高中立體幾何經(jīng)典題型練習題(含答案)

高中數(shù)學立體幾何練習題精選試卷

姓名班級學號—得分—

說明：

1、本試卷包括第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。滿分100

分?？荚嚂r間90分鐘。

2、考生請將第I卷選擇題的正確選項填在答題框內(nèi)，第II卷直接答在試卷

±0考試結(jié)束后，只收第II卷

第I卷（選擇題）

評卷人得分

一.單選題（每題2分，共40分）

1.設(shè)直線I,m和平面a,|3,下列條件能得到a〃B的有（）

①lua,mea,且1〃B,m〃B；

②lua,mea且|〃m；

③l〃a,m〃B且l〃m.

A.1個B.2個C.3個D.0個

2.一個四面體中如果有三條棱兩兩垂直，且垂足不是同一點，這三條棱就象中國武術(shù)中的

兵器--三節(jié)棍，所以，我們常把這類四面體稱為“三節(jié)棍體”，三節(jié)棍體ABCD四個頂點在空

間直角坐標系中的坐標分別為A（0,0,0）、B（0,4,0）、C（4,4,0）、D（0,0,2）,

則此三節(jié)棍體外接球的表面積是（）

A.36"B.24nC.18nD.12n

3.一個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為90°,它的表面積為a,則它的底面積為（)

A-1B-1c.D,1

4、如圖，三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱長和底面邊長均為4,且側(cè)棱AA」底面ABC,其主視圖

是邊長為4的正方形，則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）

A.16B.2^3C.4舊D.8s

5.三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=2,則三棱錐P-ABC的外

接球的體積是（）

16

聲。

A.2B.4^3nC.-------D.8JJn

3

6.在正方體ABCD-A'B'CD'中，過對角線BD'的一個平面交AA'于點E,交CC'于

點F.則下列結(jié)論正確的是（）

①四邊形BFD'E一定是平行四邊形

②四邊形BFD'E有可能是正方形

③四邊形BFD'E在底面ABCD的投影一定是正方形

④四邊形BFD，E有可能垂于于平面BB'D.

A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④

7.如圖，在四面體A-BCD中，AB_L平面BCD,BC1CD,若AB=BC=CD=1,則AD=()

D

A.1B.J2C.J3D.2

8.已知a,b是空間兩條異面直線，它們所成的角為80°,過空間一點P作直線I,使I與

a,b所成角均為50°,這樣的I有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

9.滿足下面哪一個條件時，可以判定兩個不重合的平面a與B平行（）

A.a內(nèi)有無數(shù)個點到平面P的距離相等

B.a內(nèi)的△ABC與6內(nèi)的△A"B"C"全等,且AA"〃BB"〃CC"

C.a,8都與異面直線a,b平行

D.直線I分別與a,6兩平面平行

10.已知兩個不同的平面a,8和兩條不重合的直線m,n,有下列四個命題：①若m〃n,

nca,則m〃a；②若m〃a,n〃a,且meB,nuB,則a〃B;③若m〃a,nc

a,則m〃n；④若a〃B,mua,則m〃B.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.在直二面角a-AB-B的棱AB上取一點P,過P分別在a、B兩個平面內(nèi)作與棱成45°

的斜線PC、PD,那么NCPD的大小為（）

A.45°B.60°C.120°D.60°或120°

12、如圖，將邊長為1的正方形ABCD,沿對角線BD折起來，使平面ABD_L平面C'BD,則

AC'=（）

C

.—H

A.1B.-C.FD,上

272

13.一個正四棱錐的底面面積為Q,則它的中截面（過各側(cè)棱的中點的截面）的邊長是（）

A.&B.匝C.D.—

24丑4

14.某幾何體的三視圖如圖實數(shù)，則當x+y取最大值時，該幾何體的體積為（）

V6x

?1?

