2024屆遼寧省凌源市數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2024屆遼寧省凌源市數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A．－3 B．1 C．9 D．102．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱全面積與側(cè)面積的比為（）A． B． C． D．3．以分別表示等差數(shù)列的前項和，若，則的值為A．7 B． C． D．4．已知點和點，且，則實數(shù)的值是（）A．或 B．或 C．或 D．或5．如右圖所示的直觀圖，其表示的平面圖形是（A）正三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）直角三角形6．在平行四邊形ABCD中，若，則必有（）A． B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形7．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是()A． B．C． D．8．直線xy+1=0的傾斜角是（）A．30° B．60°C．120° D．150°9．設(shè)函數(shù)，其中為已知實常數(shù)，，則下列命題中錯誤的是（）A．若，則對任意實數(shù)恒成立；B．若，則函數(shù)為奇函數(shù)；C．若，則函數(shù)為偶函數(shù)；D．當(dāng)時，若，則（）．10．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則__________.12．已知兩個數(shù)k＋9和6－k的等比中項是2k，則k＝________．13．按照如圖所示的程序框圖，若輸入的x值依次為，0，1，運行后，輸出的y值依次為，，，則________.14．_______________。15．函數(shù)在的遞減區(qū)間是__________16．設(shè)奇函數(shù)的定義域為R，且對任意實數(shù)滿足，若當(dāng)∈[0,1]時，,則____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個頂點為.（1）求過點且平行于的直線方程；（2）求過點且與、距離相等的直線方程.18．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”.已知三棱維P-ABC中，PA⊥底面ABC.(1)從三棱錐P-ABC中選擇合適的兩條棱填空_________⊥________，則該三棱錐為“鱉臑”;(2)如圖，已知AD⊥PB垂足為D,AE⊥PC，垂足為E,∠ABC=90°.(i)證明:平面ADE⊥平面PAC;(ii)作出平面ADE與平面ABC的交線l,并證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.(在圖中體現(xiàn)作圖過程不必寫出畫法)19．已知圓：，點是直線：上的一動點，過點作圓M的切線、，切點為、．（Ⅰ）當(dāng)切線PA的長度為時，求點的坐標(biāo)；（Ⅱ）若的外接圓為圓，試問：當(dāng)運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（Ⅲ）求線段長度的最小值．20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的反函數(shù)；（2）解方程：.21．已知數(shù)列的前項和（）；（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求；（3）設(shè)（），，是否存在最小的自然數(shù)，使得不等式對一切正整數(shù)總成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

畫出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，向上平移基準(zhǔn)直線到的位置，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值為.故選C.【題目點撥】本小題主要考查利用線性規(guī)劃的知識求目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】解：設(shè)圓柱底面積半徑為r，則高為2πr，全面積：側(cè)面積=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2這個圓柱全面積與側(cè)面積的比為,故選A3、B【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時，，即可把轉(zhuǎn)化為求解.【題目詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，故,選B.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，屬于中檔題.4、A【解題分析】

直接利用兩點間距離公式得到答案.【題目詳解】已知點和點故答案選A【題目點撥】本題考查了兩點間距離公式，意在考查學(xué)生的計算能力.5、D【解題分析】略6、C【解題分析】

由，化簡可得，得到,又由四邊形為平行四邊形，即可得到答案.【題目詳解】由，則，即，化簡可得，所以，即,又由四邊形為平行四邊形，所以該四邊形為矩形，故選C.【題目點撥】本題主要考查了向量的基本運算，以及向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的基本運算，以及向量的垂直的判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】關(guān)于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化為，解得，∴所求不等式的解集是,故選C.8、D【解題分析】

首先求出直線的斜率，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【題目詳解】直線xy+1=0的斜率，設(shè)其傾斜角為θ（0°≤θ<180°），則tan，∴θ=150°故選：D【題目點撥】本題考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

利用兩角和的余弦公式化簡表達(dá)式.對于A選項，將化簡得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出A選項為真命題.對于B選項，將化簡得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為奇函數(shù)，由此判斷出B選項為真命題.對于C選項，將化簡得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為偶函數(shù)，由此判斷出C選項為真命題.對于D選項，根據(jù)、，求得的零點的表達(dá)式，由此求得（），進(jìn)而判斷出D選項為假命題.【題目詳解】.不妨設(shè)．為已知實常數(shù).若，則得；若，則得．于是當(dāng)時，對任意實數(shù)恒成立，即命題A是真命題；當(dāng)時，，它為奇函數(shù)，即命題B是真命題；當(dāng)時，，它為偶函數(shù)，即命題C是真命題；當(dāng)時，令，則，上述方程中，若，則，這與矛盾，所以．將該方程的兩邊同除以得，令（），則，解得（）．不妨取，（且），則，即（），所以命題D是假命題．故選：D【題目點撥】本小題主要考查兩角和的余弦公式，考查三角函數(shù)的奇偶性，考查三角函數(shù)零點有關(guān)問題的求解，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.10、D【解題分析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

