2024屆北京市二十二中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆北京市二十二中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若變量滿足約束條件則的最大值為()A．4 B．3 C．2 D．12．一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是（）A．8π B．6π C．4π D．π3．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．不能確定4．已知是球O的球面上四點(diǎn)，面ABC,，則該球的半徑為（）A． B． C． D．5．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．6．已知點(diǎn)均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．7．若直線與直線平行,則A． B． C． D．8．將兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3的長(zhǎng)方體壘在一起，使其中兩個(gè)面完全重合，組成一個(gè)大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．9．?dāng)?shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．10．的值等于()A． B．－ C． D．－二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域________．12．已知數(shù)列滿足，（），則________.13．在銳角△中，，，，則________14．一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時(shí)21海里的速度航行，一個(gè)燈塔M原來(lái)在輪船的北偏東30°的方向，經(jīng)過(guò)40分鐘后，測(cè)得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來(lái)的距離是_____海里．15．從1，2，3，4，5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率為________.16．設(shè)y＝f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，若當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）＝x2，則f（19）＝_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．若不等式的解集為.（1）求證：；（2）求不等式的解集.18．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，面積為S，已知（Ⅰ）求證：成等差數(shù)列；（Ⅱ）若求.19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，且，求的值.20．某城市的華為手機(jī)專賣店對(duì)該市市民使用華為手機(jī)的情況進(jìn)行調(diào)查.在使用華為手機(jī)的用戶中，隨機(jī)抽取100名，按年齡(單位:歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)的估計(jì)值(均精確到個(gè)位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加華為手機(jī)宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中年齡在和的人群里，隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為手機(jī)，求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.21．底面半徑為3，高為的圓錐有一個(gè)內(nèi)接的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱）．（1）設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，試將棱柱的高表示成的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【題目詳解】作出約束條件，所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖陰影部分）變形目標(biāo)函數(shù)可得，平移直線可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，代值計(jì)算可得取最大值故選B.【點(diǎn)晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.2、C【解題分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則＝8，∴a＝2.而此正方體的內(nèi)切球直徑為2，∴S表＝4π＝4π.選C.3、B【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)性質(zhì)可得．【題目詳解】偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則它在上是減函數(shù)，所以．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，考查偶函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

根據(jù)面，，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是該球的直徑，從而得到答案?！绢}目詳解】面，三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱，，為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是該球的直徑，即則該球的半徑為故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐外接球的半徑的求法，本題解題的關(guān)鍵是以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球，即為該長(zhǎng)方體的外接球，利用長(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題。5、A【解題分析】

∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.6、A【解題分析】

設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．由此可計(jì)算球半徑．【題目詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．7、A【解題分析】由題意，直線，則，解得，故選A.8、B【解題分析】

要計(jì)算長(zhǎng)方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合；（2）長(zhǎng)高的兩個(gè)面重合；（3）高寬兩個(gè)面重合，分別計(jì)算出新長(zhǎng)方體的對(duì)角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過(guò)比較即可求出最大值.【題目詳解】（1）當(dāng)長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5，寬為4，高為6，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長(zhǎng)高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)5，寬為8，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10，寬為4，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為，顯然大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了長(zhǎng)方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、D【解題分析】試題分析：由題意得，可采用驗(yàn)證法，分別令，即可作出選擇，只有滿足題意，故選D．考點(diǎn)：歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式．10、C【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式把化簡(jiǎn)成.【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，即把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)，考查基本運(yùn)算求解能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解題分析】

根據(jù)反正弦函數(shù)的定義得出，解出可得出所求函數(shù)的定義域.【題目詳解】由反正弦的定義可得，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?【題目點(diǎn)撥】本題考查反正弦函數(shù)的定義域，解題的關(guān)鍵就是正弦值域的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、31【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的首項(xiàng)及遞推公式依次求出、、……即可.【題目詳解】解：，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

由正弦定理，可得，求得，即可求解，得到答案.【題目詳解】由正弦定理，可得，所以，又由△為銳角三角形，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理得應(yīng)用，其中解答中熟記正弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

畫出示意圖，利用正弦定理求解即可.【題目詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是能通過(guò)題意將航海問題的示意圖畫出，然后選用正余弦定理去分析問題.15、0.2【解題分析】從1,2,3,4,5中任意取兩個(gè)不同的數(shù)共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10種.其中和為5的有(1,4),(2,3)2種.由古典概型概率公式知所求概率為=.16、﹣1.【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性分析可得，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，據(jù)此可得，再由函數(shù)的解析式計(jì)算即可.【題目詳解】根據(jù)題意，是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則，又由得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，則，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）由已知可得是的兩根，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）原不等式可化為，利用一元二次不等式的解法可得結(jié)果.【題目詳解】（1）∵不等式的解集為∴是的兩根,且∴∴，所以;（2）因?yàn)椋?所以，即,又即，解集為【題目點(diǎn)撥】本題考查了求一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題目．若，則的解集是；的解集是.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）4.【解題分析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關(guān)系時(shí)，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時(shí)，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍;(2)在三角興中，注意隱含條件（3）解決三角形問題時(shí)，根據(jù)邊角關(guān)系靈活的選用定理和公式.（4）在解決三角形的問題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來(lái).試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得：即2分∴即4分∵∴即∴成等差數(shù)列.6分（Ⅱ）∵∴8分又10分由（Ⅰ）得：∴12分考點(diǎn)：三角函數(shù)與解三角形.19、(1)最小正周期是(2)【解題分析】

（1）運(yùn)用輔助角公式化簡(jiǎn)得；（2）先計(jì)算的值為，構(gòu)造，求出的值.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的最小正周期是.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，則【題目點(diǎn)撥】利用角的配湊法，即進(jìn)行角的整體代入求值，考查整體思想的運(yùn)用.20、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數(shù)公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計(jì)值:中位數(shù)的估計(jì)值：因?yàn)?，所以中位?shù)位于區(qū)間年齡段中，設(shè)中位數(shù)為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應(yīng)有4人位于年齡段內(nèi)，記為，2人位于年齡段內(nèi)，記為.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)基本事件空間為，則設(shè)2名市民年齡都在為事件A，則,所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數(shù)的計(jì)算和古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本的運(yùn)算能力.(2)先計(jì)算出每個(gè)小矩形的面積，通過(guò)解方程找到左邊面積為0.5的點(diǎn)P，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)就是中位數(shù).一般利用平均數(shù)的公式計(jì)算.其中代表第個(gè)矩形的橫邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，代表第個(gè)矩形的面積.21、(1);(2)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為時(shí)，正四棱柱的表面積最大值為48.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)比例關(guān)系式求出關(guān)于的解析式即可；（2）設(shè)該正四棱柱的表