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

15.空間三條直線a,b,c中，b和c是一對異面直線，取三條直線中某兩條直線確定平面,

那么可以確定平面?zhèn)€數(shù)是（）

A.0或1B.1或2C.0或2D.0或1或2

16.已知二面角a-I-B的大小為60°,且m_La,n_L8,則異面直線m,n所成的角為（）

A.30°B.120°C.90°D.60°

17.設(shè)a、B表示平面，I表示不在a內(nèi)也不在B內(nèi)的直線，給出下列命題:

①若Ua,l〃B,貝i」a

②若l〃B,a±p,則Ua；

③若Ha,aJ.B,則|〃B.

其中正確的命題是（）

A.①@B.①②C.②③D.①②③

18.三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1,4ABC是等腰直角三角形，ZABC=90".若E為PC

中點，則BE與平面PAC所成的角的大小等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

19.在正方體AiC中，對角線AiC與平面BiBCCi所成的角是（）

A.ZAiCBiB.ZAiCCiC.ZAiCBD.ZA1B1C

20.若m、n是兩條不同的直線，a、B、丫是三個不同的平面，則下列命題中真命題是

（）

A.若m_LB,m〃a,則a_|_B

B.若any=m,（3Ay=n,m〃n,則a〃B

C.若muB,a±g,則m_La

D.若aJ_Y，a_LB,貝!|B_Ly

評卷人得分

二.填空題（每題3分，共15分）

21.將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a,則三棱錐D-ABC的體積是

22.如圖，圖①、②、③是圖④表示的幾何體的三視圖，其中圖①是,圖②是

圖③是（說出視圖名稱）.

乜PH

①②③④

23.若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD的長分別為4,6,過AB的中點E且平行BD,

AC的截面四邊形的周長為.

24、如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把4ABD與4ACD折成互相垂直

的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論：

①訪云X0；

②/BAC=60°；

③三棱錐D-ABC是正三棱錐；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正確結(jié)論的序號是.（請把正確結(jié)論的序號都填上）

25.直角三角形ABC中，CA=CB=「，M為AB的中點，將aABC沿CM折疊，使A、B之間

的距離為1,則三棱錐M-ABC外接球的體積為

評卷人得分

三.簡答題（每題9分，共45分）

如圖，多面體ABCDEFG中，AB,AC,AD兩兩垂直，平面ABC〃平面DEFG,平面BEF〃平面

ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.

A

(1)證明四邊形ABED是正方形；

(2)判斷點B,C,F,G是否四點共面，并說明為什么？

(3)連接CF,BG,BD,求證：CF_L平面BDG.

27、如圖，直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，底面ABCD為梯形，AB平行于CD,

」是回中點.

AD=DC=DD{=^AB=l,ADACEA

(1)求證：CD±AiDi.

(2)求二面角GDiE-Bi的大小.

28、如圖,直三棱柱ABC三iBi柱中,AC=BC,AAi=AB,D為BBi的中點，E為ABi上的一點,

AE=3EBi.

（I）證明：DE為異面直線ABi與CD的公垂線；

（II）設(shè)異面直線ABi與CD的夾角為45°,求二面角Ai-ACi-Bi的大小.

29.按下列敘述畫出圖形（不必寫作法）：直線a,b相交于點M,點N不在直線a,b上,

點N分別與直線a,b確定平面a,p.

30、如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PAJ_平面ABCD.ABCD是直角梯形,AD〃BC,ZBAD=90",

BC=2AD.

P

（1）求證：AB1PD；

（2）在線段PB上是否存在一點E,使AE〃平面PCD,若存在，指出點E的位置并加以證

明；若不存在，請說明理由.

參考答案

評卷人得分

一.單選題（共一小題）

1.設(shè)直線I,m和平面a,B,下列條件能得到a〃B的有（

①lua,mea,且|〃B,m//B；

②lua,mea且|〃m；

③l〃a,m〃B且l〃m.

