概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案-第四版-第1章(浙大)

.......學(xué)習(xí)參考.寫出下列隨機試驗的樣本空間S：記錄一個班一次數(shù)學(xué)考試的平均分數(shù)（設(shè)以百分制記分）。生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為之，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查結(jié)果。在單位圓內(nèi)任取一點，記錄它的坐標。(1)解：設(shè)該班學(xué)生數(shù)為n，總成績的可取值為0,1,2,3，…，100n，(2)解：S={10、11、12…}所以試驗的樣本空間為S={i/n|i=1、2、3…100n}(3)解：設(shè)1為正品0為次品S={00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010}(4)解：取直角坐標系，則S={（x，y）|x2+y2<1}取極坐標系，則S={（ρ，θ）|ρ<1,0≤θ<2π}2.設(shè)A,B,C為三個事件，用A,B,C的運算關(guān)系表示下列各事件：（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生（3）A,B,C中至少有一個要發(fā)生（4）A,B,C都發(fā)生（5）A,B,C都不發(fā)生（6）A,B,C中不多于一個發(fā)生（7）A,B,C中不多于兩個發(fā)生（8）A,B,C中至少有兩個發(fā)生解：以下分別用Di（i=1,2,3,4,5,6,7,8）來表示（1），（2），（3），（4），（5），（6）,(7),(8)（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生表示,同時發(fā)生，故D1=（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生表示A，B，同時發(fā)生，故D2=AB（3）法一：A,B,C中至少有一個要發(fā)生由和事件定義可知，D3=A∪B∪C法二：A,B,C中至少有一個要發(fā)生是事件A,B,C都不發(fā)生的對立面，即D3=法三：A,B,C中至少有一個要發(fā)生可以表示為三個事件中恰有一個發(fā)生，恰有兩個發(fā)生或恰有三個發(fā)生，即D3=∪∪∪∪∪∪ABC(4)A,B,C都發(fā)生表示A,B,C都發(fā)生，故D4=A∪B∪C=ABC(5)A,B,C都不發(fā)生表示都不發(fā)生，故D5=(6)法一：A,B,C中不多于一個發(fā)生可以表示為三個事件中恰有一個發(fā)生或一個都不發(fā)生，即D6=∪∪∪法二：A,B,C中不多于一個發(fā)生可以表示為至少有兩個不發(fā)生，即D6=∪∪法三：A,B,C中不多于一個發(fā)生是至少有兩個發(fā)生的對立面，即D6=(7)法一：A,B,C中不多于兩個發(fā)生即為三個事件發(fā)生兩個，發(fā)生一個或者一個都不發(fā)生，即D7=∪∪∪∪∪∪法二：A,B,C中不多于兩個發(fā)生可以表示為至少有一個不發(fā)生，即D7=∪∪法三：A,B,C中不多于兩個發(fā)生可以表示為三個都發(fā)生的對立面，即D7=(8)法一：A,B,C中至少有兩個發(fā)生即為三個事件中發(fā)生兩個或者三個都發(fā)生，即D8=∪∪∪ABC法二：A,B,C中至少有兩個發(fā)生，即D8=AB∪AC∪BC法三：A,B,C中至少有兩個發(fā)生可以表示為三個事件只發(fā)生一個或一個都不發(fā)生的對立面，D8=3（1）設(shè)A,B,C三個事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A∪B,A（3）P(A)=1/2,(A.)若A,B互不相容，求P(AB(B.)若P(AB)=1/8,求P(AB)（1）P(A∪B∪C)＝P（A）＋P（B）＋P(C)—P（AB）—P（AC）—P（BC）＝3/4-1/8＝5/8（2）P(A∪B)=P（A）+P（B）-P（AB）=5/6-1/10=11/15P（AB）=P(=1-P(A∪B)＝1－11/15＝4/15P(A∪B∪C)＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）—P（AC）—P（BC）＋P（ABC）＝17/20P（ABC）=P(=1-P(A∪B∪C)＝1-17/20＝3/20P（ABC）＝P（C）-P（AC）-P（BC）＋P(ABC)＝7/60P（AB∪C）=P(=1-P(A)-P(B)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)＝7/20（3）A.P（AB）＝P(A)=1/2因為AB不相容所以AB一個發(fā)生另一個一定不發(fā)生B.P（AB）＝P（A）-P（AB）＝3/84.