大學物理伯努利方程及其應用

§2.3伯努利方程及其應用伯努利方程給出了作定常流動的理想流體中任意兩點或截面上、及高度之間的關系。一、伯努利方程的推導如圖，取一細流管，經過短暫時間△t，截面S1從位置a移到b，截面S2從位置c移到d，S2cS1av1v2ΔtΔtbd流過兩截面的體積分別為由連續(xù)性原理得在b到ｃ一段中運動狀態(tài)未變，流體經過△t時間動能變化量：編輯課件流體經過△t時間勢能變化量：△t時間內外力對該段流體做功：由功能原理

：或即上式即為伯努利方程的數(shù)學表達式。S1S2ΔtΔtP1P2h1h2編輯課件二、伯努利方程的意義〔1〕伯努利方程的實質是功能原理在流體力學中的應用表示單位體積流體流過細流管外壓力所做的功；表示單位體積流體流過細流管重力所做的功；表示單位體積流體流過細流管后動能的變化量；〔2〕伯努利方程應用于流體靜力學即為連通器原理：〔3〕注意統(tǒng)一單位，為國際單位。適用于理想流體的定常流動?！?〕P、h、v均為可測量，他們是對同一流管而言的?！?〕它是流體力學中的根本關系式，反映各截面處，P、h、v之間的關系。編輯課件如下圖，且SB＜＜SA，以A、B兩點為參考點，由選取hB處為參考點，其hB=0,hA=h得三、伯努利方程的應用

小孔流速由伯努利方程：0?=BABAvSSv可知，因PA=P0

PB=P0所以即流體從小孔流出的速度與流體質量元由液面處自由下落到小孔處的流速大小相等。SASB---托里拆利公式編輯課件左圖是利用虹吸管從水庫引水的示意圖。虹吸管粗細均勻，選取A、C作為參考點。虹吸管水庫表面遠大于虹吸管截面，由連續(xù)性原理可知，所以此例實質為小孔流速問題如果hA－h(huán)B＜0，管內流速沒有意義。如果管口比水庫面高，在沒有外界幫助下這種定常流動是不可能實現(xiàn)的。噴霧原理因SA很小，vA增大使PA小于大氣壓，容器內流體上升到A處，被高速氣流吹散成霧，這種現(xiàn)象又稱為空吸現(xiàn)象。ACBhAhBhc編輯課件由伯努利方程從U形管中左右兩邊液面高度差可知為U形管中液體密度，為流體密度。皮托管

由上兩式得較適合于測定氣體的流速。常用如圖示形式的皮托管測液體的流速hhABAB編輯課件〔測量管道中液體體積流量〕如左圖所示。當理想流體在管道中作定常流動時，由伯努利方程文丘里流量計

由連續(xù)性原理又管道中的流速hSASB編輯課件∵d1∶d2=2∶1∴S1∶S2=4∶1且v1=1m?s-1

例求解.一水平收縮管，粗、細處管道的直徑比為2∶1，粗管內水的流速為1m?s-1,細管處水的流速以及粗、細管內水的壓強差。得v2=4v1=4m?s-1又由由S1v1=S2v2

得編輯課件水從圖示的水平管道1中流入，并通過支管2和3流入管4。如管1中的流量為900cm3?s-1.管1、2、3的截面積均為15cm2,管4的截面積為10cm2,假設水在管內作穩(wěn)恒流動，例求解〔1〕管2、3、4的流量;〔2〕管2、3、4的流速;〔3〕管1、4中的壓強差.1234v1v2v3v4(1)由連續(xù)性原理知

Q4=Q1=900cm3?s-1(3)v1=Q1∕S1=900∕15=60cm?s-1由伯努利方程

∵S2=S3

Q2+Q3=Q1∴Q2=Q3=450cm3?s-1(2)v2=v3=Q2∕S2=450∕15=30cm?s-1v4=Q4∕S4=900∕10=90cm?s-1得編輯課件水管里的水在壓強

P=4.0×105Pa

作用下流入室內，水管的內直徑為2.0cm

，管內水的流速為4.0m·s-1。引入5.0m

高處二層樓浴室的水管，內直徑為1.0cm

。當水龍頭關閉時，，由伯努利方程即=3.5×105Pa

S1v1s2v2h2例求解浴室水龍頭關閉以及完全翻開時浴室水管內的壓強。當水龍頭完全翻開后，=2.3×105Pa

即由伯努利方程：翻開水龍頭，管口處的壓強減小，這是水的流動導致的結果。由連續(xù)性方程：S1v1=S2v2編輯課件例求解a、b、c、d

各處壓強及流速。h1h2abcd如圖所示為一虹吸裝置，h1

和h2

及流體密度

已知，由題意可知，va

=0,pa

=pd

=p0選d點所在平面為參考平面，對a、d兩點應用伯努力方程，有解得因b、c、d各點處于截面積相同的同一流管中，所以由連續(xù)性原理，有：對于a、b

兩點，有對于a、c

兩點，有得：，編輯課件馬格努斯效應vω編輯課件機翼的升力編輯課件伯努利人物簡介丹尼爾·伯努利〔1700~1782〕，1700年1月29日生于尼德蘭的格羅寧根。他自幼興趣廣泛、先后就讀于尼塞爾大學、斯特拉斯堡大學和海德