩陣的作用是對點進行平移變換。矩陣的作用是進行透視投影變換。矩陣的作用是產生整體比例變換。2.8求向量組秩方面的應用定義：向量組秩向量組的秩為線性代數(shù)的基本概念，它表示的是一個向量組的極大線性無關組所含向量的個數(shù)。定理：因為初等變換不將矩陣的秩改變，并且任意一個矩陣都能夠經過一系列的初等行變換轉化成階梯矩陣。座椅，要將一個矩陣的秩確定，在其不是階梯矩陣的時候，可先通過初等行變換將其化為階梯矩陣，之后就能夠由階梯矩陣的秩將原矩陣的秩確定。例8：已知，求解：由于存在2個非零行向量，因此，。注：若要求向量組的秩，可以將每一向量當做矩陣的列，進而轉化成為求矩陣的秩，還可以求最大線性無關組。如果求向量一個最大無關組，且將其余的向量使用最大無關組來表示。通過上述矩陣可以得到向量組的秩是2，為一個最大無關組，并且可以獲得。這里需要應用矩陣乘法定理：兩個矩陣的乘法僅當?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)和另一個矩陣B的行數(shù)相等時才能定義。例9：設有向量組（1）.（2）試問：當為何值時，向量組（1）與（2）不等價？解：作初等航變換，有當時，有由于，線性方程組無解，故向量不能由線性表示.因此向量組（1）與（2）不等價。向量組的秩與向量組的最大無關組密切相關，向量空間的基的本質就是向量空間的一個最大無關組，向量組的秩又恰好等于其構成的矩陣的秩，這使得矩陣的秩與向量空間的維數(shù)和向量空間的基相聯(lián)系[12]。因此，研究矩陣的秩、向量組的秩、向量空間的維數(shù)以及線性方程組解得理論和方法密不可分。結論在代數(shù)學領域中，矩陣式重要的工具，矩陣在生活中的經濟等不同領域中都可以發(fā)揮著重要的作用。本文在有關文獻研究的基礎上對矩陣的應用做更進一步的研究，分別從矩陣的應用以及矩陣在其他領域當中的應用展開說明，并通過例題進行分析。關于矩陣的應用部分，分別從矩陣在經濟學中、在密碼學中、在文獻管理中、在交通運輸中、在解方程組方面、在矩陣秩方面、在計算機中以及求向量組秩方面的應用進行細致的說明[15]。同時本論文的開展也將對矩陣的認識加深，對矩陣的實際應用有了更深刻的了解。通過具體例子能夠看出，矩陣的應用可以更加簡便的將復雜的問題解決，且在解題的過程當中具備邏輯性，可以說學生對于矩陣的學習是非常有必要且具有重要的現(xiàn)實意義的，同時在更多領域中的廣泛應用也是具有很好的發(fā)展前景的。

參考文獻：[1].劉秋榮.[淺談《高等代數(shù)》中的矩陣的秩].教育經驗與德育園地,2000.[2].王玉富.[矩陣秩的不同定義及其比較].湖北民族學學院報,2011