A.1個B.2個C.3個D.0個

答案：D

解析:

解：對于①，：lua,mea,且|〃B,m〃B,當直線I與直線m相交時，a〃B,故

①錯誤;

對于②，lua,meaK\//m,不能得到a〃B,故②錯誤;

對于③，如圖，1〃a,m//PHIm,anP=n,故③錯誤;

故選：D.

2.一個四面體中如果有三條棱兩兩垂直，且垂足不是同一點，這三條棱就象中國武術(shù)中的

兵器-三節(jié)棍，所以，我們常把這類四面體稱為“三節(jié)棍體”，三節(jié)棍體ABCD四個頂點在空

間直角坐標系中的坐標分別為A(0,0,0)、B(0,4,0)、C(4,4,0)、D(0,0,2),

則此三節(jié)棍體外接球的表面積是()

A.36JiB.24nC.18nD.12n

答案：A

解析：

解：由題意，可補成長方體，同一頂點的三條棱長分別為2,4,4,其對角線長為J4+I6+16

=6,

...三節(jié)棍體外接球的半徑為3,

三節(jié)棍體外接球的表面積是4nX32=36n,

故選：A.

3.一個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為90°,它的表面積為a,則它的底面積為()

aa_aa

A.-B.-C.-D.一

5324

答案：A

解析：

解：設(shè)圓錐的母線為I,所以圓錐的底面周長為：y,

曳I

底面半徑為：24，

---4.

2n

/2

底面面積為：—n.

16

圓錐的側(cè)面積為：—,

4

/2n/2

所以圓錐的表面積為：—n=a,

416

底面面積為：—n4.

165

故選A.

4,如圖，三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱長和底面邊長均為4,且側(cè)棱AAi_L底面ABC,其主視圖

是邊長為4的正方形，則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）

A.16B.2JJC.4J3D.8s

答案：D

解析：

解：根據(jù)題中的直觀圖和三視圖，結(jié)合題意可得

???主視圖是邊長為4的正方形，

二三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，底面是邊長為4的等邊三角形，

作出底面等邊三角形的高，可得等邊三角形的高為4sin60°=2巧,

???側(cè)視圖是以側(cè)棱長為一邊、底面三角形的高為另一邊的矩形

側(cè)視圖的面積S=4X2jJ=81

故選：D

5.三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=2,則三棱錐P-ABC的外

接球的體積是（)

C."

A.2j3nB.4斤

3

答案：B

PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長

則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球.

?.?長方體的對角線長為2回,

球直徑為2后，半徑R=JJ,

因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是X（JJ）MjJJt

故選:B.

6.在正方體ABCD-A'B'CD'中，過對角線BD'的一個平面交AA'于點E,交CU于

點F.則下列結(jié)論正確的是（）

①四邊形BFD'E一定是平行四邊形

②四邊形BFD'E有可能是正方形

③四邊形BFD'E在底面ABCD的投影一定是正方形

④四邊形BFD'E有可能垂于于平面BB'D.

A.@@③④B.①③④C.①②④D.②③④

答案：B

解析：

DC

Af/—匚Q子叼廠.解：

E-

①；四邊形BFD'E與面BCC'B'的交線為BF,與面ADD'A'的交線為D'E,且面BCC'

B'〃面ADD，A'的交線為D，E,

.?.BF〃D'E,

同理可證明出BE〃D'F,

四邊形BFD'E一定是平行四邊形，

故結(jié)論①正確.

②當F與C'重合，E與A點重合時，BF顯然與EB不相等，不能是正方形，

當這不重合時，BF和BE不可能垂直，

綜合可知，四邊形BFD'E不可能是正方形

結(jié)論②錯誤.

③???四邊形BFD'E在底面ABCD的投影是四邊形A'B'C'D',

故一定是正方形，③結(jié)論正確.

