安徽省安慶市太湖中學2024屆高三總復習雙向達標12月月考調(diào)研卷 數(shù)學試題（含解析）

2023～2024學年度高三總復習雙向達標月考調(diào)研卷數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．4．已知平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．設(shè)是與的等差中項，則的最小值為（

）A． B．3 C．9 D．8．已知函數(shù)的定義域為，且對任意，恒成立，則的解集是（

）A． B．C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．圖象關(guān)于點成中心對稱C．的最大值為D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為110．已知的內(nèi)角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，則D．若，則為直角三角形11．已知為數(shù)列的前和，下列說法正確的是（

）A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則，，為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，則，，為等差數(shù)列D．若為等比數(shù)列，則，，為等比數(shù)列12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．的最大值為2C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在上單調(diào)遞減三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．關(guān)于的不等式的解集為，則.14．設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則.15．已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則.16．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當時，，若函數(shù)（）在區(qū)間恰有3個不同的零點，則的取值范圍是四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出相應的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．

(1)求與的解析式；(2)令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和．19．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面積的最大值.20．已知數(shù)列滿足：,數(shù)列的前n項和(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和．21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的極大值為2，求實數(shù)的值；(3)在（2）的條件下，方程存在兩個不同的實數(shù)根，證明：.1．B【分析】根據(jù)二次函數(shù)值域可求得，解對數(shù)不等式可得，即可求出.【詳解】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，又因為，可得，所以可得；由對數(shù)函數(shù)定義解不等式可得，因此或，所以.故選：2．B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，求出復數(shù)，然后利用即可求解.【詳解】因為復數(shù)滿足，所以，所以.故選：B.3．A【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以.故選：A.4．C【分析】利用模的公式可得到，然后利用數(shù)量積的運算律即可得到答案【詳解】由可得，因為平面向量與的夾角是，且所以故選：C5．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的通項公式可得，，當且時，則，且單調(diào)遞減，則是遞減數(shù)列，故充分性滿足；當是遞減數(shù)列，可得或，故必要性不滿足；所以“且”是“是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A6．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得和，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由對數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，即.故選：D.7．C【解析】根據(jù)等差中項的定義，利用對數(shù)的運算得到，然后利用這一結(jié)論，將目標化為齊次式，利用基本不等式即可求最小值.【詳解】解：是與的等差中項，，即，即，則，當且僅當，即時取等號.故選C.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中項概念和對數(shù)運算，難度中等.當已知（都是正實數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時常用方法，展開后對變量部分利用基本不等式，從而求得最小值；已知（都是正實數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時也可以用同樣的方法.8．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得原不等式的解集.【詳解】設(shè)，該函數(shù)的定義域為，則，所以在上單調(diào)遞增．由可得，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故選：D．9．BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對稱性、最值、單調(diào)性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，函數(shù)的定義域為，所以對于函數(shù)，有，即的定義域是，A選項錯誤.B選項，，所以圖象關(guān)于點成中心對稱，B選項正確.C選項，，所以，即的最小值為，C選項錯誤.D選項，是冪函數(shù)，所以，解得或，當時，，在上遞減，當時，，在上遞增，所以D選項正確.故選：BD10．ACD【分析】利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷A；舉出反例即可判斷B；根據(jù)大角對大邊，再結(jié)合正弦定理化邊為角及二倍角的余弦公式即可判斷C；利用余弦定理化角為邊即可判斷D.【詳解】對于A，因為，由正弦定理可得，即，又，則，所以，即，所以為等腰三角形，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，若，則，則，所以，故，即，故C正確；對于D，，因為，所以，即，所以為直角三角形，故D正確.故選：ACD.11．AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列以及其前n項和的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于B和D，當公比時，且m為偶數(shù)時，，此時，，不為等比數(shù)列；，此時，，不為等比數(shù)列，則B和D錯誤；對于A，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，，，由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知，，為等差數(shù)列，公差為,A正確；對于C，若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，，，則，所以，，為等差數(shù)列，C正確；故選：12．BD【分析】由、是否成立判斷A、C；由，結(jié)合余弦函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)判斷B、D.【詳解】由，所以不是的周期，A錯；由，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯；由，而，所以，B對；由在上遞減，且，結(jié)合二次函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，D對.故選：BD13．##【分析】分析可知，、是關(guān)于的方程的兩根，利用韋達定理可得出的值.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，則，且、是關(guān)于的方程的兩根，由韋達定理可得，，解得，所以，.故答案為：.14．##【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)化簡計算作答.【詳解】等差數(shù)列，的前n項和分別為，，所以.故答案為：15．2【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合投影定義求解可得.【詳解】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影為，∴，∴，∴，∴.故答案為：216．【分析】先判斷函數(shù)為周期是4的周期函數(shù)，再根據(jù)偶函數(shù)畫出函數(shù)在上的圖像，根據(jù)圖像得到，計算得到答案.【詳解】對于任意的,都有，函數(shù)是一個周期函數(shù)，且當時，，且函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示:若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)解，即與恰有個不同的交點，由圖像可得：，解得:故答案為【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，轉(zhuǎn)化是函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，函數(shù)圖像，意在考查學生的綜合應用能力.17．(1)(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解；（2）分組求和方法求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，所以，解得，，所以的通項公式.（2）由（1）知，所以.18．(1)，(2)【分析】（1）由函數(shù)圖象可得即周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移變換的原則即可求得函數(shù)的解析式；（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由圖可知，，函數(shù)的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因為將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以；（2），由，得，因為，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和為．19．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形面積公式求得答案.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，當且僅當時取等號.∴.∴的最大值為.20．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷數(shù)列類型求出通項公式,根據(jù)的前n項和,利用,求出數(shù)列的通項公式即可,注意檢驗;(2)根據(jù)數(shù)列通項公式的特殊性,利用錯位相減法,求出其前n項和即可.【詳解】（1）解:由題知,是以2為公比的等比數(shù)列,,的前n項和,時,當時,,故,綜上:;（2）由(1)知,,,①,②②-①可得:故.21．(1)是上的增函數(shù)，證明見解析(2)存在；【分析】(1)先利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出字母，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義取證明即可；(2)先假設(shè)存在，利用第一問函數(shù)單調(diào)性結(jié)論得出兩個等式，再結(jié)合兩個等式的特點轉(zhuǎn)化為一個方程，使用換元法可得一個一元二次方程兩個不等正根的問題，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】（1），所以是上的增函數(shù)，證明如下：設(shè)，，，∴，，，，∴是上的單調(diào)增函數(shù)．（2）假設(shè)存在實數(shù)，使之滿足題意．由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴∴，為方程的兩個根，即方程有兩個不等的實根．令，即方程有兩個不等的正根．，∴故存在，實數(shù)的取值范圍為：22．(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導，對參數(shù)進行分類討論即可得出的單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論和極值的定義可得，可解得；（3）根據(jù)方程存在兩個不同的實數(shù)根，可構(gòu)造函數(shù)，并證明其單調(diào)性即可得時滿足，即可證明不等式.【詳解】（1）因為，可得函數(shù)的定義域為，所以，當時，在恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因為的極大值為2，