人教版九年級上第二十四章 圓24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)“黃岡杯”一等獎

垂直于弦的直徑溫故知新：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過對稱的有關(guān)概念，下面復(fù)習(xí)兩道問題1）什么是軸對稱圖形？2）我們學(xué)習(xí)過的軸對稱圖形有哪些？1）如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形。2）如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

導(dǎo)入新課一、探究新知探究1：折一折拿出一張圓形紙片，沿著圓的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？新課講解（1）圓是軸對稱圖形.（2）對稱軸是過圓點的直線（或任何一條直徑所在的直線）.（3）圓的對稱軸有無窮多條.由此你能得到什么結(jié)論？探究2：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?線段:AE=BE·OABCDE弧:AC=BC,AD=BD((((理由如下：連接AO,BO.把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒((((平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。逤D是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE這樣我們就得到垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。M一步，我們還可以得到推論：如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？提示：這兩條弦在圓中的位置有兩種情況：①兩條弦在圓心的同側(cè)②兩條弦在圓心的兩側(cè)·OABCD·OABCD∴圓的兩條平行弦所夾的弧相等。將圓沿豎直直徑對折可發(fā)現(xiàn)，兩條弦所夾的弧重合。“知二推三”(1)垂直于弦(2)過圓心(3)平分弦(4)平分弦所對的優(yōu)弧(5)平分弦所對的劣弧注意:當(dāng)具備了(1)(3)時,應(yīng)對另一條弦增加”不是直徑”的限制.溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,幾種條件要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.·OABCD圓的兩條直徑是互相平分的.你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?相信自己是最棒的!垂徑定理的推論:

如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結(jié)論.●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂徑定理及推論●OABCDM└條件結(jié)論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABOCABO

DC自主練習(xí)：1.判斷：(1)平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。(2)平分弦的直線，必定過圓心。(3)一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。

ABCDO(1)ABCD

O(2)ABCD

O(3)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。(5)平分弧的直線，平分這條弧所對的弦。(6)弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。

ABC

O(4)ABCD

O(5)ABCD

O(6)E(7)平分弦的直徑垂直于弦。

我是趙州橋，我歷史悠久，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋。我的主橋是圓弧形,我的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，但一千多年了，我還不知道我主橋拱的半徑是多少，你能幫我算算嗎？二、垂徑定理的實際應(yīng)用ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為_______________.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm自主練習(xí)：在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法ABCDOhrdOABC·方法歸納：1．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm.在Rt△AOE中課堂練習(xí)2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.

3.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。你認為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？.ACDBOE證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE?！郃E－CE＝BE－DE

即AC＝BD.注意：解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識？直徑平分弦直徑垂直于弦=>

直徑平分弦所對的弧直徑垂直于弦直徑平分弦（不是直