④當E,F分別是AA，,CC'的中點時，

EF//AC,AC1BD,

；.EFJ_BD,

BB'J_面ABCD,ACu面ABCD,

±AC,

.?.BB'±EF,

VBB,u面BDD'B',BDu面BDD'B',BDABB'=B,

/.EF±ffiBDD;B',

?.,EFu四邊形BFD'E,平面BB'Du面BDD'B',

...面形BFD'E_L面BDD'B'.

故結(jié)論④正確.

故選:B.

7.如圖，在四面體A-BCD中，AB_L平面BCD,BC1CD,若AB=BC=CD=1,則AD=()

X

A.1B.j2C.j3D.2

答案：C

解析：

解：；AB_L平面BCD,CDc面BCD,

AABICD,

又CD±BC,

；.CDJL面ABC,

ACD±AC,

又AB=BC=CD=1,AD2=AC2+CD2=AB2+BC2+CD2=3,

；.AD=JJ.

故選C.

8.已知a,b是空間兩條異面直線，它們所成的角為80°,過空間一點P作直線I,使I與

a,b所成角均為50°,這樣的I有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

答案：C

解析：

解：在空間取一點P，經(jīng)過點P分別作a〃ab〃b',

設(shè)直線a\b，確定平面a,

當直線PM滿足它的射影PQ在a\b，所成角的平分線上時，

PM與a，所成的角等于PM與b，所成的角

因為直線a,b所成的角為80°,得a\b，所成銳角等于80°

所以當PM的射影PQ在a\b，所成銳角的平分線上時，

PM與a'b所成角的范圍是［40°,90°）.

這種情況下，過點P有兩條直線與a，，b所成的角都是50°

當PM的射影PQ在a\b所成鈍角的平分線上時,PM與a\b，所成角的范圍是［50。，90。）.

這種情況下，過點P有且只有一條直線（即PMua時）與a\b，所成的角都是50°

綜上所述，過空間任意一點P可作與a,b所成的角都是50°的直線有3條

故選：C.

9.滿足下面哪一個條件時，可以判定兩個不重合的平面a與B平行（）

A.a內(nèi)有無數(shù)個點到平面P的距離相等

B.a內(nèi)的^ABC與C內(nèi)的△A"B"C"全等,且AA"〃BB"〃CC"

C.a,B都與異面直線a,b平行

D.直線I分別與a,B兩平面平行

答案：C

解析：

A錯,若aClB=a,bea,a〃b,a內(nèi)直線b上有無數(shù)個點到平面

P的距離相等，則不能斷定a〃B；

B錯，若a內(nèi)的^ABC與B內(nèi)的4A'B'C全等，如圖，在正三棱柱中構(gòu)造^ABC與△AEC全

等，但不能斷定a〃B；

C正確，因為分別過異面直線a,b作平面與平面a,0相交，可得出交線相互平行，從而

根據(jù)面面平行的判定定理即可得出平面a與B平行；

D錯，若直線I分別與a,B兩相交平面的交線平行，則不能斷定a〃8；

故選C.

10.已知兩個不同的平面a,B和兩條不重合的直線m,n,有下列四個命題：①若m〃n,

nua,則m〃a；②若m〃a,n//a,且meP,nuB,則a〃B；③若m〃a,nu

a,則m〃n；④若a//p,mea,則m〃B.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：A

解析：

解：①若m〃n,nca,則171〃?；騶11<:：￡1,故原命題不正確；

②若m〃a,n〃a,且muB,nuB,則a〃B,對照面面平行的判定定理可知缺少條件

“相交直線”，故不正確；

③若m〃a,nca,則m與n平行或異面或相交，故不正確；

④若a〃B,mea,則m〃B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知正確；

故正確命題的個數(shù)是1個

故選：A

11.在直二面角a-AB-B的棱AB上取一點P,過P分別在a、6兩個平面內(nèi)作與棱成45°

的斜線PC、PD,那么NCPD的大小為（）

A.45°B.60°C.120°D.60°或120°

答案：D

解析：

當兩斜線PC,PD同向時，在PC上取點C,過C作CGLAB于G,

在平面B內(nèi)過G作GD_LAB,交PD于D,連結(jié)CD.