對已知等式的左右兩邊同時平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【題目詳解】因為，所以，即，所以.【題目點撥】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.12、3【解題分析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.13、5【解題分析】

根據(jù)程序框圖依次計算出、、后即可得解.【題目詳解】由程序框圖可知，；，；，.所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

本題首先可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡得出，然后根據(jù)兩角差的正弦公式化簡得出，最后根據(jù)二倍角公式以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】，故答案為【題目點撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式進(jìn)行化簡求值，考查到的公式有、、以及，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。15、【解題分析】

利用兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．【題目詳解】，由得，，時，．即所求減區(qū)間為．故答案為．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，解題時需把函數(shù)化為一個角一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解．16、【解題分析】

根據(jù)得到周期，再利用周期以及奇函數(shù)將自變量轉(zhuǎn)變到給定區(qū)間計算函數(shù)值.【題目詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，則，故，又因為是奇函數(shù)，所以，則.【題目點撥】（1）形如的函數(shù)是周期函數(shù)，周期；（2）若要根據(jù)奇偶性求解分段函數(shù)的表達(dá)式，記住一個原則：“用未知表示已知”，也就是將自變量變形，利用已知范圍和解析式求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】

（1）先由兩點寫出直線BC的方程，再根據(jù)點斜式寫出目標(biāo)直線的方程；（2）過點B且與直線AC平行的直線即為所求，注意垂直平分線不過點B，故舍去.【題目詳解】（1）由、兩點的坐標(biāo)可得，因為待求直線與直線BC平行，故其斜率為由點斜式方程可得目標(biāo)直線方程為整理得.（2）由、點的坐標(biāo)可知，其中點坐標(biāo)為又直線AC沒有斜率，故其垂直平分線為，此直線不經(jīng)過點B，故垂直平分線舍去；則滿足題意的直線為與直線AC平行的直線，即.綜上所述，滿足題意的直線方程為.【題目點撥】本題考查直線方程的求解，屬基礎(chǔ)題.18、（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）(i)見證明；(ii)見解析【解題分析】

（1）根據(jù)已知填BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC均可；（2）(i)先證明PC⊥平面ADE，再證明平面ADE⊥平面PAC;(ii)在平面PBC中，記DE∩BC，=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.再證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.【題目詳解】（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）（i）在三棱錐P-ABC中，BC⊥AB，BC⊥PA，BC∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB,PB∩BC=B，所以AD⊥平面PBC.又PC?平面PBC，所以PC⊥AD，因為AE⊥PC且AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE，因為PC?平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.（ii）在平面PBC中，記DE∩BC=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.因為PC⊥平面AED，l?平面AED，所以PC⊥l，因為PA⊥平面ABC，l?平面ABC，所以PA⊥l，又PA∩PC=P，所以l⊥平面PAC.又AE?平面PAC且AC?平面PAC，所以AE⊥l，AC⊥l.所以∠EAC就是二面角E-l-C的一個平面角.【題目點撥】本題主要考查空間線面位置關(guān)系，面面角的作圖及證明，屬于中檔題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）求點的坐標(biāo)，需列出兩個獨立條件,根據(jù)解方程組解：由點是直線：上的一動點，得，由切線PA的長度為得，解得（Ⅱ）設(shè)P（2b,b），先確定圓的方程：因為∠MAP＝90°，所以經(jīng)過A、P、M三點的圓以MP為直徑，其方程為：，再按b整理：由解得或，所以圓過定點（Ⅲ）先確定直線方程，這可利用兩圓公共弦性質(zhì)解得：由圓方程為及圓：，相減消去x,y平方項得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為：，相交弦長即：，當(dāng)時，AB有最小值試題解析：（Ⅰ）由題可知，圓M的半徑r＝2，設(shè)P（2b,b），因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP＝90°,所以MP＝，解得所以4分（Ⅱ）設(shè)P（2b，b），因為∠MAP＝90°，所以經(jīng)過A、P、M三點的圓以MP為直徑，其方程為：即由，7分解得或，所以圓過定點9分（Ⅲ）因為圓方程為即①圓：，即②②－①得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為：11分點M到直線AB的距離13分相交弦長即：當(dāng)時，AB有最小值16分考點：圓的切線長，圓的方程，兩圓的公共弦方程20、（1）；（2）【解題分析】

（1）反解，然后交換的位置，寫出原函數(shù)的值域即可得到結(jié)果；（2）代入原函數(shù)與反函數(shù)的解析式，解方程即可得到答案.【題目詳解】（1）由得，得，因為，所以，所以.（2）由得2，所以，即，解得，所以，所以原方程的解集為.【題目點撥】本題考查了求反函數(shù)的解析式，考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，屬于中檔題.21、（1）否；（2）；（3）；【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)列中與的關(guān)系式，即可求解數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求解；（2）由（1）知，求得當(dāng)時，，當(dāng)時，，利用等差數(shù)