層次分析法在城市購房決策中的應(yīng)用

層次分析法的應(yīng)用及MATLAB實現(xiàn)沈小欣指導(dǎo)老師：陳俊前言隨著經(jīng)濟的開展，收入水平的提高，消費者對商品房的要求也在增加。目前多數(shù)消費者購房時考慮的因素有居住環(huán)境、孩子的教育環(huán)境、地理位置和房價等等。由于涉及金額較大，購房需慎之又慎，以免花錢買懊悔。針對消費者的需求，房地產(chǎn)開發(fā)商也在不斷地推出新的樓盤。這些樓盤往往各有各的特點，這使得消費者經(jīng)常因選房而筋疲力盡，生怕?lián)炝酥ヂ閬G了西瓜。究其原因，主要是考慮的因素太多，這就使得購房者難以做出孰優(yōu)孰劣的判斷。但是，所有的購房者都想買到物美價廉的房子，這是總目標，如果我們能夠?qū)溥x房源“物美價廉〞的程度進行量化，就能通過簡單的數(shù)值比擬做出決策，已到達最大的滿意度。在該文中我們運用運籌學(xué)中的層次分析法就能輕松解決這一決策難題。1、層次分析法概述1.1簡介[1]層次分析法〔AnalyticHierarchyProcess簡稱AHP〕是美國運籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂于20世紀70年代在為美國國防部研究"根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的奉獻大小而進行電力分配"課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標綜合評價方法，提出的一種實用的定性和定量相結(jié)合的多準那么決策方法。它是把復(fù)雜的決策按照目標層、準那么層、子準那么層、方案層的順序表示為一個有序的遞階層次結(jié)構(gòu)，通過人們的比擬判斷，計算各種決策方案在不同準那么及總目標之下的相對重要性權(quán)重，從而把難以量化的各種方案定量化，以得到各種方案的相對優(yōu)劣的排序值，并據(jù)此做出最后的決策。1.2層次分析法的根本步驟[2][3]建立層次結(jié)構(gòu)模型根據(jù)問題的性質(zhì)和要求，提出一個總目標。將目標逐層分解為幾個層次，一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中間是準那么層或指標層。構(gòu)造成比照擬矩陣設(shè)某層有個因素，，要比擬它們對上一層某一準那么(或目標)的影響程度，確定在該層中相對于某一準那么所占的比重。上述比擬是兩兩因素之間的比擬，比擬時取尺度。用表示第個因素相對于第個因素的比擬結(jié)果，那么，稱為成比照擬矩陣。比擬尺度：(尺度的含義)尺度 含義1第個因素與第個因素的影響相同3第個因素比第個因素的影響稍強5第個因素比第個因素的影響強7第個因素比第個因素的影響明顯強9第個因素比第個因素的影響絕對強第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間1,1/2,……,1/9第個因素與第個因素之比為的相反數(shù)由上述定義知，成比照擬矩陣滿足以下性質(zhì)：也稱為正互反矩陣。補充說明：假設(shè)該成比照擬矩滿足，那么稱為一致性矩陣，一致性矩陣有如下性質(zhì)：的秩為1，的唯一非零特征根為；的任一列向量都是對應(yīng)于特征根的特征向量。層次單排序及一致性檢驗針對某一準那么，計算各方案的相對權(quán)重，即層次單排序，并進行一致性檢驗。首先對每個成比照擬矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并對其所求得的特征向量做歸一化，最后利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。定義一致性指標：其中為最大特征根，為矩陣階數(shù)。隨機一致性指標的數(shù)據(jù)如下：n1234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51一般地，當(dāng)一致性比率時，檢驗通過，特征向量〔歸一化后〕即為權(quán)向量；假設(shè)不通過，需要重新構(gòu)造成比照擬矩陣。對每一層都如上述過程構(gòu)造成比照擬矩陣，并進行一致性檢驗。補充說明做一致性檢驗的原因：上文我們介紹了一致性矩陣的特性，由于它的任一列向量都是對應(yīng)于特征根的特征向量，所以以其歸一化特征向量作為權(quán)向量是非常適宜的，但是遺憾的是不是每一個成比照擬矩陣都是一致性矩陣，但假設(shè)在不一致的容許范圍內(nèi)，薩蒂教授建議用如上的方法來得出權(quán)向量，因為的特征根和特征向量連續(xù)地依賴于矩陣的元素，所以當(dāng)矩陣的元素離一致性的要求不是很遠時，的特征根和特征向量也與一致陣的相差不大。