數(shù)列的極限函數(shù)的極限

第二章極限與連續(xù)極限是貫穿高等數(shù)學(xué)始終的一個(gè)重要概念，是這門課程的基本推理工具。極限研究的是在自變量的某個(gè)變化過程中，函數(shù)的變化趨勢。數(shù)列作為可看作一種特殊的函數(shù)，如今，我們先從數(shù)列入手研究函數(shù)的極限。

2.1數(shù)列的極限函數(shù)的極限例如：數(shù)列，可見當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近1，則。1、定義：對于數(shù)列，若當(dāng)自然數(shù)無限增大時(shí)，通項(xiàng)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù),則稱為當(dāng)趨于無窮時(shí)數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于。記作或；若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散。（一）數(shù)列的極限如果用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)表示數(shù)列地n項(xiàng)，那么數(shù)列以A為極限的幾何意義可表述為：當(dāng)n無限變大時(shí)，數(shù)列所對應(yīng)的點(diǎn)都會靠近在直線y=A的上下，且越來越靠近。（圖2.3）2、數(shù)列極限的幾何意義：當(dāng)n無限變大時(shí)，數(shù)列所對應(yīng)的點(diǎn)多落在點(diǎn)A的鄰域內(nèi)，直觀講：當(dāng)n無限變大時(shí)，由于是任意小數(shù)列所對應(yīng)的點(diǎn)密集地落在點(diǎn)A的鄰域。（圖2.2）y=A圖2.3

例如：數(shù)列，當(dāng)n無限變大時(shí)，數(shù)列不趨向于一個(gè)確定數(shù)，所以發(fā)散。定理：（單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限． 若數(shù)列收斂，則數(shù)列有界。（二）函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義1當(dāng)無限變大時(shí)，恒有（是任意小的整數(shù)），則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨向正無窮大時(shí)的極限。記作或2.時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義2當(dāng)無限變大時(shí)，恒有（是任意小的整數(shù)），則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨向負(fù)無窮大時(shí)的極限。記作或)(xf)()(-￥??xAxf

3.時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在內(nèi)無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)（讀作“趨近于”）時(shí)函數(shù)的極限.記作 或定義4設(shè)函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從右側(cè)無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)時(shí)函數(shù)的右極限。記作 或4.時(shí)函數(shù)f(x)的極限

5．時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從左側(cè)無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)時(shí)函數(shù)的左極限.記作或定理：當(dāng)時(shí)，函數(shù)以為極限的充要條件是當(dāng)與時(shí)，函數(shù)均以為極限。定理：若時(shí)（或），函數(shù)有極限，則必存在的一個(gè)鄰域（除外），（或0的一個(gè)鄰域之外），在此鄰域內(nèi)函數(shù)有界。證明：以為例，已知