?.,二面角a-AB-8為直二面角，則CG_LGD.

在RtZiCGP中，VZCPG=45°,設(shè)CG=a,則PG=a,Z.PC=.

在RSDGP中，；NDPG=45°,；.DG=PG=a,貝iJPD=?.

在RtZ\DGC中，VCG=DG=a,.*.CD=j2?.

二.△PCD是等邊三角形，；.PC和PD所成角為60°；

當兩斜線PC,PD異向時，在PC上取點C,過C作CG_LAB于G,

在PD上取點D,使PD=「CG,連結(jié)CD,

?.?二面角a-AB-B為直二面角，ACG±P,則CGLGD.

設(shè)CG=a,在RtZXCGP中，；NCPG=45°,，PG=a,貝ijPC=JIa,

PD=J2CG=J2?>VZBPD=45°,ZDPG=135°.

在aPPG中，GD2=PG2+PD2-2PG?PDcosl35°

=a2+2“2-2”「a?(-g)=5a2.

CD2=CG2+GD2=a2+5a2=6a2.

在aDPc中，cos?c=吧-a==一L.

2PCPD2?p?@2

，NDPC=120°.

；.PC和PD所成角為120。.

所以/CPD的大小為60°或120°.

故選D.

12、如圖，將邊長為1的正方形ABCD,沿對角線BD折起來，使平面ABD_L平面C'BD,則

AC'=(

A-1B.；C.J2DY

2

答案：A

解析：

解：取BD的中點0,連接OA,0C,則

?.?將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起來,使平面ABD_L平面C'BD,

rr

.SCO,AO=C。毛

.?.AC'=（坐）？+（坐）工1

,J-2

故選:A.

13.一個正四棱錐的底面面積為Q,則它的中截面（過各側(cè)棱的中點的截面）的邊長是（）

A.亞B.?C.D.—

247V4

答案：A

解析：

解：由棱錐的幾何特征可得

棱錐的中截面與棱錐的底面是相似圖形

且相似比為:

則棱錐的中截面與棱錐的底面的面積之比為相似比的平方?

又??,棱錐的底面面積是Q,

...棱錐的中截面面積是2,則它的中截面的邊長是g

42

故選A

14.某幾何體的三視圖如圖實數(shù)，則當x+y取最大值時，該幾何體的體積為（）

V6x

?1?

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

答案：A

解析：

解：該幾何體是長方體一角，如圖所示，可知AC=M，BD=1,BC=y,AB=x.設(shè)

CD=a,AD=b,

則a2+b2=6,a2+l=y2,b2+l=x2,

消去a?,b2得*2+丫2=82史盧，所以x+yW4,

當且僅當x=y=2時等號成立，此時a=b=Js",

所以V=；x|xlxExB=1

故選A.

15.空間三條直線a,b,c中，b和c是一對異面直線，取三條直線中某兩條直線確定平面,

那么可以確定平面?zhèn)€數(shù)是（）

A.0或1B.1或2C.0或2D.0或1或2

答案：D

解析：

解：:b和c是一對異面直線

若a與b,c均相交，則可以確定兩個平面；

若a與b,c中一條平行與另一條相交，則可以確定兩個平面；

若a與b,c中一條平行與另一條異面，則可以確定一個平面；

若a與b,c中一條相交與另一條異面，則可以確定一個平面；

若a與b,c均異面，則可以確定零個平面；

故選D

16.己知二面角a-1-B的大小為60°,且m，a,n，B,則異面直線m,n所成的角為（）

A.30°B.120C.90D.60

答案：D

解析：

解：因為m,n為異面直線，且m_l_a,n_LB,

所以m,n所成的角就是二面角a-I-B的大小，

因為二面角aIB的大小為60°,所以是60°

故選D.