設(shè)A,B是兩個事件.已知AB驗證事件A和事件B恰有一個發(fā)生的概率為P(A)+P(B)-2P(AB).解：法一（1）∵A∴∴AB∴AS=BS,∴A=B.（2）事件A與事件B恰有一個發(fā)生即事件AB∪P(AB∪=P(AB)+P(A=P[A(S-B)]+P[(S-A)B]=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)法二（1）∵A又AB∴A-B=B-A∴A=B即證。（2）原理同（1），事件A與事件B恰有一個發(fā)生即事件AB∪即P(AB∪=P(AB)+P(A=P(A-B)+P(B-A)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)5.10片藥片中有5片安慰劑。（1）從中任意抽取5片，求其中至少有兩片是安慰劑的概率。(2)從中每次取一片，作不放回抽樣，求前3次都取到安慰劑的概率。解：（1）設(shè)其中至少有兩片是安慰劑的概率為事件A.P（2）設(shè)前三次都取到安慰劑為事件B。P(B)=6在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章。任選3人記錄其紀念章的號碼。求最小號碼為5的概率.求最大號碼為5的概率.解：E:在房間里面任選3人，記錄其佩戴紀念章的號碼.10人中任選3人C103=120種，即樣本總數(shù)。記事件A為最小號碼為5，P(A)=C52/C103P(B)=C42/C1037.某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶，在搬運中所有標簽脫落，交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問一個訂貨為4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少？解：設(shè)事件“該訂戶得到4桶白漆，3桶黑漆，2桶紅漆訂貨”為事件A共17桶油漆，該客戶訂貨共4+3+2=9桶，題意即為客戶在17桶中選9桶，其中10桶白漆中占有4桶，4桶黑漆中占有3桶，3桶紅漆中占有兩桶。所以分母為C917，分子為C410C34C23，即所求概率為P（A）=C1048．在1500件產(chǎn)品中有400件次品、1100件正品。任取200件（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有2件次品的概率。解：設(shè)A表示事件“恰好有90件次品”，Bi表示事件“恰好有i件次品（i＝0、1）”，C表示事件“至少有2件次品”。E表示“從1500件產(chǎn)品中任取200件”（1）N

(S)=CN(A)=CP=（2）C=S-B0-B1P(C)=P(S-B0-B1)=P(S-[B0∪B1])＝1-P(B0)-P(B1)P9.從5雙不同的鞋子中任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？解、法一、設(shè)至少有兩只配成一對的為事件A,這四只鞋中沒有配成一對的為事件,則P（A）=1-P()=1-=故四只鞋中至少有兩雙配成一雙的概率為13/21法二、設(shè)至少有兩只配成一對的為事件A,這四只鞋中沒有配成一對的為事件,則P（A）=1-P（）=1-=（因為不考慮次序所以除以4?。┕仕闹恍兄辽儆袃呻p配成一雙的概率為13/21法三、設(shè)至少有兩只配成一對的為事件A，則P(A)==法四、設(shè)至少有兩只配成一對的為事件A,這四只鞋中沒有配成一對的為事件,則P（A）=1-P（）=1-=10.在11張卡片上分別寫上probability這11個字母，從中任意連抽7張，求其排列結(jié)果為ability的概率。解：方法一：假設(shè)連抽7張排列結(jié)果為ability為事件AP（A）=C21方法二：以A，B，C，D，E，F(xiàn)，G依次表示取得字母a,b,i,l,i,t,y各事件，則所求概率為P（ABCDEFG）=P（A）P（B|A）P（C|AB）P（D|ABC）P（E|ABCD）×P（F|ABCDE）P（G|ABCDEF）=111×11、將3只球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概率。