必修三三角函數(shù)7.3三角函數(shù)的性質與圖像7.3.1正弦函數(shù)的性質與圖像全省一等獎

《正弦函數(shù)的性質與圖像》課件---11--1在函數(shù)的圖象上，起關鍵作用的點有：最高點：最低點：與x軸的交點：

在精度要求不高的情況下，我們可以利用這5個點畫出函數(shù)的簡圖，一般把這種畫圖方法叫“五點法”。知識回顧:x6yo--12345-2-3-41

定義域

值域[－1,1]

二、正弦函數(shù)的性質觀察正弦曲線，得出正弦函數(shù)的性質：R時，取最小值－1；時，取最大值1；構建問題、探索解決正弦函數(shù)的圖像和性質xy1-1

正弦函數(shù)的單調性在閉區(qū)間

上,是增函數(shù)；在閉區(qū)間

上，是減函數(shù).

正弦函數(shù)的對稱性探究：

物理中的簡諧運動（彈簧振子）位移和時間的函數(shù)關系的圖象是怎樣的呢？剛才我們看到的圖象實際上是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象簡諧振動的圖象

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0,ω>0)表示一個振動量時，

A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常稱為這個振動的振幅；

往復一次所需的時間，稱為這個振動的周期；

單位時間內往復振動的次數(shù)，稱為振動的頻率；

稱為相位；x=0時的相位φ稱為初相。

1、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有什么特征？

2、A,ω,φ對圖象又有什么影響?3、如何作出它的圖象？

4、它的圖象與y＝sinx的圖象又有什么關系呢？探究：2sinxsinxx提問:觀察討論上述三個函數(shù)圖象及所列的表格,什么發(fā)生了變化?它又是怎樣變化的?與系數(shù)A有什么關系?什么沒有變?解：列表例1畫出函數(shù)y=2sinx，x∈R，y=sinx，x∈R的簡圖上述變換可簡記為:y＝sinx的圖象y＝2sinx的圖象各點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)注：A引起圖象的縱向伸縮，它決定函數(shù)的最大（最?。┲?我們把A叫做振幅。各點的縱坐標縮短到原來的1/2倍(橫坐標不變)y＝sinx的圖象y＝sinx的圖象

一般地，函數(shù)y=Asinx，x∈R(其中A＞0且A≠1）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時）或縮短（當0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到。函數(shù)y=Asinx，x∈R的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A。結論：[－|A|，|A|]基本練習一升級例2畫出函數(shù)Y=Sin(X+),X∈RY=Sin(X-),X∈R的簡圖。00-101-π/35π/37π/62π/3π/602π3π/2ππ/2Sin(X+)Xx+00-101π/49π/47π/45π/43π/402π3π/2ππ/2Sin(X-)Xx-YOX-11提問:觀察討論上述三個函數(shù)圖象及所列的表格,什么發(fā)生了變化?它又是怎樣變化的?與有什么關系?什么沒有變?所有的點向左(

>0)或向右(

<0)平移|

|

個單位函數(shù)y=sin(x+

)(

0)的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點向左(當

>0時)或向右(當

<0時)平行移動|

|個單位而得到的.y=sinxy=sin(x+

)注:

引起圖象的左右平移,它改變圖象的位置,不改變圖象的形狀.

叫做初相.

基本練習二升級例3畫出函數(shù)y=sin2x，x∈R，y=sin

x，x∈R的簡圖21p2p2p23p04p2p43pp0x21sinxx100-10p2p2p23p0x21100-10p2p3p4p01）列表：2）描點、連線：xy21sin=xysin=1-1y=sin2x結論:函數(shù)y=sinωx(其中ω>0)的圖象,可看作把y=sinx圖象上所有點的橫坐標伸長

(當0<ω<1)或縮短(當ω>1)到原來的1/ω

倍(縱坐標不變)而得到.注:①ω決定函數(shù)的周期T=2π/ω,它引起橫向伸縮(可簡記為:小伸大縮).

上述變換可簡記為:Y=sinx的圖象y=sin2x的圖象各點的橫坐標縮短到原來的1/2倍Y=sinx的圖象y=sinx的圖象各點的橫坐標伸長到原來的2倍12(縱坐標不變)(縱坐標不變)y=sinx，x∈Ry=sinω

x，x∈R或縮短橫坐標伸長w10)(倍ww11)(><<縱坐標不變基本練習升級y=2sinx

y=sinx

y=sinxy0xπ2π12-1-2y0xπ2π3π4π1-1y=sin2x

y=sinx

y=sinxy0xπ2π1-1y=sin（x＋

）y=sin（x－）y=sinx

ωA

解：1、列五點表

第一步第一步第三步第二步2、描點作圖y0xπ1-1重點、函數(shù)y=sinωx與

y=sin(ωx+φ)圖象的關系yxO

11y=sin2x

函數(shù)y=sin2x的圖象

函數(shù)y=sin(

x+)(

>0且

≠1)的圖象可以看作是把y=sin

x

的圖象向左(當>0時)或向右(當﹤0時)平移個單位而得到的。結論提示：由于我們研究的函數(shù)僅限于

>0的情況，所以只需要判斷的正負即可判斷平移方向基本練習二函數(shù)y=sin（x+φ）與

y=sin(ωx+φ)圖象的關系x100-10

函數(shù)