17.設(shè)a、（3表示平面，I表示不在a內(nèi)也不在B內(nèi)的直線，給出下列命題：

①若IJ,a,|〃6,貝（］a

②若l〃B,a_LB,貝IJUa；

③若Ua,aJ.B,則1〃B.

其中正確的命題是（）

A.①@B.①②C.②③D.①②③

答案：A

解析：

解：①，由l〃B,可以知道過I的平面與B相交，設(shè)交線為m,則l〃m,又吐a,所以m

_La,muB,故a_LB,正確；

②，由l〃B,a±|3,則I與a可以平行、相交垂直，故錯誤；

③，l，a,a±p,貝ijI與B平行或在B內(nèi)，而條件是I表示不在a內(nèi)也不在B內(nèi)的直線，

故只有l(wèi)〃B,正確.

故選A.

18.三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1,4ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°.若E為PC

中點，則BE與平面PAC所成的角的大小等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案：B

解析：

p

B

則/POA=NPOB=/POC=90°,

而PA=PB=PC,PO是△POA、△POB、APOC的公共邊

.".△POA^APOB^APOC

.\AO=BO=CO,則點O為三角形ABC的外心

「△ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°

/.點。為AC的中點，則BO±AC

而PO_LBO,POCIAC=O

，BO_L平面PAC,連接OE

/BE。為BE與平面PAC所成的角

,點。為AC的中點,E為PC中點，PA=PB=PC=AC=1,ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°

，0E為中位線，且B0=-

22

又：NBOE=90°

.,.ZBEO=45°即BE與平面PAC所成的角的大小為45°

故選B.

19.在正方體AiC中，對角線AiC與平面BiBCCi所成的角是（）

A.ZAiCBiB.ZAiCCiC.ZAiCBD.ZA1B1C

答案：A

解析：

解：:正方體AiC中,AiBi_L平面BiBCCi,

，直線BiC是直線AiC在平面BiBCCi內(nèi)的射影

因此NAiCBi就是直線AiC與平面BiBCCi所成的角

故選：A

20.若m、n是兩條不同的直線，a、6、丫是三個不同的平面，則下列命題中真命題是

()

A.若m_LB,m〃a,則aJ_B

B.若any=m,0Ay=n,m〃n,則a〃B

C.若muB,aJ_B,則m_La

D.若aj_y,aJ_B,則8_1_丫

答案：A

解析:

過m的平面與a交于n,則m〃n,?.，m_LB,

對于B,不正確.如圖，若平面ABCDPI平面ABFE=AB,平面ABFEA平面CDEF=EF,AB//EF,

但平面ABCD與平面CDEF不平行.

對于C,因為若a，B,muB,則m與a的位置關(guān)系不確定，故m與a可能相交，可能平

行，也可能是mua,

對于D,因為丫，8垂直于同一個平面a,故丫，B可能相交，可能平行.

故選：A.

評卷人得分

二.填空題（共—小題）

21.將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則三棱錐D-ABC的體積是

答案：存3

解析：

由勾股定理可證得/BED=90°

故三角形BDE面積是一a?

4

又正方形的對角線互相垂直，且翻折后，AC與DE,BE仍然垂直，故AE,CE分別是以面BDE

為底的兩個三角形的高

故三棱錐D-ABC的體積為j5ax!a2=W“3

故答案為：？匚“二

12

22.如圖，圖①、②、③是圖④表示的幾何體的三視圖，其中圖①是,圖②是

圖③是（說出視圖名稱）.

A~?H~?H——

①②③④

答案：

主視圖

左視圖

俯視圖

解析：

解：根據(jù)三視圖的定義，可得圖①是主視圖，圖②是左視圖，圖③是俯視圖.

故答案為：主視圖、左視圖、俯視圖.

23.若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD的長分別為4,6,過AB的中點E且平行BD,

AC的截面四邊形的周長為.