解：將3只球隨機放入4個杯子中去的方法總數(shù)有4×設(shè)杯子中球的最大個數(shù)為i個為事件A則有12、50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3只鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘。若將3只強度太弱的鉚釘都用在一個部件上，則這個部件強度就太弱。問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？解：方法一設(shè)一個部件輕度太弱為事件AP（A）=C方法二將部件自1到10編號。E：隨機地取鉚釘，使各部件都裝3只鉚釘。以AiP（Ai）=C已知A1P=P{A1=P（A1）+P（A2）+…+P（=10=113、一俱樂部有五名一年級學(xué)生，2名二年級學(xué)生，3名三年級學(xué)生，2名四年級學(xué)生。在其中任選4名學(xué)生，求一、二、三、四年級的學(xué)生各一名的概率。在其中任選5名學(xué)生，求一、二、三、四年級的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率。解：（1）設(shè)所求事件為A事件PA（2）設(shè)所求事件為B事件，B事件包括一二三四年級中有一個年級有兩人入選，其余年級一人入選的四種情況。PB==10/3314.（1）已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（AB）=0.5，求條件概率P（B|A∪B）先完整題干再解題?。。。?）已知P（A）＝1/4，P（B|A）＝1/3，P（A|B）＝1/2，求P（A∪B）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）—P（AB）解：P（B|A∪B）＝P（B∩A∪＝P（AB）∵P（A）＝1-P（A）＝1-0.3＝0.7P（B）＝1-P（B）＝1-0.4＝0.6又∵P（AB）＝P（A）-P（AB）＝0.7-0.5＝0.2P（A∪B）＝P（A）＋P（B）-P（AB）＝0.7＋0.6-0.5＝0.8∴P（B|A∪B）＝P（AB）＝0.2＝0.25（2）∵P（B|A）＝P（AB∴P（AB）＝P（B|A）P（A）＝13×＝1∵P（A|B）＝P（AB∴P（B）＝P（AB＝1＝1P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）＝14+16＝115.擲兩顆骰子，已知兩顆骰子的點數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點的概率。法一：題設(shè)的樣本空間為{（1,6）（2,5）（3,4）（6,1）（5,2）（4,3）}，由題得，其中有一顆為1點的事件有（1,6）（6,1）兩個樣本點設(shè)要求的事件為事件AP法二：投擲兩顆篩子其中一顆為一點為事件C設(shè)投擲兩顆骰子，兩顆骰子點數(shù)之和為7為事件B因為題設(shè)事件為CBP(CB)=C2所以,根據(jù)條件概率公式，PCB=16.根據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P{孩子得病}=0.6P{母親得病|孩子得病}=0.5P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：設(shè)孩子得病為事件A，母親得病為事件B，父親得病為事件C。則P（A）=0.6P（B|A）=0.5=P(AB)P(A)P(C|AB)=0.4=所以P(AB)=0.3P(ABC)=0.12所以P(C|AB)=0.6P（ABC）=P（C|AB）×P（AB）=0.6×0.3=0.1817.已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，在其中取兩次，每次任取一件，作不放回抽樣，求下列事件的概率：（1）兩次都是正品；（2）兩次都是次品；（3）一件是正品一件是次品；（4）第二次取出的是次品。解（1）設(shè)連續(xù)兩次都是正品為事件AP（A）=8（2）設(shè)連續(xù)兩次都是次品為事件BP（B）=（3）設(shè)一件是正品一件是次品為事件CP（C）=（4）設(shè)第二次取出的是次品為事件DP（D）=218.某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過3次而接通所需電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解：（1）設(shè)撥號不超過3次而接通所需電話為事件AP（A）=1（2）設(shè)在已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)的情況下，撥號不超過3次而接通所需電話為事件BP（B）=119.