河北省省級示范高中聯(lián)合體2024屆數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

河北省省級示范高中聯(lián)合體2024屆數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)，是偶函數(shù)的為（）A． B． C． D．2．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，3．某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個階段進行，規(guī)定：初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．則獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為（）A．640 B．520 C．280 D．2404．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．5．下列說法錯誤的是（）A．若樣本的平均數(shù)為5，標準差為1，則樣本的平均數(shù)為11，標準差為2B．身高和體重具有相關(guān)關(guān)系C．現(xiàn)有高一學(xué)生30名，高二學(xué)生40名，高三學(xué)生30名，若按分層抽樣從中抽取20名學(xué)生，則抽取高三學(xué)生6名D．兩個變量間的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的值越大6．若向量，，且，則＝()A． B．－ C． D．－7．球是棱長為的正方體的內(nèi)切球，則這個球的體積為（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．18 B．13 C．9 D．79．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是()A． B．C． D．10．在中，，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．己知為數(shù)列的前項和，且，則_____．12．若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.13．已知數(shù)列滿足：，，則_____.14．和2的等差中項的值是______.15．若關(guān)于的方程（）在區(qū)間有實根，則最小值是____．16．有一個底面半徑為2，高為2的圓柱，點，分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點或的距離不大于1的概率是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在平面四邊形中，，,,,．（1）求的長；（2）求的長．18．已知向量，且（1）當(dāng)時，求及的值；（2）若函數(shù)的最小值是，求實數(shù)的值.19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求角C；（2）若，，求的面積.20．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數(shù)，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.21．已知數(shù)列的前項和為，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）令，若對恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

逐項判斷各項的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷是否滿足即可得解.【題目詳解】易知各選項的定義域均關(guān)于原點對稱.，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B.【題目點撥】本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.3、B【解題分析】

由頻率分布直方圖得到初賽成績大于90分的頻率，由此能求出獲得復(fù)賽資格的人數(shù)．【題目詳解】初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，由頻率分布直方圖得到初賽成績大于90分的頻率為：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．∴獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為：0.1×800＝2．故選：B．【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出．【題目詳解】設(shè)此扇形半徑為r，扇形弧長為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A【題目點撥】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

利用平均數(shù)和方差的定義，根據(jù)線性回歸的有關(guān)知識和分層抽樣原理，即可判斷出答案．【題目詳解】對于A：若樣本的平均數(shù)為5，標準差為1，則樣本的平均數(shù)2×5+1＝11，標準差為2×1＝2，故正確對于B：身高和體重具有相關(guān)關(guān)系，故正確對于C：高三學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為：所以抽取20名學(xué)生中高三學(xué)生有名，故正確對于D：兩個變量間的線性相關(guān)性越強，應(yīng)是相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，故錯誤故選：D【題目點撥】本題考查了線性回歸的有關(guān)知識，以及平均數(shù)和方差、分層抽樣原理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標表示，列出等式，化簡即可求出．【題目詳解】因為，所以，即，解得，故選B．【題目點撥】本題主要考查向量平行的坐標表示以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用．7、A【解題分析】

棱長為的正方體的內(nèi)切球的半徑，由此能求出其體積．【題目詳解】棱長為的正方體的內(nèi)切球的半徑＝＝1，體積．故選：A．【題目點撥】本題考查了正方體的內(nèi)切球的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

利用等差數(shù)列通項公式、前項和列方程組，求出，．由此能求出．【題目詳解】解：等差數(shù)列的前項和為，，，，解得，．．故選：．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列第7項的值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】關(guān)于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化為，解得，∴所求不等式的解集是,故選C.10、B【解題分析】

