福建省福州市八縣一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

福建省福州市八縣一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)()的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象()A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2．若干個(gè)人站成一排，其中為互斥事件的是()A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”3．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A． B． C． D．4．若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．5．已知點(diǎn)A(－1,1)和圓C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是A．6－2 B．8 C．4 D．106．向正方形ABCD內(nèi)任投一點(diǎn)P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．7．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④8．已知點(diǎn)和點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（）A．或 B．或 C．或 D．或9．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，若，則周長(zhǎng)的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．1210．已知實(shí)數(shù)，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，若，則______；若，則______.12．若，則滿足的的取值范圍為_(kāi)_____________；13．在三棱錐中，已知，，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_____.14．已知直線是函數(shù)（其中）圖象的一條對(duì)稱軸，則的值為_(kāi)_______.15．已知圓Ω過(guò)點(diǎn)A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝0的距離為_(kāi)____．16．若是方程的解，其中，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某銷售公司擬招聘一名產(chǎn)品推銷員，有如下兩種工資方案：方案一：每月底薪2000元，每銷售一件產(chǎn)品提成15元；方案二：每月底薪3500元，月銷售量不超過(guò)300件，沒(méi)有提成，超過(guò)300件的部分每件提成30元．（1）分別寫出兩種方案中推銷員的月工資（單位：元）與月銷售產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）從該銷售公司隨機(jī)選取一名推銷員，對(duì)他（或她）過(guò)去兩年的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：月銷售產(chǎn)品件數(shù)300400500600700次數(shù)24954把頻率視為概率，分別求兩種方案推銷員的月工資超過(guò)11090元的概率．18．已知，且，向量，.（1）求函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為5，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.20．若，討論關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù).21．如圖，已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切．過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)P．（1）求圓A的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】∵函數(shù)()的最小正周期為，∴，，令，，，，顯然A，B錯(cuò)誤；令，可得：，，顯然時(shí)，D正確故選D2、A【解題分析】

根據(jù)不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫互斥事件，依次判斷．【題目詳解】根據(jù)互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，判斷A是互斥事件；B、C、D中兩事件能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件；

故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了互斥事件的定義．是基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

利用，求出，再利用，求出即可【題目詳解】，，，則有，代入得，則有，，，又，故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖像問(wèn)題，依次求出和即可，屬于簡(jiǎn)單題4、A【解題分析】

分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值.詳解：因?yàn)?，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸，(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.5、B【解題分析】

點(diǎn)A（﹣1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（﹣1，﹣1）在反射光線上，當(dāng)反射光線過(guò)圓心時(shí)，光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓周C的路程最短，最短為|BC|﹣R．【題目詳解】由反射定律得點(diǎn)A（﹣1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（﹣1，﹣1）在反射光線上，當(dāng)反射光線過(guò)圓心時(shí)，最短距離為|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=1，故光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓周C的最短路程為1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查光線的反射定律的應(yīng)用，以及兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用．6、C【解題分析】

由題意，求出滿足題意的點(diǎn)所在區(qū)域的面積，利用面積比求概率.【題目詳解】由題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點(diǎn)所在區(qū)域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關(guān)鍵是明確概率模型，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【題目詳解】解：對(duì)于①，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)作平面，使，可得，又因?yàn)?，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)榍?，所以，結(jié)合，可得，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②故選：【題目點(diǎn)撥】本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．8、A【解題分析】

直接利用兩點(diǎn)間距離公式得到答案.【題目詳解】已知點(diǎn)和點(diǎn)故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、D【解題分析】

利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式，求得的值，由角的范圍求出角的的大小，再由條件和余弦定理列出方程，結(jié)合基本不等式，即可求解.【題目詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，即，又由，所以，由余弦定理可得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又由，所以，即，所以三角形的周長(zhǎng)的最大值為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.10、C【解題分析】

先得出，，，然后利用在上的單調(diào)性即可比較出的大小.【題目詳解】因?yàn)樗?，，因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增所以故選：C【題目點(diǎn)撥】利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小的時(shí)候，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解題分析】