（1）設(shè)甲袋中裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球、M只紅球。今從甲袋中任意取一只放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球。問取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子中裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子中裝有4只紅球、5只白球。先從第一只盒中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒中任取一只球，求取到白球的概率是多少？解:（1）設(shè)A,B分別表示“從甲袋取得白球，紅球放入乙袋”，C表示“再從乙袋中取得白球”因為C=AC+BC且AB互斥所以P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=n（2）設(shè)A為“從第一個盒子中取得兩只紅球”，B為“從第一個盒子中取得兩只白球”，C為“從第一個盒子中取得一只紅球，一只白球”，D為“從第二個盒子中取得白球”顯然A,B,C兩兩互斥，AUBUC=S，所以P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=C5220．某種產(chǎn)品的商標為“MAXAM”，其中有2個字母脫落，有人隨意放回，求放回后仍為“MAXAM”的概率。解法一：任意拿下2個的方法總共C52種，其中不關(guān)心順序的2種，每種掉落的方式放回方式有2種，其中有錯誤的方式是C52-2

因此總的放回方式根據(jù)乘法原理是C5設(shè)A表示“錯誤的放回方式”B表示“正確的放回方式”，顯然AUB=S，且A，B互斥P（A）=C5所以P（B）=1-P（A）=1-0.4=0.6解法二：以A，B，C，D，E依次表示事件“脫落M、M”，“脫落A、A”“脫落M、A”“脫落X、A”“脫落X、M”，以事件G表示事件“放回后仍為MAXAM”，所需求的是P（G），可知A、B、C、D、E兩兩互不相容，且AUBUCUDUE=S。已知P（A）=C22C52=0.1P（B）=C22而P（G|A）=P（G|B）=1P（G|C）=P（G|D）=P（G|E）=0.5由全概率公式得P（G）=P（G|A）P（A）+P（G|B）P（B）+P（G|C）P（C）+P（G|D）P（D）+P（G|E）P（E）=0.1+0.1+0.2+0.1+0.1=0.621.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲者，問此人是男性的概率是多少？解：設(shè)A={男人}，B={女人}，C={色盲}。顯然AUB=S，且A，B互斥，所以由已知條件可知P（A）=P（B）=12所以由貝葉斯公式，有P（A|C）=P（AC）P（C）=P（A）P（C|A）P22.一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為P2（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：用Ai表示“該學(xué)生第i次及格，（i=1,2）”，用B表示事件“該學(xué)生取得該資格”已知P(A1)=P(A2|A1)=P，（1）（2）P(A1|A2)=P(A1A2)/P(A2)=P(A2=p*p=223.將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，某接收系統(tǒng)接收時將A誤收為B的概率為0.02，B被誤收為A的高率為0.01，信息A和B傳送的頻繁程度為2：1?，F(xiàn)在該系統(tǒng)接收到信息A，則原發(fā)信息也為A的概率是多少？解：設(shè)C表示事件“將信息A傳遞出去”，則C表示事件“將信息B傳遞出去”，設(shè)D表示事件“接收到信息A”,則D表示“接收到信息B”。本題所求概率為PC已知PDC=0.02，P由于P(C)+P(C)=1，所以P(C)=23，P(C)=1所以，PC24有兩箱同種類型的零件。第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：用Aj表示“挑出第j箱產(chǎn)品” j=1,2，用Bi表示“第i次從箱中取到的是一等品”i=1、2顯然P(A1)=P(A2)=1/2P(B1|A1)=10/50P(B1|A2)=18/30全概率公式得：P(B1)=P(B1|A1)P(A1)+P(B1|A2)P(A2)（2）P(B1B2)=P(B1B2|A1)P(A1)+P(B1B2|A2)P(A2)其中P(B1B2|A1)＝10P(B1B2|A2)=18所以：25．