由于也不是所有的成比照擬矩陣都在不一致的容許范圍內(nèi)，所以我們制定了一致性檢驗的過程。層次總排序及其一致性檢驗即為確定某層所有因素對于總目標相對重要性的權(quán)重的過程。最底層相對于最高層的權(quán)向量的計算公式為〔設(shè)共有s層〕，其中表示第2層對第1層的成比照擬矩陣,表示第層對第層各個元素所確定的權(quán)向量按列排成的矩陣。例如，第2層有4個元素,那么第2層對第1層的權(quán)向量可以表示為一個4維列向量，設(shè)為。第3層有6個元素,對應(yīng)第2層的每個元素可以確定出相應(yīng)的6維權(quán)向量,共有4個權(quán)向量〔都為列向量〕，設(shè)為，這4個列向量組成一個矩陣設(shè)為,即用這個矩陣乘以第2層相對于第1層的權(quán)向量,就可以得到第3層相對于第1層的組合權(quán)向量，設(shè)為，即。計算出了組合權(quán)向量,還需進行組合一致性檢驗,才能確定該評價是否可信。第2層對第1層的上文中已可以得到。假設(shè)第-1層有個元素，設(shè)第層對第-1層的第個元素的成比照擬矩陣的一致性指標為,隨機一致性指標為，那么第層的組合一致性比率的計算公式如下：逐層進行組合一致性進行檢驗,假設(shè)，那么認為第層通過組合一致性檢驗,評價可被接受，如果不能到達一致性,就需調(diào)整評價矩陣。假設(shè)共有層，那么定義最底層對第1層的組合一致性比率為,僅當(dāng)適當(dāng)小時,才可認為整個層次的比擬判斷通過一致性檢驗。2、層次分析法在城市購房決策中的具體應(yīng)用2.1簡化模型本文具體研究南京的購房選擇地問題，為了簡化模型，我們做如下規(guī)定：1本文的模型及程序在用于研究南京的購房選擇地問題上，作出判斷的最小單位為南京的“區(qū)〞。2上一項的規(guī)定中“區(qū)〞，即層次結(jié)構(gòu)模型中方案層的元素如下：鼓樓、玄武、下關(guān)、白下、秦淮、建鄴、江寧這七個區(qū)，分別設(shè)為，其他區(qū)不予考慮。3本文只考慮購置新房，不考慮二手房等等。4層次結(jié)構(gòu)模型中準那么層的元素如下：居住環(huán)境〔設(shè)為〕,教育環(huán)境(〔設(shè)為〕,地理環(huán)境〔設(shè)為〕，房價〔設(shè)為〕。5本文取如下3種購房人群做分析對象：第一類，剛工作幾年的大學(xué)生畢業(yè)生，設(shè)為；這一類人群沒有充裕的資金，由于處在事業(yè)的打拼期，所以一切了工作的方便而買房，他們買房的要求為：交通方便，價錢廉價。第二類，事業(yè)有成的中年夫婦，設(shè)為；這一類人群有充裕的資金，他們已經(jīng)有了好的事業(yè)根底，所以重心放在孩子身上，所以他們買房的要求為：地點位于好學(xué)校的學(xué)區(qū)，在此根底上最好能有一個好的居住環(huán)境和便利的交通。第三類，老年夫婦，設(shè)為；這一類人群相比第一類在資金上的情況要好一點，但他們的重心在于要有一個好的居住環(huán)境，在此根底上最好能有便利的交通，以方便他們的出行。2.2建立模型建立層次結(jié)構(gòu)模型根據(jù)2.1的規(guī)定我們可以建立層次分析結(jié)構(gòu)模型如下列圖：方案層方案層選擇適宜的買房點居住環(huán)境地理位置房價教育環(huán)境鼓樓區(qū)玄武區(qū)下關(guān)區(qū)白下區(qū)秦淮區(qū)建鄴區(qū)江寧區(qū)準那么層目標層構(gòu)造成比照擬矩陣針對三種人群，準那么層對目標層的成比照擬矩陣不同，分別為如下三種情況：〔1〕針對,，購置單身公寓時，四個準那么層的重要性排序大致為，我們設(shè)此時的模型中準那么層對目標層的成比照擬矩陣為,那么按照比擬尺度可得：〔2〕針對，買房時，四個準那么層的重要性排序大致為，我們設(shè)此時的模型中準那么層對目標層的成比照擬矩陣為,那么按照比擬尺度可得：〔3〕針對，購置養(yǎng)老住房時，四個準那么層的重要性排序大致為，我們設(shè)此時的模型中準那么層對目標層的成比照擬矩陣為,那么按照比擬尺度可得：而方案層對準那么層的成比照擬矩陣與買房對象無關(guān)，設(shè)方案層對準那么層的因素的成比照擬矩陣為,那么根據(jù)實際情況，可得四個成比照擬矩陣如下：層次單排序，并進行一致性檢驗。層次總排序，并進行組合一致性檢驗。補充說明：根據(jù)附件中MATLAB有關(guān)該模型的程序設(shè)計可以利用計算機操作3和4的相關(guān)步驟，得出最終的可信的權(quán)向量，即分別針對三種人群的最優(yōu)選擇：〔1〕針對，得出的組合權(quán)向量為：，所以最正確選擇為方案7，即江寧區(qū)。〔2〕針對，得出的組合權(quán)向量為：，所以最正確選擇為方案1，即鼓樓區(qū)?！?〕針對，得出的組合權(quán)向量為：所以最正確選擇為方案7，即江寧區(qū)。