2024屆新疆喀什市深喀第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆新疆喀什市深喀第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為，最大值為1 B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為1 D．的最小正周期為，最大值為2．三棱錐中，平面且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．3．將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移A．在區(qū)間[-πB．在區(qū)間[5πC．在區(qū)間[-πD．在區(qū)間[π4．計(jì)算:A． B． C． D．5．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A． B． C． D．6．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．7．右邊莖葉圖記錄了甲、乙兩組各十名學(xué)生在高考前體檢中的體重（單位：）.記甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，則（）A． B．C． D．8．過(guò)兩點(diǎn)A，B(，的直線傾斜角是，則的值是（）A．B．3C．1D．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，–1）到直線l：4x–3y+4=0的距離為（）A．3 B． C．1 D．310．已知函數(shù)的最大值是2，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知變量和線性相關(guān)，其一組觀測(cè)數(shù)據(jù)為，由最小二乘法求得回歸直線方程為.若已知，則______.12．我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術(shù)”，即的，其中分別為內(nèi)角的對(duì)邊.若，且則的面積的最大值為____．13．若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積為______.14．方程的解為_________.15．的值為___________．16．函數(shù)的定義域記作集合，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)，，，），記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則事件“”的概率為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北的方向上，仰角為，行駛4km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上．（1）求此山的高度（單位：km）；（2）設(shè)汽車行駛過(guò)程中仰望山頂D的最大仰角為，求．18．某校從高一（1）班和（2）班的某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)中各隨機(jī)抽取了6份數(shù)學(xué)成績(jī)組成一個(gè)樣本，如莖葉圖所示（試卷滿分為100分）。（1）班（2）班7688672352859293（1）試計(jì)算這12份成績(jī)的中位數(shù)；（2）用各班的樣本方差比較兩個(gè)班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，哪個(gè)班更穩(wěn)定一些？19．如圖，等邊所在的平面與菱形所在的平面垂直，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積20．?dāng)?shù)列中，，.前項(xiàng)和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）若，現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.記數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)：是否能取整數(shù)？若能，請(qǐng)求出的取值集合：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（1）求證：（2）請(qǐng)利用（1）的結(jié)論證明：（3）請(qǐng)你把（2）的結(jié)論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：（4）化簡(jiǎn)：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

結(jié)合二倍角公式，對(duì)化簡(jiǎn)，可求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【題目詳解】由題意，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.由函數(shù)的最小正周期為，故的最小正周期為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)周期性與最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】根據(jù)已知中底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球

∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴的外接圓半徑球心到的外接圓圓心的距離故球的半徑故三棱錐外接球的表面積故選C．3、A【解題分析】

函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移y=sin2kπ-π單調(diào)遞減區(qū)間：2kπ+π2≤2x-π3【題目詳解】本題考查了正弦型函數(shù)圖象的平移變換以及求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4、A【解題分析】

根據(jù)正弦余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)求解.【題目詳解】，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變化，關(guān)鍵在于尋找題目與公式的聯(lián)系.5、C【解題分析】

試題分析：從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型6、B【解題分析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【題目詳解】的面積.

故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x1＝64，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x2＝66，則x1<x2；甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y1＝＝65，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y2＝＝66.5，則y1<y2.8、C【解題分析】試題分析：根據(jù)直線斜率的計(jì)算式有,解得．考點(diǎn)：直線斜率的計(jì)算式．9、A【解題分析】

由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算．【題目詳解】．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，掌握距離公式是解題基礎(chǔ)．點(diǎn)到直線的距離為．10、B【解題分析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，根據(jù)輔助角公式結(jié)合范圍求最值取得的條件即可得解.【題目詳解】由題函數(shù)，最大值是2，所以，平方處理得：，所以，，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)的取值，考查對(duì)三角恒等變換的綜合應(yīng)用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、355【解題分析】