答案：10

解析:

解：設(shè)截面四邊形為EFGH,F、G、H分別是BC、

D

CD,DA的中點，；.EF=GH=2,FG=HE=3,

周長為2X(2+3)=10.

故答案為：10.

24、如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把4ABD與aACD折成互相垂直

的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論：

①訪丘H。；

②/BAC=60°；

③三棱錐D-ABC是正三棱錐；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正確結(jié)論的序號是.（請把正確結(jié)論的序號都填上）

答案：②③

解析：

解：BDJ_平面ADC,=BDJ_AC,①錯；

AB=AC=BC,②對；

DA=DB=DC,結(jié)合②，③對④錯.

故答案為：②③

25.直角三角形ABC中，CA=CB=「，M為AB的中點，將△ABC沿CM折疊，使A、B之間

的距離為1,則三棱錐M-ABC外接球的體積為

答案:

54

解析:

解：VRtAABC中CA=CB=「,

；.AB=2,

又為AB的中點，

.\MA=MB=MC=1,

故對折后三棱錐M-ABC的底面為邊長為1的等邊三角形,

如下圖所示：

其外接球可化為以MAB為底面，以MC為高的正三棱柱的外接球,

設(shè)三棱錐M-ABC外接球的球心為0,

則球心到MAB的距離d=-MC=-,

22

平面MAB的外接圓半徑r=：

故三棱錐M-ABC外接球的半徑R=

44_7曲

則外接球的體積為v=-nR3=-n(

54

故答案為：摩電.

54

評卷人得分

三.簡答題(共一小題)

26、如圖，多面體ABCDEFG中，AB,AC,AD兩兩垂直，平面ABC〃平面DEFG,平面BEF〃

平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.

(1)證明四邊形ABED是正方形；

(2)判斷點B,C,F,G是否四點共面，并說明為什么？

(3)連接CF,BG,BD,求證：CF_L平面BDG.

答案：

平面平面。"G,

證明：(1)平面AEEDC平面ABC=A8,

平面八8￡。0平面/)“6=。號

同理AD〃BE,

則四邊形ABED是平行四邊形.

又AD_LDE,AD=DE,

四邊形ABED是正方形

(2)取DG中點P,連接PA,PF.

在梯形EFGD中，F(xiàn)P〃DE且FP=DE.

又AB〃DE且AB=DE,，AB〃PF且AB=PF

...四邊形ABFP為平行四邊形，

；.AP〃BF

在梯形ACGD中，AP〃CG,，BF〃CG,

AB,C,F,G四點共面

(3)同(1)中證明方法知四邊形BFGC為平行四邊形.

且有AC〃DG、EF〃DG,從而AC〃EF,

，EFJ_AD,BE//AD

又BE=AD=2、EF=1故8尸=后，而

故四邊形BFGC為菱形，CF±BG

又由AC/7EF且AC=EF知CF〃AE.

正方形ABED中，AE1BD,故CFJ_BD.

CFLBG(

CFLBD<=CFJ■平面80G

BG(\BD=B

27、如圖，直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，底面ABCD為梯形，AB平行于CD,

AD=DC=DDi=LAB=l,ADJACE是A面中點.

Bi

(1)求證：CD±AiDi.

(2)求二面角C-DiE-Bi的大小.

答案：

解：(1),.,ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱且AD=DDi；

，四邊形AA1D1D是正方形，，ADi_LAiD,

VADilAiC,AiDAAiC=Ai；

；.ADi_L平面DAiC；AADilDC

VDDilDC,DDiCAD尸Di；

，。(：1_平面人人??；ADClAiDi

(2)由(1)知以Di為坐標原點，建立空間直角坐標系；C(0,1,1)；E(1,1,0)；

01(7=(0,11)；D7E=(1?1,0)

由題意，平面DiEBi的法向量為。］。=(0,0,1)

tfy+z=0(z=-y

設(shè)平面