人教A版（新）選擇性必修三第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

6.1

分類加法計數(shù)原理與分布乘法計數(shù)原理第2課時鞏固分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，并能應(yīng)用這兩個計數(shù)原理解決實際問題.問題導(dǎo)學(xué)題型探究達(dá)標(biāo)檢測學(xué)習(xí)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點點落實1.兩計數(shù)原理的聯(lián)系分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題.2.兩計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是

問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分類要做到

；分步乘法計數(shù)原理針對的是

問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事，分步要做到步驟

.答案返回分類不重不漏分步完整類型一組數(shù)問題例1

用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？解三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種).(2)可以排成多少個三位數(shù)？解三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種).解析答案題型探究

重點難點個個擊破(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法.即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).解析答案反思與感悟反思與感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.解析答案跟蹤訓(xùn)練1

用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有___個(用數(shù)字作答).解析因為四位數(shù)的每個數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以符合題意的四位數(shù)有24－2＝14(個).14解析答案反思與感悟類型二抽取(分配)問題例2

3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？反思與感悟解方法一(以小球為研究對象)分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝5×4×3＝60.解析答案反思與感悟方法二(以盒子為研究對象)盒子標(biāo)上序號1,2,3,4,5；分成以下10類：第一類：空盒子標(biāo)號為：(1,2)：選法有3×2×1＝6(種)；第二類：空盒子標(biāo)號為：(1,3)：選法有3×2×1＝6(種)；第三類：空盒子標(biāo)號為：(1,4)：選法有3×2×1＝6(種)；分類還有以下幾種情況：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10類，每一類都有6種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝6＋6＋…＋6＝60(種).反思與感悟解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.解析答案跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有___種.解析按照焊點脫落的個數(shù)進(jìn)行分類：第一類：脫落一個焊點，只能是脫落1或4，有2種情況；第二類：脫落兩個焊點：有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共有6種情況；第三類：脫落三個焊點：有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)共有4種情況；第四類：脫落四個焊點，只有(1,2,3,4)一種情況.于是脫落焊點的情況共有2＋6＋4＋1＝13(種).13解析答案類型三涂色問題例3

將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？反思與感悟解如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.(1)當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.(2)當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.1234反思與感悟涂色問題的四個解答策略涂色問題是考查計數(shù)方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類問題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，求解涂色問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用的方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步乘法計數(shù)原理計算.(2)以顏色為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理計算.(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn).反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入圖中的5個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有________種不同的涂色方法.解析給出區(qū)域標(biāo)記號A，B，C，D，E(如圖所示)，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種.但E區(qū)域的涂色依賴于B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色，如果B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色相同，則有2種涂色方法；如果B區(qū)域與D區(qū)域所涂的顏色不相同，則只有1種涂色方法.因此應(yīng)先分類后分步.(1)當(dāng)B與D同色時，有4×3×2×2＝48(種).(2)當(dāng)B與D不同色時，有4×3×2×1×1＝24(種).故共有48＋24＝72(種)不同的涂色方法.答案72解析答案類型四種植問題例4

從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.解方法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同種植方法24－6＝18(種).反思與感悟按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生過程分步是計數(shù)問題的基本思想方法，區(qū)分“分類”與“分步”的關(guān)鍵，是驗證所提供的某一種方法是否完成了這件事情，分類中的每一種方法都能完成這件事情，而分步中的每一種方法不能完成這件事情，只是向事情的完成邁進(jìn)了一步.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，不同的種植方法共有_____種.解析答案返回解析答案解析分別用a、b、c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有兩種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法.abc(2)若第三塊田放a：第四塊有b或c兩種方法：①若第四塊放c；第五塊有2種方法；②若第四塊放b：第五塊只能種作物c，共1種方法.綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法.abaabacabab答案42返回解析答案達(dá)標(biāo)檢測1.用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)有(

)A.8個 B.10個

C.18個 D.24個解析個位數(shù)只要是1或3，所以2種選擇首位不能為0，則有2種選擇，百位數(shù)字有2種選擇，十位數(shù)字只有1種選擇，由分步乘法計數(shù)原理，所以用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為奇數(shù)的有2×2×2×1＝8(個).1234A解析答案2.設(shè)橢圓

＝1的焦點在y軸上，其中a∈{1,2,3,4,5}，b＝{1,2,3,4,5,6,7}，則滿足上述條件的橢圓個數(shù)為(

)A.20 B.24 C.12 D.11解析當(dāng)a＝1時，b＝2,3,4,5,6,7，有6個.當(dāng)a＝2時，b＝3,4,5,6,7，有5個.當(dāng)a＝3時，b＝4,5,6,7，有4個.當(dāng)a＝4時，b＝5,6,7，有3個.當(dāng)a＝5時，b＝6,7，有2個.由分類加法計數(shù)原理得6＋5＋4＋3＋2＝20(個).A1234解析答案3.如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有_____種.解析A有4種涂法，B有3種涂法，C有3種涂法，D有3種涂法，共有4×3×3×3＝108(種)涂法.ABC

D

1081234解析答案4.在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_____種.解析A種植在左邊第一壟時，B有3種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟時，B有2種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟時，B只有1種種植方法.B在左邊種植的情形與上述情形相同.故共有2