2024屆江蘇省宿遷市重點中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆江蘇省宿遷市重點中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某協(xié)會有200名會員，現(xiàn)要從中抽取40名會員作樣本，采用系統(tǒng)抽樣法等間距抽取樣本，將全體會員隨機(jī)按1~200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號，…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第1組至第3組抽出的號碼依次是（）A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，122．已知內(nèi)角的對邊分別為，滿足且，則△ABC（）A．一定是等腰非等邊三角形 B．一定是等邊三角形C．一定是直角三角形 D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形3．德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1（注：1可以多次出現(xiàn))，則的所有不同值的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．324．已知，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．5．已知且為常數(shù),圓,過圓內(nèi)一點的直線與圓相交于兩點,當(dāng)弦最短時,直線的方程為,則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．56．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則與平面所成的角為（）A． B． C． D．7．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若公差，，則的值為()A．65 B．62 C．59 D．568．設(shè)平面向量，，若，則等于（）A． B． C． D．9．向量，，若，則實數(shù)的值為A． B． C． D．10．將正整數(shù)按第組含個數(shù)分組：那么所在的組數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，為測量出高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得．已知山高，則山高_(dá)_________．12．適合條件的角的取值范圍是______.13．向量滿足：，與的夾角為，則＝_____________；14．某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名，為了解該校高中學(xué)生的牙齒健康狀況，按各年級的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣，若高三抽取20名學(xué)生，則高一、高二共抽取的學(xué)生數(shù)為.15．?dāng)?shù)列滿足，則等于______.16．設(shè)向量與向量共線，則實數(shù)等于__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，，，，解三角形.18．某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，質(zhì)量測試分為：指標(biāo)不小于為一等品；指標(biāo)不小于且小于為二等品；指標(biāo)小于為三等品。其中每件一等品可盈利元，每件二等品可盈利元，每件三等品虧損元?，F(xiàn)對學(xué)徒甲和正式工人乙生產(chǎn)的產(chǎn)品各件的檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：測試指標(biāo)甲乙根據(jù)上表統(tǒng)計得到甲、乙生產(chǎn)產(chǎn)品等級的頻率分別估計為他們生產(chǎn)產(chǎn)品等級的概率。求：（1）乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品，盈利不小于元的概率；（2）若甲、乙一天生產(chǎn)產(chǎn)品分別為件和件，估計甲、乙兩人一天共為企業(yè)創(chuàng)收多少元？（3）從甲測試指標(biāo)為與乙測試指標(biāo)為共件產(chǎn)品中選取件，求兩件產(chǎn)品的測試指標(biāo)差的絕對值大于的概率.19．如圖，已知圓：，點.（1）求經(jīng)過點且與圓相切的直線的方程；（2）過點的直線與圓相交于、兩點，為線段的中點，求線段長度的取值范圍.20．已知平面向量，且（1）若是與共線的單位向量，求的坐標(biāo)；（2）若，且，設(shè)向量與的夾角為，求．21．（1）解方程：；（2）有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理求出抽樣間距，再根據(jù)第5組抽出的號碼求出第1組抽出的號碼，即可得出第2組、第3組抽取的號碼．【題目詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理知，抽樣間距為200÷40=5，

當(dāng)?shù)?組抽出的號碼為22時，即22=4×5+2，

所以第1組至第3組抽出的號碼依次是2，7，1．

故選：B．【題目點撥】本題考查了系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理可得和，然后對進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【題目詳解】在中，因為，所以，又，所以，又當(dāng)時，因為，所以時等邊三角形；當(dāng)時，因為，所以不存在，綜上：一定是等邊三角形.故選:B.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，解題過程中注意兩解得情況，一般需要檢驗，本題屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

由題意：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項為1出發(fā)，逐項求出各項的取值，可得的所有不同值的個數(shù).【題目詳解】解：由題意：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1，則變換中的第5項一定是2，變換中的第4項一定是4，變換中的第3項可能是1，也可能是8，變換中的第2項可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用及簡單的邏輯推理，屬于中檔題.4、B【解題分析】

根據(jù)向量夾角公式求得夾角的余弦值；根據(jù)所求投影為求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：向量在方向上的投影為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查向量在方向上的投影的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用向量數(shù)量積求得向量夾角的余弦值.5、B【解題分析】

由圓的方程求出圓心坐標(biāo)與半徑，結(jié)合題意，可得過圓心與點（1，2）的直線與直線2x﹣y＝0垂直，再由斜率的關(guān)系列式求解．【題目詳解】圓C：化簡為圓心坐標(biāo)為，半徑為．如圖，由題意可得，當(dāng)弦最短時，過圓心與點（1，2）的直線與直線垂直．則，即a＝1．故選：B．【題目點撥】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理.6、A【解題分析】

取的中點，連接、，作，垂足為點，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數(shù)可求出．【題目詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，作，垂足為點，是邊長為的等邊三角形，點為的中點，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選A．【題目點撥】本題考查直線與平面所成角的計算，求解時遵循“一作、二證、三計算”的原則，一作的是過點作面的垂線，有時也可以通過等體積法計算出點到平面的距離，利用該距離與線段長度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．7、A【解題分析】

先求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求.【題目詳解】，所以，故選A.【題目點撥】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.8、D【解題分析】分析：由向量垂直的條件，求解，再由向量的模的公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故選D.點睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的求解，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量模的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

