遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)

第八章金融遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)金融市場(chǎng)學(xué)教學(xué)指引：教學(xué)要求：本章要求學(xué)生理解金融遠(yuǎn)期和金融期貨定價(jià)的理論基礎(chǔ)，掌握遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)方法教學(xué)要點(diǎn)：一、無套利定價(jià)法的基本原理二、無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格的定價(jià)三、收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格的定價(jià)四、收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格的定價(jià)§1無套利定價(jià)法的基本原理某股票現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格20元，3個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約價(jià)格22元,假設(shè)該股票在未來3個(gè)月內(nèi)不派發(fā)紅利,若市場(chǎng)利率為10%,問套利者如何套利?借貸市場(chǎng)、股票現(xiàn)貨市場(chǎng)遠(yuǎn)期市場(chǎng)現(xiàn)在以10%的利率借款20元，買入股票。以22元價(jià)格做空3個(gè)月遠(yuǎn)期合約。3個(gè)月后償還借款本息20.5元以買入的股票交割遠(yuǎn)期合約取得22元。結(jié)果獲利1.5元在上述操作中,套利者無需承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)（遠(yuǎn)期合約違約風(fēng)險(xiǎn)除外），無需進(jìn)行任何資本投資，便獲得1.5元/股的盈利。

若3個(gè)月期股票遠(yuǎn)期價(jià)格為20元，套利者能否套利借貸市場(chǎng)、股票現(xiàn)貨市場(chǎng)遠(yuǎn)期市場(chǎng)現(xiàn)在以20元賣空股票取得資金進(jìn)行投資。以20元價(jià)格做多3個(gè)月遠(yuǎn)期合約3個(gè)月后賣空股票的資金通過投資獲得20.5元交割遠(yuǎn)期合約支付20元。結(jié)果獲利0.5元細(xì)心的你有沒有發(fā)現(xiàn)，若其他條件不變，當(dāng)股票3個(gè)月期的遠(yuǎn)期價(jià)格為多少時(shí)，不存在套利機(jī)會(huì)？20.5元這20.5元是什么？

股票現(xiàn)貨價(jià)格在3個(gè)月后的終值。§1無套利定價(jià)法的基本原理不同復(fù)利次數(shù)下資金的終值與現(xiàn)值假設(shè)數(shù)額S以利率r投資了n年。如果利息按每一年計(jì)一次復(fù)利，則上述投資的終值為：

如果每年計(jì)m次復(fù)利，則終值為：當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，就稱為連續(xù)復(fù)利,此時(shí)的終值為如果終值為F,其它條件不變，則現(xiàn)值為連續(xù)復(fù)利舉例設(shè)某債券面值A(chǔ)=1000元、期限n=5年、利率i=8%則：按普通復(fù)利計(jì)息的終值S=A（1+i）n=1000（1+8%）5=1469.3元。按連續(xù)復(fù)利計(jì)息的終值S=Aein

=1000e0.08·5=1491.8元。20元，連續(xù)復(fù)利利率為10%，3個(gè)月期限終值為：F=20e0.1·0.25=20.5（元）。無收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)。比如：不支付股息的股票或貼現(xiàn)債券?！?無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)1、無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格的確定

從上述分析得知：由于不存在套利機(jī)會(huì)，對(duì)于無收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價(jià)格F就等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格S的終值。F=Ser（T－t）這里按連續(xù)復(fù)利計(jì)算得出公式：F=20e0.1·0.25=20.5（元）。F-遠(yuǎn)期價(jià)格S-標(biāo)的資產(chǎn)即期價(jià)格T-t-折算為年的遠(yuǎn)期期限r(nóng)-無風(fēng)險(xiǎn)年利率§2無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)S=100tT10%F=110K=110f=S-Ke-r（T－t）2、無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值的確定原理:無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額例題：1、假設(shè)一種無紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該股票3個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格。F=20e0.1

0.25=20.51元。2、設(shè)一份標(biāo)的證券為1年期貼現(xiàn)債券，剩余期限為6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為960元，假設(shè)6個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率為6%,該債券的現(xiàn)價(jià)為940元，則該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為多少？f=940-960e-0.06×0.5=8.48元§3支付已知收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)支付已知收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約是該合約在到期前為遠(yuǎn)期合約持有者提供完全可預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流,如:債券利息和支付已知現(xiàn)金紅利的股票等。假設(shè)已知現(xiàn)金收益在遠(yuǎn)期合約有效期間的現(xiàn)值為I,則支付已知收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格為:F=(S-I)er（T－t）

支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價(jià)格現(xiàn)值之差。f=S-I-Ke-r（T－t）§3支付已知收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格S利息利息標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格FIFe-r(T-t)此時(shí)：S=I+Fe-r(T-t)那么：F=(S-I)er(T-t)例題：某股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價(jià)等于30元，假設(shè)所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空頭，請(qǐng)問：該股票遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？

