2024屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知在中，，則的形狀是A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形2．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C．現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為A． B． C． D．3．下列說法正確的是（）A．小于的角是銳角 B．鈍角是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角與角的終邊相同，則4．下列關(guān)于極限的計(jì)算，錯誤的是（）A．B．C．D．已知，則5．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）A．54 B． C．90 D．818．等差數(shù)列{an}中，若S1=1A．2019 B．1 C．1009 D．10109．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于（）A．1 B．2 C．4 D．610．已知圓柱的軸截面為正方形，且該圓柱的側(cè)面積為，則該圓柱的體積為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平行四邊形中，為與的交點(diǎn)，，若，則__________．12．在數(shù)列an中，a1=2,a13．三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，，平面，，，球的表面積為，則的表面積為_______．14．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為______．15．不等式的解集是______．16．甲船在島的正南處，，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛?cè)?，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．不等式(1)若不等式的解集為或,求的值(2)若不等式的解集為,求的取值范圍18．如圖，是菱形，對角線與的交點(diǎn)為，四邊形為梯形，，．（1）若，求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求直線與平面所成角的余弦值．19．已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為400萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入160萬元.設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x(x≥40)萬部且并全部銷售完，每萬部的收入為R(x)萬元，且R(x)=74000(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．20．已知圓,直線（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）求直線被圓所截得的弦長最短時的值；（3）已知點(diǎn)，在直線MC上（C為圓心），存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M），滿足：對于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù)．21．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用正弦定理可將已知中的等號兩邊的“邊”轉(zhuǎn)化為它所對角的正弦，再利用余弦定理化簡即得該三角形的形狀．【題目詳解】根據(jù)正弦定理，原式可變形為：所以整理得．故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、C【解題分析】試題分析：設(shè)AC=x，則BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面積S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率考點(diǎn)：幾何概型3、B【解題分析】

可通過舉例的方式驗(yàn)證選項(xiàng)的對錯.【題目詳解】A：負(fù)角不是銳角，比如“”的角，故錯誤；B：鈍角范圍是“”，是第二象限的角，故正確；C：第二象限角取“”，第一象限角取“”，故錯誤；D：當(dāng)角與角的終邊相同，則.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查任意角的概念，難度較易.4、B【解題分析】

先計(jì)算每個極限，再判斷，如果是數(shù)列和的極限還需先求和，再求極限．【題目詳解】，A正確；∵，∴，B錯；，C正確；若，需按奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和后再極限，即，D正確．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的極限，掌握極限運(yùn)算法則是解題基礎(chǔ)．在求數(shù)列前n項(xiàng)和的極限時，需先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，再對和求極限，不能對每一項(xiàng)求極限再相加．5、B【解題分析】

要計(jì)算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長方體的對角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計(jì)算出新長方體的對角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【題目詳解】（1）當(dāng)長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解題分析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出的值.【題目詳解】如下圖所示，由切線長定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動點(diǎn)的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、A【解題分析】

由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以正方形為底面的斜四棱柱，進(jìn)而得到答案．【題目詳解】由三視圖可知，該多面體是一個以正方形為底面的斜四棱柱，四棱柱的底面是邊長為3的正方形，四棱柱的高為6，則該多面體的體積為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖知識及幾何體體積的計(jì)算，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再由幾何體體積公式求解，屬于簡單題.8、D【解題分析】

由等差數(shù)列{an}中，S1=1，S【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}中，S∴S即15=5+10d，解得d=1，∴S故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列基本量的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

先由三視圖還原幾何體，再由題中數(shù)據(jù)，結(jié)合棱錐的體積公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可得，該幾何體為底面是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖所示：由題意可得其體積為：故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由幾何體的三視圖求幾何體的體積，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及體積公式即可，屬于?？碱}型.10、C【解題分析】

