第四章多目標規(guī)劃(運籌學上海電力學院)

第四章多目的規(guī)劃同時思索多個決策目的時，稱為多目的規(guī)劃問題。4-0引言從線性規(guī)劃問題可看出：線性規(guī)劃只研討在滿足一定條件下，單一目的函數(shù)獲得最優(yōu)解，而在企業(yè)管理中，經常遇到多目的決策問題，如擬訂消費方案時，不僅思索總產值，同時要思索利潤，產質量量和設備利用率等。這些目的之間的重要程度〔即優(yōu)先順序〕也不一樣，有些目的之間往往相互發(fā)生矛盾。線性規(guī)劃努力于某個目的函數(shù)的最優(yōu)解，這個最優(yōu)解假設是超越了實踐的需求，很能夠是以過分地耗費了約束條件中的某些資源作為代價。線性規(guī)劃把各個約束條件的重要性都不分主次地等同對待，這也不符合實踐情況。求解線性規(guī)劃問題，首先要求約束條件必需相容，假設約束條件中，由于人力，設備等資源條件的限制，使約束條件之間出現(xiàn)了矛盾，就得不到問題的可行解，但消費還得繼續(xù)進展，這將給人們進一步運用線性規(guī)劃方法帶來困難。為了彌補線性規(guī)劃問題的局限性，處理有限資源和方案目的之間的矛盾，在線性規(guī)劃根底上，建立目的規(guī)劃方法，從而使一些線性規(guī)劃無法處理的問題得到稱心的解答。4-1多目的規(guī)劃問題多目的規(guī)劃問題的提出在實踐問題中，能夠會同時思索幾個方面都到達最優(yōu)：產量最高，本錢最低，質量最好，利潤最大，環(huán)境達標，運輸滿足等。多目的規(guī)劃能更好地兼顧統(tǒng)籌處置多種目的的關系，求得更切合實踐要求的解。目的規(guī)劃可根據實踐情況，分主次地、輕重緩急地思索問題。例4-1：一個企業(yè)需求同一種原資料消費甲乙兩種產品，它們的單位產品所需求的原資料的數(shù)量及所耗費的加工時間各不一樣，從而獲得的利潤也不一樣〔如下表〕。那么，該企業(yè)應如何安排消費方案，才干使獲得的利潤到達最大？如何安排消費，使利潤到達最大。用單純形法求得最優(yōu)解=〔20，20〕最優(yōu)值=200〔百元〕問題：該廠提出如下目的〔1〕利潤到達280百元；〔2〕鋼材不超越100噸，工時不超越120小時；如何安排消費？例4-2：某車間有A、B兩條設備一樣的消費線，它們消費同一種產品。A消費線每小時可制造2件產品，B消費線每小時可制造1.5件產品。假設每周正常任務時數(shù)為45小時，要求制定完成以下目的的消費方案：〔1〕消費量到達210件/周；〔2〕A消費線加班時間限制在15小時內；〔3〕充分利用工時目的，并依A、B產量的比例確定重要性。例4-3：某電器公司運營的唱機和錄音機均有車間A、B流水作業(yè)組裝。數(shù)據見下表。要求按以下目的制定月消費方案：〔1〕庫存費用不超越4600元；〔2〕每月銷售唱機不少于80臺；〔3〕不使A、B車間停工〔權數(shù)由消費費用確定〕；〔4〕A車間加班時間限制在20小時內；〔5〕每月銷售錄音機為100臺；〔6〕兩車間加班時數(shù)總和要盡能夠小〔權數(shù)由消費費用確定〕；多目的優(yōu)先級先將目的等級化：將目的按重要性的程度不同依次分成一級目的、二級目的…..。最次要的目的放在次要的等級中。目的優(yōu)先級作如下商定：對同一個目的而言，假設有幾個決策方案都能使其到達，可以為這些方案就這個目的而言都是最優(yōu)方案；假設達不到，那么與目的差距越小的越好。目的優(yōu)先級作如下商定：不同級別的目的的重要性是不可比的。即較高級別的目的沒有到達的損失，任何較低級別的目的上的收獲都不可彌補。所以在判別最優(yōu)方案時，首先從較高級別的目的到達的程度來決策，然后再其次級目的的判別。目的優(yōu)先級作如下商定：同一級別的目的可以是多個。各自之間的重要程度可用數(shù)量〔權數(shù)〕來描畫。因此，同一級別的目的的其中一個的損失，可有其他目的的適當收獲來彌補。多目的規(guī)劃解的概念：假設多目的規(guī)劃問題的解能使一切的目的都到達，就稱該解為多目的規(guī)劃的最優(yōu)解；多目的規(guī)劃解的概念：假設多目的規(guī)劃問題的解能使一切的目的都到達，就稱該解為多目的規(guī)劃的最優(yōu)解；假設解只能滿足部分目的，就稱該解為多目的規(guī)劃的次優(yōu)解；多目的規(guī)劃解的概念：假設多目的規(guī)劃問題的解能使一切的目的都到達，就稱該解為多目的規(guī)劃的最優(yōu)解；假設解只能滿足部分目的，就稱該解為多目的規(guī)劃的次優(yōu)解；假設找不到滿足任何一個目的的解，就稱該問題為無解。例4-4：〔例4-1〕一個企業(yè)需求同一種原資料消費甲乙兩種產品，它們的單位產品所需求的原資料的數(shù)量及所耗費的加工時間各不一樣，從而獲得的利潤也不一樣〔如下表〕。那么，該企業(yè)應如何安排消費方案，才干使獲得的利潤到達最大？如何安排消費，使利潤到達最大。前面曾經求得最優(yōu)解=〔20，20〕最優(yōu)值=200〔百元〕問題：該廠提出如下目的〔1〕利潤到達280百元；〔2〕鋼材不超越100噸，工時不超越120小時；如何安排消費？