由向量平行與垂直的性質(zhì)，列出式子計(jì)算即可.【題目詳解】若，可得，解得；若，則，解得.故答案為：6；.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量平行、垂直的性質(zhì)，考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

本題首先可確定在區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的的值，然后可結(jié)合正弦函數(shù)圖像得出不等式的解集．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得或，如圖，繪出正弦函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，的解集為【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)不等式的解法，考查對(duì)正弦函數(shù)性質(zhì)的理解，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡(jiǎn)單題．13、【解題分析】

先計(jì)算出三棱錐的體積，利用等體積法求出三棱錐的內(nèi)切球的半徑，再求出內(nèi)切球的表面積?！绢}目詳解】取CD中點(diǎn)為E，并連接AE、BE在中，由等腰三角形的性質(zhì)可得,同理則在中點(diǎn)A到邊BE的距離即為點(diǎn)A到平面BCD的距離h,在中，【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了三棱錐的體積、三棱錐內(nèi)切圓的求法、球的表面積，屬于中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，由此可得答案.【題目詳解】依題意得，所以，即，因?yàn)?，所以或，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

求得線段和線段的垂直平分線，求這兩條垂直平分線的交點(diǎn)即求得圓的圓心，在求的圓心到直線的距離.【題目詳解】∵A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），則AB的垂直平分線方程為y＝2；BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），，則BC的垂直平分線方程為y﹣2＝﹣3（x﹣2），即3x+y﹣8＝1．聯(lián)立，得．∴圓Ω的圓心為Ω（2，2），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝1的距離為d．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)求圓心坐標(biāo)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

把代入方程2cos（x+α）＝1，化簡(jiǎn)根據(jù)α∈（0，2π），確定函數(shù)值的范圍，求出α即可．【題目詳解】∵是方程2cos（x+α）＝1的解，∴2cos（+α）＝1，即cos（+α）＝．又α∈（0，2π），∴+α∈（，）．∴+α＝．∴α＝．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)值的符號(hào)，三角函數(shù)的定義域，考查邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）方案一概率為,方案二概率為.【解題分析】

（1）利用一次函數(shù)和分段函數(shù)分別表示方案一、方案二的月工資與的關(guān)系式；（2）分別計(jì)算方案一、方案二的推銷員的月工資超過(guò)11090元的概率值．【題目詳解】解：（1）方案一：，；方案二：月工資為,所以.（2）方案一中推銷員的月工資超過(guò)11090元，則，解得，所以方案一中推銷員的月工資超過(guò)11090元的概率為；方案二中推銷員的月工資超過(guò)11090元，則，解得，所以方案二中推銷員的月工資超過(guò)11090元的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用頻率估計(jì)概率的應(yīng)用問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1），單調(diào)增區(qū)間為；（2）或；（3）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)，解不等式求得的范圍即得增區(qū)間（2）討論a的正負(fù)，確定最大值，求a；（3）化簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式，轉(zhuǎn)化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.試題解析：（1）∵∴∴單調(diào)增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，若，，∴若，，∴∴綜上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范圍.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，恒成立問(wèn)題的處理及分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng).19、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）見(jiàn)解析【解題分析】

（I）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.（II）取中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過(guò)證明平面證得，通過(guò)計(jì)算證明證得，由此證得平面.【題目詳解】證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以，且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，底面為正方形，所以，且.所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以.因?yàn)槠矫媲移矫?，所以平?（Ⅲ）在正方形中，，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋云矫?所以.在△中，設(shè)交于.因?yàn)?，且分別為的中點(diǎn)，所以.所以.設(shè)，由已知，所以.所以.所以.所以，且為公共角，所以△∽△.所以.所以.因?yàn)椋云矫?【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線面垂直、面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、答案不唯一，見(jiàn)解析【解題分析】

首先將方程化簡(jiǎn)為，再畫出的圖像，根據(jù)和交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求出方程根的個(gè)數(shù).【題目詳解】由題知：，，.令，，圖像如圖所示：當(dāng)或，即或時(shí)，無(wú)解，即方程無(wú)解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有兩個(gè)解，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到或，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有一個(gè)解，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有一個(gè)解.綜上所述：當(dāng)或時(shí)，即方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解.當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)解.當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)解.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合為