利用向量平行的坐標(biāo)表示，即可求出．【題目詳解】向量，，，即解得．故選．【題目點撥】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示．10、B【解題分析】

觀察規(guī)律，看每一組的最后一個數(shù)與組數(shù)的關(guān)系，可知第n組最后一個數(shù)是2+3+4+…..+n+1=，然后再驗證求解.【題目詳解】觀察規(guī)律，第一組最后一個數(shù)是2=2，第二組最后一個數(shù)是5=2+3，第三組最后一個數(shù)是9=2+3+4，……，依此，第n組最后一個數(shù)是2+3+4+…..+n+1=.當(dāng)時，，所以所在的組數(shù)為63.故選：B【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的遞推，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為1．考點：正弦定理的應(yīng)用．12、【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的符號法則，得，從而求出的取值范圍.【題目詳解】，的取值范圍的解集為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)符號法則的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

根據(jù)模的計算公式可直接求解.【題目詳解】故填：.【題目點撥】本題考查了平面向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題型.14、70【解題分析】設(shè)高一、高二抽取的人數(shù)分別為，則，解得.【考點】分層抽樣.15、15【解題分析】

先由，可求出，然后由，代入已知遞推公式即可求解?！绢}目詳解】故答案為15.【題目點撥】本題考查是遞推公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題。16、3【解題分析】

利用向量共線的坐標(biāo)公式,列式求解.【題目詳解】因為向量與向量共線,所以,故答案為:3.【題目點撥】本題考查向量共線的坐標(biāo)公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當(dāng)時，，，當(dāng)，，【解題分析】

利用已知條件通過正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化求解，即可求解．【題目詳解】在中，，由正弦定理可得：＝＝，因為，所以或，當(dāng)時，因為，所以，從而，當(dāng)時，因為，所以，從而＝．【題目點撥】本題主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)；(2)元；(3)【解題分析】

（1）設(shè)事件表示“乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品，盈利不小于25元”，即該產(chǎn)品的測試指標(biāo)不小于80，由此能求出乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品，盈利不小于25元的概率．（2）由表格知甲生產(chǎn)的一等品、二等品、三等品比例為即，所以甲一天生產(chǎn)30件產(chǎn)品，其中一等品有3件，二等品有21件，三等品有6件；由表格知乙生產(chǎn)的一等品、二等品、三等品比例為，所以乙一天生產(chǎn)20件產(chǎn)品，其中一等品有6件，二等品有12件，三等品有2件，由此能求出甲、乙兩人一天共為企業(yè)創(chuàng)收1195元．（3）設(shè)甲測試指標(biāo)為，的7件產(chǎn)品用，，，，，，表示，乙測試指標(biāo)為，的7件產(chǎn)品用，表示，利用列舉法能求出兩件產(chǎn)品的測試指標(biāo)差的絕對值大于10的概率．【題目詳解】（1）設(shè)事件表示“乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品，盈利不小于元”，即該產(chǎn)品的測試指標(biāo)不小于，則；（2）甲一天生產(chǎn)件產(chǎn)品，其中一等品有件；二等品有件；三等品有件；甲一天生產(chǎn)件產(chǎn)品，其中一等品有件；二等品有件；三等品有，即甲、乙兩人一天共為企業(yè)創(chuàng)收元；（3）設(shè)甲測試指標(biāo)為的件產(chǎn)品用，，，,表示，乙測試指標(biāo)為的件產(chǎn)品用，表示，用（，且）表示從件產(chǎn)品中選取件產(chǎn)品的一個結(jié)果.不同結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有36個不同結(jié)果.設(shè)事件表示“選取的兩件產(chǎn)品的測試指標(biāo)差的絕對值大于”，即從甲、乙生產(chǎn)的產(chǎn)品中各取件產(chǎn)品，不同的結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，共有個不同結(jié)果.則.【題目點撥】本題主要考查古典概型概率的求法，即按照古典概型的概率計算公式分別求出基本事件總數(shù)以及有利事件數(shù)即可算出概率，以及列舉法和隨機(jī)抽樣的應(yīng)用．19、（1）或；（2）.【解題分析】試題分析：（1）設(shè)直線方程點斜式，再根據(jù)圓心到直線距離等于半徑求斜率；最后驗證斜率不存在情況是否滿足題意（2）先求點的軌跡：為圓，再根據(jù)點到圓上點距離關(guān)系確定最值試題解析：（1）當(dāng)過點直線的斜率不存在時，其方程為，滿足條件．當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)：，即，圓心到切線的距離等于半徑3，，解得．切線方程為，即故所求直線的方程為或．（2）由題意可得，點的軌跡是以為直徑的圓，記為圓．則圓的方程為．從而，所以線段長度的最大值為，最小值為，所以線段長度的取值范圍為．20、或【解題分析】分析：（1）由與共線，可設(shè)，又由為單位向量，根據(jù)，列出方程即可求得向量的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量的夾角公式，即可求解向量與的夾角．詳解：與共線，又，則，為單位向量，，或，則的坐標(biāo)為或，，．點睛：對于平面向量的運(yùn)算問題，通常用到：1、平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；2、由向量的數(shù)量積的性質(zhì)有，，，因此利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題；3、本題主要利