對例4-1的問題，設超越一噸鋼材與超越5個工時的損失一樣。現(xiàn)有四個方案進展比較優(yōu)劣？目的：〔1〕利潤到達280百元；〔2〕鋼材不超越100噸，工時不超越120小時；對于〔1〕，只需方案4沒有完成。排除方案4。對于〔2〕，只需方案2到達了，因此方案2是最優(yōu)。目的：〔1〕利潤到達280百元；〔2〕鋼材不超越100噸，工時不超越120小時；方案1與方案3都到達了〔1〕，又沒到達〔2〕方案1與〔2〕的差距：工時損失=〔110-100〕*5+〔130-120〕*1=60方案3與〔2〕的差距：工時損失=0*5+〔190-120〕*1=70方案1優(yōu)于方案3。方案2優(yōu)于方案1優(yōu)于方案3優(yōu)于方案4例4-4：繼續(xù)上例目的：〔1〕利潤到達280百元；〔2〕鋼材不超越100噸，工時不超越120小時；對于〔1〕，三個方案都沒有完成。但方案3離目的最遠，方案3最差。方案1與〔2〕的差距：工時損失=〔108-100〕*5+〔130-120〕*1=50方案2與〔2〕的差距：工時損失=0*5+〔160-120〕*1=40方案2優(yōu)于方案1方案2優(yōu)于方案1優(yōu)于方案34-2多目的規(guī)劃問題的數(shù)學模型多目的的處置為了將不同級別的目的的重要性用數(shù)量表示，引進P1，P2，….,用它表示一級目的，二級目的，….，的重要程度，規(guī)定P1>P2>P3>….。稱P1，P2，….,為級別系數(shù)。約束方程的處置差別變量：決策變量x超越目的值b的部分記d+決策變量x缺乏目的值b的部分記d-d+0,d-0且x-d++d-=b多目的的綜合假設決策目的中規(guī)定xb,當d+=0時目的才算到達。多目的的綜合假設決策目的中規(guī)定xb,當y+=0時目的才算到達。假設決策目的中規(guī)定xb,當d-=0時目的才算到達。多目的的綜合假設決策目的中規(guī)定xb,當y+=0時目的才算到達。假設決策目的中規(guī)定xb,當y-=0時目的才算到達。假設決策目的中規(guī)定x=b,當d+=d-=0時目的才算到達。例4-5〔例4-4)解：引進級別系數(shù)P1：〔1〕利潤到達280百元；P2：〔2〕鋼材不超越100噸，工時不超越120小時；〔權數(shù)之比5：1〕數(shù)學模型：目的函數(shù)：MinS=P1d1-+P2(5d2++d3+)約束方程：6X1+4X2+d1--d1+=2802X1+3X2+d2--d2+=1004X1+2X2+d3--d3+=120X1,X2,di-,di+0(i=1,2,3)例4-6〔例4-2)某車間有A、B兩條設備一樣的消費線，它們消費同一種產品。A消費線每小時可制造2件產品，B消費線每小時可制造1.5件產品。假設每周正常任務時數(shù)為45小時，要求制定完成以下目的的消費方案：〔1〕消費量到達210件/周；〔2〕A消費線加班時間限制在15小時內；〔3〕充分利用工時目的，并依A、B產量的比例確定重要性。解：設A，B消費線每周任務時間為X1，X2。A，B的產量比例2：1.5=4:3目的函數(shù)：MinS=P1d1-+P2d2++4P3d3-+3P3d4-約束方程：2X1+1.5X2+d1--d1+=210〔消費量到達210件/周〕X1+d2--d2+=60〔A消費線加班時間限制在15小時內〕

X1+d3--d3+=45〔充分利用A的工時目的〕X2+d4--d4+=45〔充分利用B的工時目的〕X1,X2,di-,di+0(i=1,2,3,4)A，B的產量比例2：1.5=4:3目的函數(shù)：MinS=P1d1-+P2d2++4P3d3-+3P3d4-約束方程：2X1+1.5X2+d1--d1+=210X1+d2--d2+=60X1+d3--d3+=45X2+d4--d4+=45X1,X2,di-,di+0(i=1,2,3,4)例4-7(例4-3)：(1)庫存費用不超越4600元；(2)每月銷售唱機不少于80臺；(3)不使A、B車間停工〔權數(shù)由消費費用確定〕；(4)A車間加班時間限制在20小時內；〔5〕每月銷售錄音機為100臺；〔6〕兩車間加班時數(shù)總和要盡能夠小〔權數(shù)由消費費用確定〕；解：設每月消費唱機、錄音機X1，X2臺。