解：

2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值

=e-0.062/12+e-0.06

5/12=1.96元。

遠(yuǎn)期價(jià)格=(30-1.96)e0.060.5=28.89元。問：該股票遠(yuǎn)期市場(chǎng)上6個(gè)月期股票價(jià)格如果為28.89元，那么該股票遠(yuǎn)期合約價(jià)值為多少？例題：假設(shè)目前白銀價(jià)格為每盎司80元，儲(chǔ)存成本為每盎司每年2元，每3個(gè)月初預(yù)付一次，所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利率均為5%,求9個(gè)月后交割的白銀期貨的價(jià)格。儲(chǔ)存成本的現(xiàn)值=0.5+0.5e-0.05

3/12+0.5e-0.05

6/12=1.48元。白銀遠(yuǎn)期價(jià)格=(80+1.48)e0.059/12=84.59元?！?支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)支付已知收益率資產(chǎn)是指在到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格成一定比率收益的證券，意味著證券價(jià)格百分比的收益是已知的。我們假設(shè)年紅利收益率為q=3%，它的具體含義是指紅利收益率為標(biāo)的證券每年價(jià)格的3%。也就是說，當(dāng)證券價(jià)格為150元時(shí)，紅利按照每年4.5元支付。§4支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格：

支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值例題：

假設(shè)s﹠p500指數(shù)現(xiàn)在的點(diǎn)數(shù)為1000點(diǎn),該指數(shù)所含股票的紅利連續(xù)收益率為5%,連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%,3個(gè)月期s﹠p500指數(shù)期貨的價(jià)格為1080點(diǎn),求該期貨的遠(yuǎn)期價(jià)格和合約多頭的價(jià)值。

F=1000e(0.1-0.5)×0.25=1012.58點(diǎn)

f=1000e-0.05×0.25-1080e-0.1×0.25=-65.75例題：假設(shè)恒生指數(shù)目前為10000點(diǎn)，香港無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，恒生指數(shù)股息連續(xù)復(fù)利收益率為3%，求該指數(shù)期貨4個(gè)月期的價(jià)格。指數(shù)期貨價(jià)格=10000e(0.1-0.03)

4/12=10236.08點(diǎn)。練習(xí)：某股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā)1元股息該股票目前市價(jià)等于30，所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空頭，請(qǐng)問：該股票遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值等于多少？3個(gè)月后，該股票價(jià)格漲到35元，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率仍為6%，此時(shí)遠(yuǎn)期價(jià)格和該合約空頭價(jià)值等于多少？答案：（1）2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e-0.06*2/12+e-0.06*5/12=1.96元。遠(yuǎn)期價(jià)格=(30-1.96)e0.06*0.5=28.89元。若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為0。（2）3個(gè)月后的2個(gè)月派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e-0.06*2/12=0.99元。

遠(yuǎn)期價(jià)格=（35-0.99）e0.06*3/12=34.52元。此時(shí)空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值=（28.89-34.52）e-0.06*3/12=-5.55元。或=28.89e-0.06*3/12-35+0.99=-5.55元練習(xí)：甲賣出1份A股票的歐式看漲期權(quán),9月份到期協(xié)議價(jià)格為20元?，F(xiàn)在是5月份,A股票現(xiàn)在價(jià)格為18元，期權(quán)價(jià)格為2元。如果期權(quán)到期時(shí)A股票價(jià)格為25元，請(qǐng)問甲在整個(gè)過程中的現(xiàn)金流狀況如何？他在5月份收入2元，9月份付出5元（=25-20）目前黃金價(jià)格為500美元/盎司，1年遠(yuǎn)期價(jià)格為700美元/盎司。市場(chǎng)借貸年利率為10%，假設(shè)黃金的儲(chǔ)藏成本為0，請(qǐng)問有無套利機(jī)會(huì)？如果有，應(yīng)怎樣操作？套利者可以借錢買入100盎司黃金，并賣空1年期的100盎司黃金期貨，并等到1年后交割，再將得到的錢用于還本付息，這樣就可獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。練習(xí)：假設(shè)一種無紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該股票3個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格。期貨價(jià)格=20e0.1*0.25=20.51元練習(xí)：3、期貨價(jià)格與遠(yuǎn)期價(jià)格的關(guān)系理論上說，若無風(fēng)險(xiǎn)利率一定，且遠(yuǎn)期合約與期貨合約到期日也一定，則期貨價(jià)格與遠(yuǎn)期價(jià)格相等或接近。然而，無風(fēng)險(xiǎn)利率并不一定，而期貨交易實(shí)行逐日盯市制度，利率變動(dòng)會(huì)引起金融資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)，因此，期貨價(jià)格與遠(yuǎn)期價(jià)格可能存在一定差異。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率關(guān)系資產(chǎn)價(jià)格與利率變化期貨價(jià)格與遠(yuǎn)期價(jià)格標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率正相關(guān)資產(chǎn)價(jià)格↑，再投資利率↑期貨價(jià)格>遠(yuǎn)期價(jià)格資產(chǎn)價(jià)格↓，融資利率↓標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率負(fù)相關(guān)資產(chǎn)價(jià)格↑，再投資利率↓期貨價(jià)格<遠(yuǎn)期價(jià)格資產(chǎn)價(jià)格↓，融資利率↑§5期貨價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系期貨價(jià)格和現(xiàn)在現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系期貨價(jià)格和預(yù)期未來現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系期貨價(jià)格和現(xiàn)在現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系可以用基