南京郵電大學-數(shù)值計算實踐報告

.IV、newton差值和hermite差值方法實驗目的掌握并能夠利用newton差值和hermite差值方法解決問題.問題描述上述函數(shù)的導數(shù)為采用三種方法中最好的方法計算這一積分<1>利用數(shù)值積分的方法給出在<可以直接計算精確值的,用精確值>,用Newton插值方法得到5個橢圓的周長<2>利用數(shù)值積分的方法給出在<可以直接計算精確值的,用精確值>,用Hermite插值方法得到5個橢圓的周長<3>選做題：利用以及導數(shù)更多的值來進行插值,插值誤差會有什么變化？<4>選做題：采用其它的插值方法改進插值的效果.算法介紹a確定,對于給定的b值都對應著一個橢圓,在本問題中用newton插值法和hermite得到的多項式代替橢圓周長公式中的進行積分,首先畫出圖像,選擇初始點.圖像的實現(xiàn)代碼見picture1.m.newton插值法迭代公式：Hermite法迭代公式：作圖時建立picture.m文件畫出和其導數(shù)圖像.〔注：此圖像為b=0.5時根據(jù)圖像,我們選取我們選取0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5為初始點.算法程序〔1建立newtondedai1.m文件.functionz=newtondedai1<f,n>symsxia=zeros<n,n>;x=[00.30.60.91.21.5];y=feval<f,x>;a<:,1>=y;fori=2:nforj=2:ia<i,j>=<a<i,j-1>-a<i-1,j-1>>/<x<1,i>-x<1,i-j+1>>;endendt=xi-x<1,1>;p=a<1,1>;fori=2:np=p+a<i,i>*t;t=t*<xi-x<1,i>>;endp=collect<vpa<p>>〔2建立hermite3.m文件.functionz=hermite3<fn,dfn,n>symsxia=zeros<2*n,2*n>;x=[0.30.60.9];xx=[0.30.30.60.60.90.9];y=feval<fn,x>;yy=feval<dfn,x>;fori=1:nz<1,2*i>=x<1,i>;z<1,2*i-1>=x<1,i>;a<2*i,1>=y<1,i>;a<2*i-1,1>=y<1,i>;a<2*i,2>=yy<1,i>;endfori=1:nif2*i<6a<2*i+1,2>=<a<2*i+1,1>-a<2*i,1>>/<z<1,2*i+1>-z<1,2*i>>;endendfori=3:<2*n>forj=3:ia<i,j>=<a<i,j-1>-a<i-1,j-1>>/<z<1,i>-z<1,i-j+1>>;endendp=a<1,1>;t=xi-xx<1,1>;fori=2:2*np=a<i,i>*t+p;t=t*<xi-xx<1,i>>;endp=vpa<collect<p>>%p=vpa<collect<p>,8>實驗結果問題〔1newton插值法,首先得到當a=1,b=0.5時用newton插值得到的多項式逼近橢圓周長表達式.執(zhí)行下列語句其中p所表示的多項式就是newton插值方法得到的多項式.若保留3位小數(shù),既接下來將得到的p多項式,調(diào)用復化梯形公式和復化simpson公式.說明即對newton插值法在〔0,2pi上積分得到橢圓周長為4.8440和4.8436.問題〔2hermite插值法首先得到當a=1,b=0.5時用hermite插值得到的多項式逼近橢圓周長表達式.其中p所表示的多項式就是hermite插值方法得到的多項式.接下來將得到的p多項式,調(diào)用復化梯形公式和復化simpson公式.即對hermite插值法在〔0,2pi上調(diào)用復化梯形公式和復化simpson公式積分得到橢圓周長為4.8512和4.8500.改變短軸b的值,運行上述程序,由于運行過程中語句完全相同,在此處不再詳細執(zhí)行語句,只將它們得到的結果寫出.調(diào)用復化梯形公式和復化simpson公式積分得到橢圓周長.Newton插值b=0b=0.2b=0.5b=0.7b=0.8復化梯形公式求周長3.98724.20324.84395.38245.6724復化simpson公式求周長4.00004.20644.84375.38205.6724Hermite法b=0b=0.2b=0.5b=0.7b=0.8復化梯形公式求周長3.98764.10764.85115.39365.6676復化simpson公式求周長4.00044.12164.85015.39245.6768問題〔3newton插值選擇6個初始點〔0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5時〔即用一個最高次為5的多項式逼近函數(shù)時,在b=0.5時有下表比較復化梯形公式復化simpson公式精確值4.84444.8444Newton插值4.84394.8437誤差〔絕對值0.00050.0007選擇8個初始點〔0,0.15,0.3,0.6,0.75,0.9,1.2,1.5時〔即用一個最高次為7的多項式逼近函數(shù)時,在b=0.5時有下表比較復化梯形公式復化simpson公式精確值4.84444.8444Newton插值4.84484.8444誤差〔絕對值0.00040.0000對于hermite法選擇3個初始點〔0.3,0.6,0.9時〔即用一個最高次為5的多項式逼近函數(shù)時,在b=0.5時有下表比較復化梯形公式復化simpson公式精確值4.84444.8444Newton插值4.85114.8501誤差〔絕對值0.0670.0057當選擇4個初始點〔0.3,0.6,0.9,1.2時〔即用一個最高次為7的多項式逼近函數(shù)時,在b=0.5時有下表比較復化梯形公式復化simpson公式精確值4.84444.8444Newton插值4.84644.8460誤差〔絕對值0.00200.0016六、結果分析Newton插值和hermite得到的多項式經(jīng)復化梯形公式,復化simpson公式積分后,所得結果與直接利