且A、B的消費費用之比為100：50=2：1目的函數(shù)：MinS=P1d1++P2d2-+2P3d4-+P3d5-+P4d41++P5d3-+P5d3++2P6d4++P6d5+約束方程：50X1+30X2+d1--d1+=4600〔庫存費用不超越4600元〕X1+d2--d2+=80〔每月銷售唱機不少于80臺〕X2+d3--d3+=100〔每月銷售錄音機為100臺〕2X1+X2+d4--d4+=180〔不使A車間停工〕X1+3X2+d5--d5+=200〔不使B車間停工〕d4++d41--d41+=20〔A車間加班時間限制在20小時內〕X1,X2,di-,di+,d41-,d41+0(i=1,2,3,4,5)目的函數(shù)：MinS=P1d1++P2d2-+2P3d4-+P3d5-+P4d41++P5d3-+P5d3++2P6d4++P6d5+約束方程：50X1+30X2+d1--d1+=4600X1+d2--d2+=80X2+d3--d3+=1002X1+X2+d4--d4+=180X1+3X2+d5--d5+=200d4++d41--d41+=20X1,X2,di-,di+,d41-,d41+0(i=1,2,3,4,5)4-3多目的規(guī)劃問題的求解多目的規(guī)劃問題的圖解法例4-8MinS=d1+X1+2X2+d1--d1+=10X1+2X26X1+X24X1,X2,d1-,d1+0x1x204681021342X1+2X26x1x204681021342X1+X24x1x204681021342x1x204681021342x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)當MinS=d1+到達時d1+=0x1x204681021342x1+2x2=105d1-AB(2,2)當MinS=d1+到達時d1+=0x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=25d1-AB(2,2)當MinS=d1+到達時d1+=0x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=45d1-AB(2,2)有無窮多解：點〔0，3〕和點〔2，2〕連線上的點都是最優(yōu)解。(0,3)x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=65d1-AB(2,2)有無窮多解：點〔4，0〕和點〔0，2〕連線上的點都是最優(yōu)解。(0,3)(4,0)(0,2)x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=75d1-AB(2,2)有無窮多解：點〔1，1〕和點〔0，3/2〕〔3，0〕連線上的點都是最優(yōu)解。(0,3)(4,0)(1,1)例4-9MinS=P1d1-+P2d2++5P3d3-+P3d1+X1+X2+d1--d1+=40X1+X2+d2--d2+=50X1+d3-=30X2+d4-=30X1,X2,dI-,dI+0(I=1,2,3,4)x1x2020304050101030402050d1-d1+X1+X2=40x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-X1+X2=50x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-X1=30x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-d4-X2=30x1x2020304050101030402050d1+d2+d2-d3-d4-Mind1-=0可行域如圖x1x2020304050101030402050d1+d2-d3-d4-Mind2+=0可行域如圖x1x2020304050101030402050d1+d2-d4-Mind3-=0線段AB是可行域ABx1x2020304050101030402050d2-d4-Mind1+=0P=(30,10)獨一最優(yōu)解。d2-=10d4-=20P例4-10MinS=P1d1-+P2d2++P3d3-+P3d4-5X1+10X2+d1--d1+=1002X1+X2+d2--d2+=14X1+d3--d3+=6X2+d4--d4+=10X1,X2,di-,di+0(i=1,2,3,4)x1x20101520255515201025d1+d1-5X1+10X2=100x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-2X1+X2=14x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-X1=6x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-d4+d4-X2=10x1x20101520255515201025d1+d2+d2-d3+d3-d4+d4-Mind1-=0x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d3-d4+d4-Mind2+=0可行域如圖x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+d4-Mind3-=0可行域為空如圖x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+Mind3-0Mind4-=0可行域如圖d3-(2,10)x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+