3、結(jié)語對于一個普通消費者來說，買房可能是其一生中最大的一筆投資。但是由于對房子的要求較多，而且這些要求無法量化，消費者很難做出準確的判斷，只能根據(jù)開發(fā)商的描述和房源周圍環(huán)境感性購房。這種情況下房子質(zhì)量往往得不到保證。本文就南京消費者購房選擇哪個區(qū)的這一具體問題，詳細描述了采用層次分析法解決多目標決策問題的方法及步驟，把定性分析和定量計算結(jié)合起來，有效地克服了主觀臆斷性，做到了選擇的科學(xué)性和合理性。其最大的特點就是簡單易懂，容易掌握，是消費者科學(xué)購房的一種實用方法。當(dāng)然層次分析分析法在解決這類問題時也有它的缺乏之處：1它只能從原有方案中選優(yōu)，不能生成新方案；2它的比擬、判斷、直到結(jié)果都是粗糙的，不適于精度要求很高的問題；3從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成比照擬矩陣，人的主觀因素的作用很大，這就使得決策結(jié)果可能難以為眾人接受。當(dāng)然，采取專家群體判斷的方法是克服這一缺點的一種途徑。參考文獻[1]張麗杰,駱素君,柴樹峰.層次分析法在區(qū)域物流中心選址中的應(yīng)用[J].物流科技.2023,1002-3100(05):47-49.[2]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)建?！驳谌妗砙M].北京：高等教育出版社,2003，224-243.[3]董守貴.基于MATLAB的層次分析法實現(xiàn)[J].焊工兵器.2003(04):16-18.[4]張志勇，楊祖櫻.MATLAB教程[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2023，228-237.[5]魏布龍.層次分析法〔AHP〕程序的設(shè)計[J].計算機農(nóng)業(yè)應(yīng)用.1994(03):18-21.致謝非常感謝我的指導(dǎo)導(dǎo)師陳俊老師，他在論文的寫作過程中始終對我嚴格要求,從選題、定題開始,一直到最后論文的反復(fù)修改、潤色,陳老師始終認真負責(zé)地給予我深刻而細致地指導(dǎo),幫助我開拓研究思路,精心點撥、熱忱鼓勵.正是陳老師的無私幫助與熱忱鼓勵,我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成,謝謝陳老師.附錄：MATLAB有關(guān)該模型的程序設(shè)計如下[4][5]：functionAHP()disp('PleaseInputA:');A=input('A=');[m,n]=size(A);ifm~=nreturn;endWpj1=ones(m,1);Wgy1=ones(m,1);C1=ones(m,1);a=1;fori=1:mforj=1:ma=a*A(i,j);endWpj1(i)=power(a,1/m);a=1;ends=sum(Wpj1);fori=1:mWgy1(i)=Wpj1(i)/s;endC1=A*Wgy1;LANDAmax=0;W1=Wgy1;fori=1:mLANDAmax=LANDAmax+C1(i)/(m*W1(i));endCI1=(LANDAmax-m)/(m-1);RIn=[000.580.901.121.241.321.411.45];RI1=RIn(m);Judge1=CI1/RI1;disp('W1=');disp(W1);disp('CI=');disp(CI1);disp('RI=');disp(RI1);disp('Judge1=');disp(Judge1);ifJudge1<0.1disp('判斷矩陣滿足一致性檢驗要求');elsedisp('判斷矩陣錯誤，不滿足一致性檢驗要求');endW2=ones(100,m);CI2=ones(1,m);RI2=ones(1,m);Judge2=ones(1,m);fori=1:mdisp('pleaseInputB:');B=input('B=');[n,k]=size(B);ifn~=kreturn;endifi==1W2(n+1:100,:)=[];endWpj2=ones(n,1);Wgy2=ones(n,1);C2=ones(n,1);b=1;forj=1:nfork=1:nb=b*B(j,k);endWpj2(j)=power(b,1/n);b=1;ends=sum(Wpj2);forj=1:nWgy2(j)=Wpj2(j)/s;endC2=B*Wgy2;LANDBmax=0;forj=1:nLANDBmax=LANDBmax+C2(j)/(n*Wgy2(j));endCI2(i)=(LANDBmax-n)/(n-1);RIn=[000.580.901.121.241.321.411.45];RI2(i)=RIn(n);Judge2(i)=CI2(i)