利用余弦定理、三角形面積公式、正弦定理，求得和，通過等式消去，求得的兩個值，再判斷三角形的形狀.【題目詳解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【題目點撥】本題在求解過程中對存在兩組解，要注意解答的完整性與嚴謹性，綜合兩種情況，再對的形狀作出判斷.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)可知，得到數(shù)列為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列前項和公式構(gòu)造方程可求得；利用等差數(shù)列通項公式求得結(jié)果.【題目詳解】由得：，即：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列又，解得：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式、前項和公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，進而利用等差數(shù)列中的相關(guān)公式來進行求解.12、－14【解題分析】

由不等式的解集求出對應(yīng)方程的實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，從而可得結(jié)果.【題目詳解】不等式的解集是，所以對應(yīng)方程的實數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式的根之間的關(guān)系，以及韋達定理的應(yīng)用，屬于簡單題.13、【解題分析】

從開始，直接代入公式計算，可得的值.【題目詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對簡單.14、【解題分析】

根據(jù)等差中項性質(zhì)求解即可【題目詳解】設(shè)等差中項為，則，解得故答案為：【題目點撥】本題考查等差中項的求解，屬于基礎(chǔ)題15、【解題分析】

將看作是關(guān)于的直線方程，則表示點到點的距離的平方，根據(jù)距離公式可求出點到直線的距離最小，再結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，可求出最小值?！绢}目詳解】將看作是關(guān)于的直線方程，表示點與點之間距離的平方，點到直線的距離為，又因為，令，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為．【題目點撥】本題主要考查點到直線的距離公式以及對勾函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的的應(yīng)用。16、【解題分析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點的距離等于1的點構(gòu)成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點到點，的距離不大于1的概率；【題目詳解】解：由題意可知，點P到點或的距離都不大于1的點組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．關(guān)鍵是明確滿足題意的測度為體積比．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）在中，先得到再利用正弦定理得到.（2）在中，計算，由余弦定理得到，再用余弦定理得到.【題目詳解】（1）在中，,則,又由正弦定理，得（2）在中，,則，又即是等腰三角形，得.由余弦定理，得所以.在中,由余弦定理，得所以.【題目點撥】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生利用正余弦定理解決問題的能力.18、（1），（2）.【解題分析】

（1）以向量為載體求解向量數(shù)量積、模長，我們只需要把向量坐標表示出來，最后用公式就能輕松完成；（2）由（1）可以把表達式求出，最終化成二次復(fù)合型函數(shù)模式，考慮軸與區(qū)間的位置關(guān)系，我們就能對函數(shù)進行進一步的研究.【題目詳解】（1）因為，所以又因為，所以（2），當(dāng)時，.當(dāng)時，不滿足.當(dāng)時，，，不滿足.綜上，實數(shù)的值為.【題目點撥】在研究三角函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)（值域、對稱中心、對稱軸、單調(diào)性……）我們都是將其化為（或者余弦、正切相對應(yīng)）的形式，利用整體思想，我們能比較方便的去研究他們相關(guān)性質(zhì).第二問中我們其實就是求最小值問題，當(dāng)然摻雜了二次函數(shù)的“軸變區(qū)間定”的考點.，綜合性較強.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理進行邊化角，然后得到的值，從而得到；（2）根據(jù)余弦定理，得到關(guān)于的方程，從而得到，再根據(jù)面積公式，得到答案.【題目詳解】（1）在中，根據(jù)正弦定理，由，可得，所以，因為為內(nèi)角，所以，所以因為為內(nèi)角，所以，（2）在中，，，由余弦定理得解得，所以.【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于簡單題.20、（1），；（2）或時，L取得最大值為米．.【解題分析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù)L=在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．所以當(dāng)時，即

或

時，L取得最大值為米．【題目詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設(shè)，則，由于，由于在上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，即或時，L取得最大值為米．【題目點撥】三角函數(shù)值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數(shù)式變換成的形式求值域3.通過換元，轉(zhuǎn)化成其他類型函數(shù)求值域21、（1）證明見解析，（2）【解題分析】

（1）當(dāng)時，結(jié)合可求得；當(dāng)且時，利用可整理得，可證得數(shù)列為等比數(shù)列；根據(jù)等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得，代入可