根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，根據(jù)橫坐標(biāo)結(jié)合回歸方程求出縱坐標(biāo)即可得解.【題目詳解】由題：，回歸直線方程為，所以，.故答案為：355【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)回歸直線方程求樣本點(diǎn)的中心的縱坐標(biāo)，關(guān)鍵在于掌握回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，根據(jù)平均數(shù)求解.12、【解題分析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【題目詳解】因?yàn)?，所以整理可得，由正弦定理得因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，的面積的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題用到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和計(jì)算整理能力．13、4.【解題分析】

設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，在直角三角形POA中，求得高,利用體積公式，即可求解．【題目詳解】由題意，如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=，在直角三角形POA中，，∴.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正棱錐體積的計(jì)算，其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì)，以及棱錐的體積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．14、【解題分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及正切函數(shù)的周期為kπ，即可得到原方程的解．【題目詳解】則故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查學(xué)生掌握正切函數(shù)的圖象及周期性，是一道基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

=16、【解題分析】要使函數(shù)有意義，則且，即且，即，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則，則事件“”的概率為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）km．（2）【解題分析】

(1)設(shè)此山高,再根據(jù)三角形中三角函數(shù)的關(guān)系以及正弦定理求解即可.(2)由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí),仰望山頂D的仰角達(dá)到最大,再計(jì)算到直線的距離即可.【題目詳解】解：（1）設(shè)此山高,則,在中,,,．根據(jù)正弦定理得,即,解得（km）．（2）由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí),仰望山頂D的仰角達(dá)到最大,所以過(guò)C作,垂足為E,連接DE．則,,,所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形在實(shí)際中的運(yùn)用,需要根據(jù)題意找到對(duì)應(yīng)的直角三角形中的關(guān)系,或利用正弦定理求解.屬于中檔題.18、（1）80；（2）兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平相同，（1）班成績(jī)更穩(wěn)定一些．【解題分析】

（1）將成績(jī)按照從小到大順序排序，根據(jù)中位數(shù)定義可計(jì)算得到結(jié)果；（2）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)計(jì)算出兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均數(shù)，根據(jù)方差計(jì)算公式可求得樣本方差；由，可得到結(jié)論.【題目詳解】（1）這份成績(jī)按照從小到大的順序排列為：，，，，，，，，，，，中位數(shù)為：（2）計(jì)算（1）班平均數(shù)為：方差為：（2）班平均數(shù)為：方差為：由，知：兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平相同，（1）班成績(jī)更穩(wěn)定一些【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)及方差、利用方差比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的知識(shí)；關(guān)鍵是能夠熟練掌握中位數(shù)、平均數(shù)及方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

解法一：（1）取中點(diǎn)，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.（2）取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，過(guò)作于，可得平面，由即可求解.解法二：（1）取中點(diǎn)，連接，證出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證出平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證出.（2）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再由，利用三棱錐的體積公式即可求解.【題目詳解】解法一：（1）取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）取中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面同理，在平面?nèi)，過(guò)作于，則平面，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，.解法二：（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）取中點(diǎn)，連接，依題意，為等邊三角形，所以，且.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查幾何體的體積及、直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.20、（1）（2）證明見(jiàn)詳解.（3）能取整數(shù),此時(shí)的取值集合為.【解題分析】

（1）利用遞推關(guān)系式,令,通過(guò),求出即可.（2）遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：,化簡(jiǎn)推出數(shù)列是等比數(shù)列.（3）由,求出,求出,得到通項(xiàng)公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數(shù),需為整數(shù),推出的取值集合為時(shí),取整數(shù)【題目詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡(jiǎn)得,又,是等比數(shù)列.（3）由,,又是等比數(shù)列,,,①當(dāng)時(shí),依次為,.②當(dāng)時(shí),,,,要使取整數(shù),需為整數(shù),令,,,要么都為整數(shù),要么都不是整數(shù),又所以當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為整數(shù),即的取值集合為時(shí),取整數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用遞推公式結(jié)合,為判斷等比數(shù)列,考查數(shù)列前項(xiàng)和的比的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與