某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時間5:35～5:395:40～5:445:45～5:495:50～5:54遲于5:54乘地鐵概率0.100.250.450.150.05乘汽車概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)他乘坐地鐵回家為事件A，設(shè)5:47即5:45～5:49到家是事件B。P=26.病樹的主人外出，委托鄰居澆水，設(shè)已知如果不澆水，樹死去的概率為0.8.若澆水則樹死去的概率為0.15。有0.9的把握確定鄰居會記得澆水。（1）求主人回來時樹還活著的概率。（2）若主人回來樹已死去，求鄰居忘記澆水的概率。解：設(shè)主人回來時樹還活著為事件A，鄰居記得澆水為事件B。PP27、設(shè)本題設(shè)計的事件均有意義。設(shè)A、B都是事件（1）已知P（A）>0，證明P（AB|A）≥P（AB|A∪B）（2）若P（A|B）=1，證明P（B|A）=1 （3）若設(shè)C也是事件，且有P（A|C）≥P（B|C），P（A|C）≥P（B|C），證明P（A）>>P（B）解：（1）P（AB|A）=P（AAB)P（AB|A∪B）=P（A∪BAB）P（A∪B）因為P(A)≤PAB所以P（AB)因此證明P（AB|A）≥P（AB|A∪B）（2）P（B|A）=P（BA)P（因為P（A|B）=P（AB)所以P(AB)=P(B)所以P（B|A）=1-（3）P（A）=P(AC)+P(AC)=P（A|C）P(C)+P（A|C）P（C）P（B）=P(BC)+P(BC)=P（B|C）P(C)+P（B|C）P（C）所以P(A)-P(B)=P(C)(P（A|C）-P（B|C）)+P（C）(P（A|C）-P（B|C）)已知P（A|C）≥P（B|C）P（A|C）≥P（B|C）所以P(A)-P(B)≥0所以P（A）≥P（B）28．有兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，從中各取一個，設(shè)各花籽是否發(fā)芽相互獨立（1）這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率（2）至少有一顆能發(fā)芽的概率（3）恰有一顆能發(fā)芽的概率解：設(shè)事件A為a花籽發(fā)芽，事件B為b花籽發(fā)芽P（AB）=P(A)P(B)=0.72P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=0.98P(AB∪AB)=P（A∪B）29、根據(jù)報道美國人血型的分布近似地胃：A型為37％，O型為44％，B型為13％，AB型為6％。夫妻擁有的血型是相互獨立的。（1）B型的人只有輸入B、O兩種血型才安全。若妻為B型，夫為何種血型未知，求夫是妻的安全輸血者的概率。（2）隨機地取一對夫婦，求妻為B型夫為A型的概率。（3）隨機地取一對夫婦，求其中一人為A型，另一人為B型的概率。（4）隨機地取一對夫婦，求其中至少有一人是O型的概率。解：設(shè)一個人的血型為A,B,0，AB分別為事件A,B,O,AB.設(shè)夫是妻的安全輸血者為事件C,則P（C）=P（B）+P（O）=13%+44%=0.57設(shè)妻為B型夫為A型為事件D,則P（D）=P（B）·P（A）=13%×37%=0.0481設(shè)隨機地取一對夫婦，其中一人為A型，另一人為B型為事件X，則事件X包括妻為B型夫為A型和妻為A型夫為B型,P（X）=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.0962(4)法一：設(shè)隨機地取一對夫婦，其中至少有一人是O型為事件Y，一個人的血型不是O為事件,則事件Y可表示為兩人恰有一人為O型和兩人都是O型，P(Y)=P(O)·P()+P(O)·P()+P(0)·P(O)=0.6864法二：設(shè)隨機地取一對夫婦，其中至少有一人是O型為事件Y，則事件Y的對立事件為兩人都不是O型血（事件）,則P(Y)=1-P()=1-P()·P()=0.686430、（1）給出事件A、B的例子，使得（=1\*romani）P（AB）＜P（A），（=2\*romanii）P（AB）=P（A）（=3\*romaniii）P（AB）＞P（A）（2）設(shè)事件A、B、C相互獨立，證明：（=1\*romani）C與AB相互獨立（=2\*romanii）C與AB相互獨立。