的圖象-11000xy=sin（x+φ）y=sin(ωx+φ)規(guī)律總結，背過規(guī)律總結，背過（3）橫坐標不變縱坐標伸長到原來的3倍y=3sin(2x+)的圖象y=sin(2x+)的圖象（1）橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變（2）向左平移

函數(shù)y=sinxy=sin2x的圖象方法1：例4、如何由變換得的圖象？典例解析1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=sinx

y=sin2x

y=3sin(2x+

)

方法1：函數(shù)y=sinxy=sin(x+)的圖象（3）橫坐標不變縱坐標伸長到原來的3倍y=3sin(2x+)的圖象y=sin(2x+)的圖象（1）向左平移縱坐標不變（2）橫坐標縮短到原來的倍方法2：1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=3sin(2x+

)

方法2：y=sin(x+

)

y=sinx

函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖象方法2.gsp所有點的橫坐標

伸長為原來的2倍

所有的點向右平移多少個單位？所有點的縱坐標

伸長為原來的2倍

所有的點向右平移多少個單位？

所有點的縱坐標

伸長為原來的多少倍？所有點的橫坐標

伸長為原來的多少倍？途徑一:途徑二:y=sinxy=sin(x+

)橫坐標縮短>1(伸長0<<1)到原來的1/

倍y=sin(

x+

)縱坐標伸長A>1(縮短0<A<1)到原來的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)總結:向左>0(向右<0)方法1:(按順序變換)平移|

|個單位縱坐標不變橫坐標不變y=sinx橫坐標縮短>1(伸長0<<1)到原來的1/

倍y=sin

x縱坐標伸長A>1(縮短0<A<1)到原來的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)總結:縱坐標不變橫坐標不變方法2:(按順序變換)向左>0(向右<0)平移|

|/

個單位向左或向右平移個單位縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋犊v坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋断蜃蠡蛳蛴移揭苽€單位練習：1．為了得到函數(shù)的圖象，只需把正弦曲線上的所有的點的（）A．橫坐標伸長到原來的5倍，縱坐標不變．B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變．C．縱坐標伸長到原來的5倍，橫坐標不變．D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變．A2．為了得到函數(shù)的圖象，只需把正弦曲線上的所有的點的（）A．橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變．B．橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變．C．縱坐標伸長到原來的4倍,橫坐標不變．D．縱坐標縮短到原來的倍,橫坐標不變．D3、要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

()A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位DCBD7、將函數(shù)y=f(x)圖象上每個點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的2倍，然后再將整個圖象沿x軸向左平移個單位，得到曲線y=sinx的圖象相同，則y=f(x)的函數(shù)表達式為D正弦型函數(shù)的性質與圖像正弦型函數(shù)的性質正弦型函數(shù)的性質與圖像正弦型函數(shù)的性質規(guī)律總結，背過R[-1，1]2π奇函數(shù)原點對稱6）、在處達到__________，在處達到

______________(k∈z)1）、定義域是________；2）、值域是_________；3）、最小正周期是_________；4）、在（-∞，+∞）上是__________，圖象關于____________；5）、在上是_________，在上是__________；增函數(shù)減函數(shù)最大值1最小值-1整體思想正弦函數(shù)f(x)=sinx的主要性質：1、定義域：由ωx+

∈R，有x∈R，所以定義域為R2、值域：由y=sinx∈[-1，1]，即-1≤sin(ωx+

)≤1故-A≤Asin(ωx+

)≤A所以y=Asin(ωx+

)∈[-A，A]值域為

[-A+b，A+b]又A＞0

有y=sin(ωx+

)∈[-1，1]對于y=sinx有x∈R考試重點

y=-Asin(ωx+

)∈[-A，A]y=sinx取最大值1；y=sinx取最小值-1；最值問題練習：求下列函數(shù)的最大值、最小值、周期單調區(qū)間在閉區(qū)間

上,是增函數(shù)；在閉區(qū)間

上，是減函數(shù).+增放增，減放減單調區(qū)間在閉區(qū)間

上,是增函數(shù)；在閉區(qū)間

上，是減函數(shù).+增放減，減放增單調區(qū)間+增放減，減放增+增放增，減放減對稱問題函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖象方法2.gsp1-１2-2oxy3-3y=3sin(2x+

)

C（）例5:已知函數(shù)y=Asin(

x+)(>0,A