高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)案例

《等差數(shù)列前n項(xiàng)

和的公式》

教學(xué)目標(biāo)

1、掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握公式的運(yùn)用。

2、通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過程

中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

3、通過對(duì)公式從不同角度、不同惻面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的

靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

4、公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受

到辯證唯物主義思想的熏陶。

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、討論、引導(dǎo)式。

教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。

師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有

關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和,

我們自然會(huì)想到德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小高斯上

小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自

然數(shù)加起來，和是多少？"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案

5050,這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計(jì)算

出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算，那你們就是二十世紀(jì)末的

新高斯。（教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍）。我們

來看這樣一道例題。

例1,計(jì)算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討

論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可湊成5個(gè)11,得到55。

生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根據(jù)加法交換律，又可寫

成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面兩式相加得2s=11+10+……+11=10X11=110

10個(gè)

所以我們得到S=55,

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩

位同學(xué)的方法相類似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50個(gè)101,所以

1+2+3+……+100=50X101=5050。請(qǐng)同學(xué)們想一下，上面的方法用到等

差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢？

二、教授新課（嘗試推導(dǎo)）

師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)al,項(xiàng)數(shù)為n,第n項(xiàng)an,根據(jù)

等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢？根據(jù)上

面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請(qǐng)一位學(xué)生板演。

生4：Sn=al+a2+.....an-1+an也可寫成

Sn=an+an-l+.....a2+al

兩式相力口得2Sn=(al+an)+(a2+an-l)+……(an+al)

n個(gè)

=n(al+an)

所以Sn=(l)

師：好！如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為al,公差為d,項(xiàng)數(shù)為n,

則an=al+(n-l)d代入公式⑴得

Sn=nal+d(ll)

上面(I)、(II)兩個(gè)式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式(I)

是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)義高

彳2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)al,下底是第n項(xiàng)an,

高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量？(al,d,n,

an,Sn),它們由哪兒個(gè)關(guān)系聯(lián)系？Lan=al+(n-l)d,Sn==nal+d］；這

些量中有幾個(gè)可自由變化？(三個(gè))從而了解到：只要知道其中任意

三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一

些應(yīng)用。

三、公式的應(yīng)用(通過實(shí)例演練，形成技能)。

1＞直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量例2、計(jì)算：

(1)1+2+3+……+n

(2)1+3+5+……+(2n-l)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+……+(2n-l)-2n

請(qǐng)同學(xué)們先完成(1)-(3),并請(qǐng)一位同學(xué)回答。

生5：直接利用等差數(shù)列求和公式(I),得

(1)1+2+3+.....+n=

(2)1+3+5+……+(2n-l)=

(3)2+4+6++2n==n(n+l)

師：第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)？是否為等差數(shù)列？能否直接運(yùn)

用Sn公式求解？若不能，那應(yīng)如何解答？小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言

解答。

生6：(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)

分開，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以

原式=[1+3+5+……+(2n-l)]-(2+4+6+……+2n)

=n2-n(n+l)=-n

生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為

故可得另一解法:

原式=-1-1-……-l=-n

n個(gè)

師：很好！在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到

好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)

引起錯(cuò)解。

例3、(1)數(shù)列｛an｝是公差d=-2的等差數(shù)列，如果al+a2+a3=12,

a8+a9+al0=75,求al,d,SlOo

生8：(1)由al+a2+a3=12得3al+3d=12,即al+d=4

Xd=-2,/.al=6

.*.S12=12al+66X(-2)=-60

生9：(2)由al+a2+a3=12,al+d=4

a8+a9+al0=75,al+8d=25

解得al=l,d=3.*.S10=10al+=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn

公式有5個(gè)變量。已知三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩

個(gè)變量(知三求二)，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外

練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。

師：(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編)

①數(shù)列｛an｝等差數(shù)列，若al+a2+a3=12,a8+a9+al0=75,且Sn=145,

求al,d,n

②若此題不求al,d而只求S10時(shí)，是否一定非來求得al,d不

可呢？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求al+alO的值。

2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式。

例4,在等差數(shù)列｛an｝,(1)已知例+a5+al2+al5=36,求S16；

(2)已知a已20,求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)

師：來看第(1)小題，寫出的計(jì)算公式S16==8(al+a6)與已知相

比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有al+al6=a2+al5=a5+al2=18,所

以S16=8X18=144o

師：對(duì)?。ê?jiǎn)單小結(jié)）這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出al,

al6和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求al與an的和，于是這個(gè)問題

就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。

師：由于時(shí)間關(guān)系，我們對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一

一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)dWO時(shí)，Sn是