（3）設(shè)事件A的概率P（A）=0，證明對于任意另一事件B，有A、B相互獨立。（4）證明事件A、B相互獨立的充要條件是P（AB）=P（AB）答：（1）（=1\*romani）當(dāng)事件B發(fā)生會是事件A發(fā)生的概率減小時，P（AB）＜P（A）比如A是騎自行車上學(xué)的學(xué)生，B是男生，全集是所有學(xué)生（=2\*romanii）當(dāng)事件B發(fā)生對A沒有影響，即A、B互為獨立事件時，P（AB）=P（A）比如事件A是扔骰子得到一點，事件B是明天下雨。（=3\*romaniii）當(dāng)事件B發(fā)生會是事件A發(fā)生的概率增加時，P（AB）＞P（A）比如事件A是課余時間我去健身，事件B是課余時間室友們健身，顯然他們很有可能對我的決定產(chǎn)生影響。（2）（=1\*romani）∵A、B、C相互獨立∴P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=P（AB）P（C）即P（（AB）C）=P（AB）P（C）∴C與AB相互獨立（=2\*romanii）P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）∴P（A∪B）P（C）=P（A）P（C）+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P((A∪B)C)∴C與A∪B相互獨立（3）因ABA,故若P（A）=0，則0?P（AB）?P(A)從而P(AB)=0=P(B)?0=P(B)?P(A)按定義，A,B相互獨立。（4）必要性.設(shè)A,B相互獨立，則A,也相互獨立，從而只P（A|B）=P(A),P(A|)=P(A).故P（A|B）=P(A|).充分性.設(shè)P（A|B）=P(A|)，按定義此式即表示=由比例的性質(zhì)得=31.設(shè)事件A，B的概率均大于零，說明以下敘述（1）必然對，（2）必然錯，（3）可能對。并說明理由。（1）若A與B互不相容，則它們相互獨立。（2）若A與B相互獨立，則它們互不相容。（3）P(A)=P(B)=0.6，且A,B互不相容。（4）P(A)=P(B)=0.6，且A,B相互獨立。解：（1）、（2）必然錯原因：若A，B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)≠0若A，B互不相容，則AB=Φ,即P(AB)=0所以（1）、（2）必須錯（3）必然錯原因：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1P(A)=P(B=0.6)筆誤即P(AB)≥0.2≠0則A，B不可能互不相容（4）可能對原因：當(dāng)P（AB）=P(A)P(B)=0.36時，A，B相互獨立，否則A，B不相互獨立。32.有一種檢驗艾滋病毒的檢驗法，其結(jié)果有概率0.005報道為假陽性（即不帶艾滋病毒者，經(jīng)此法檢驗有0.005的概率被認為帶艾滋病毒），今有140名不帶艾滋病毒的正常人全都接受此種檢驗，被報道至少有一人帶艾滋病毒的概率為多少？解：設(shè)事件A表示被報道至少有一人帶艾滋病毒P(A)=k=1=1-P=1-C=0.5043盒中有編號為1,2,3,4的4只球，隨機地自盒中取一只球，事件A為“取得的是1號球或2號球”，事件B為“取得的是1號或3號球”，事件C為“取得的是1號或4號球”驗證：P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，即事件A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不是相互獨立的。解、由題意知，事件AB，AC，BC，ABC均為“取得的是1號球”則P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=，且P(A)=P(B)=P(C)==所以P(AB)=P(A)P(B)=，P(AC)=P(A)P(C)=，P(BC)=P(B)P(C)=,但P(ABC)=≠P(A)P(B)P(C)=。故可證明事件A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不是相互獨立的。試分別求以下兩個系統(tǒng)的可靠性：設(shè)有四個獨立工作的元件1，2，3，4，它們的可靠性分別為p1,p2,p3,p4,將它們按題34圖（1）的方式連接（稱為并串聯(lián)系統(tǒng)）設(shè)有5個獨立工作的元件1,2,3,4,5，它們的可靠性均為p,將它們按題34圖（2）的方式連接（稱為橋式系統(tǒng)）。