設(shè)圓柱的底面半徑，該圓柱的高為，利用側(cè)面積得到半徑，再計(jì)算體積.【題目詳解】設(shè)圓柱的底面半徑.因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，所以該圓柱的高為因?yàn)樵搱A柱的側(cè)面積為，所以，解得，故該圓柱的體積為.故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓柱的體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)向量加法的三角形法則逐步將待求的向量表示為已知向量.【題目詳解】由向量的加法法則得：所以，所以故填：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、2+【解題分析】

因?yàn)閍1∴a∴=(=2+ln13、【解題分析】

根據(jù)題意可證得，而，所以球心為的中點(diǎn)．由球的表面積為，即可求出，繼而得出的值，求出三棱錐的表面積．【題目詳解】如圖所示：∵，平面，∴，又，故球心為的中點(diǎn)．∵球的表面積為，∴，即有．∴，．∴，，，．故的表面積為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)圖象以及不等式的等價關(guān)系即可．【題目詳解】解：不等式等價為或，

則，或，

故不等式的解集是．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)不等式的等價性結(jié)合圖象之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

由題可得，分式化乘積得，進(jìn)而求得解集．【題目詳解】由移項(xiàng)通分可得，即，解得，故解集為【題目點(diǎn)撥】本題考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

根據(jù)條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對稱軸及可求解出最值.【題目詳解】假設(shè)經(jīng)過小時兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當(dāng)小時時甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是通過題意將示意圖畫出來，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)一元二次不等式的解和對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，求得的值.（2）利用一元二次不等式解集為的條件列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】（1）由于不等式的解集為或，所以，解得.（2）由于不等式的解集為，故，解得.故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查一元二次不等式的解與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，考查一元二次不等式恒成立問題的求解策略，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，從而可得為平行四邊形，即可證明平面；（2）只需證明平面．即可證明平面平面；（3）作于，則為與平面所成角，在中，由余弦定理得即可．【題目詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵是菱形的對角線，的交點(diǎn)，∴，且，又∵，且，∴，且，從而為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵四邊形為菱形，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面；（3）作于，∵平面平面，∴平面，則為與平面所成角，由及四邊形為菱形，得為正三角形，則，，，∴為正三角形，從而，在中，由余弦定理，得，∴與平面所成角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間線面位置關(guān)系、線面角的計(jì)算，屬于中檔題．19、（1）W=73600-400000x-160x，(x≥40);（2）當(dāng)x=50【解題分析】

(1)根據(jù)題意，即可求解利潤關(guān)于產(chǎn)量的關(guān)系式為W=(2)由（1）的關(guān)系式，利用基本不等式求得最大值，即可求解最大利潤．【題目詳解】（1）由題意，可得利潤W關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為W=xRx=74000-400000x-160x-400=73600-2由1可得W=73600-=73600-16000=57600，當(dāng)且僅當(dāng)400000x=160，即x=50時取等號，所以當(dāng)x=50時，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，以及利用基本不等式求最值，其中解答中認(rèn)真審題，得出利潤W關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）直線過定點(diǎn)（2）.（3）在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù).【解題分析】分析：（Ⅰ）利用直線系方程的特征，直接求解直線l過定點(diǎn)A的坐標(biāo)．（Ⅱ）當(dāng)AC⊥l時，所截得弦長最短，由題知，r=2，求出AC的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解即可．（Ⅲ）由題知，直線MC的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)N滿足題意，則設(shè)P（x，y），，得，且，求出λ，然后求解比值．詳解：（Ⅰ）依題意得，令且，得直線過定點(diǎn)（Ⅱ）當(dāng)時，所截得弦長最短，由題知，，得，由得（Ⅲ）法一：由題知，直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則設(shè)，，得，且整理得，上式對任意恒成立，且解得,說以（舍去，與重合），綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)點(diǎn)睛：過定點(diǎn)的直線系A(chǔ)1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通過兩直線l1∶A1x＋B1y＋C1=0與l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系，而這交點(diǎn)即為直線系所通過的定點(diǎn)．21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過取中點(diǎn)，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【題目詳解】（1）連接，，