1234123412345解：（1）設(shè)系統(tǒng)工作為事件B，元件1,2,3,4工作分別為事件A1，A2，A3，A4，則P（B）=P（A1）P（A2A3∪A4）=P1[P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4)]=p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4(2)設(shè)系統(tǒng)工作為事件B,元件1,2,3,4,5工作分別為事件A1，A2，A3，A4，A5則法一P(B)=P3P(A1∪A4)P(A2∪A5)+(1-P3)P(A1A2∪A4A5)=p（p+p-p*p）(p+p-p*p)+(1-p)(P*P+p*p-p*p*p*p)= 法二P(B)=P(A1A2∪A1A3A5∪A4A5∪A4A3A2)=p(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5)-P(A1A2A4A5)-P(A1A2A4A3A2)-P(A1A3A5A4A5)-P(A1A3A5A4A3A2)-P(A4A5A4A3A2)+P(A1A2A1A3A5A4A5)+P(A1A2A1A3A5A4A3A2)+P(A1A2A4A5A4A3A2)+P(A1A3A5A4A5A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2)= 35、如果一危險情況C發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出警報，我么可以借用兩個或多個開關(guān)并聯(lián)以改善可靠性.在C發(fā)生時這些開關(guān)每一個都應(yīng)閉合，且若至少一個開關(guān)閉合了，警報就發(fā)出.如果兩個這樣的開關(guān)并聯(lián)連接，它們每個具有0.96的可靠性（即在情況C發(fā)生時閉合的概率），問這時系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少？如果需要有一個可靠性為0.9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)？設(shè)各開關(guān)閉合與否是相互獨立的.解：法一設(shè)Ai表示事件“第i只開關(guān)閉合”，則Ai表示事件“第i只開關(guān)斷開”，i∈N*.根據(jù)題意，Ai(i∈N（1）當(dāng)有兩只開關(guān)并聯(lián)時,系統(tǒng)可靠性為P(B2=P(A1=1-P(A=1-P(A1=1-P(A1=1-(1-0.96)(1-0.96)=0.9984當(dāng)有兩個開關(guān)并聯(lián)連接時，系統(tǒng)可靠性為0.9984.（2）當(dāng)有n只開關(guān)并聯(lián)時，系統(tǒng)可靠性為P(Bn=P(A1=1-P(A1=1-P(A1)P(A2)?P(=1-(1-0.96)=1-0.04所以要使P(Bn)達到0.9999，即P(Bn)1-0.04n即0.04n即nlg即n≥因為n只能為整數(shù)，所以n至少為3，即如果需要有一個可靠性為0.9999的系統(tǒng)，則至少需要用3只開關(guān)并聯(lián).法二解：設(shè)兩個開關(guān)分別為A和B.電路的可靠性即開關(guān)至少一個閉合，又因為A與B相互獨立，故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B)=0.96+0.96-0.96*0.96=0.9984解：為使系統(tǒng)可靠性達到0.9999，設(shè)需要n個開關(guān)，第i個開關(guān)用Xi表示，n個開關(guān)相互獨立，同理，P(X1+X2+X3+...+Xi+…+Xn)=i=1則令n=3時，P(X1+X2+X3)=P(X1)+P(X2)+P(X3)-P(X1X2)-P(X1X3)-P(X2X3)+P(X1X2X3)=P(X1)+P(X2)+P(X3)-P(X1X2)-P(X1X3)-P(X2X3)+P(X1)P(X2)P(X3)=0.96*3-0.96*0.96*3+0.963=0.999936≥0.9999因此當(dāng)n=3時，已可以使系統(tǒng)達到要求的可靠性。故至少需要用3個這樣開關(guān)。36、三人獨立地破譯一份密碼，已知個人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？解：設(shè)Ai表示事件“第i個人譯出密碼”，i=1,2,3.A則事件“至少一人能將此密碼譯出”即A1P(A1=1-P(A1=1-P(A1=1-P(A1)P(A2)P(=1-(1-