新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時(shí)平面與平面垂直的判定課件新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8．6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時(shí)平面與平面垂直的判定必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測(cè)?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出平面與平面垂直的判定定理，并加以證明．2．會(huì)應(yīng)用平面與平面垂直的判定定理證明平面與平面垂直．

在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用平面與平面垂直的判定定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知

二面角

知識(shí)點(diǎn)

1定義從一條直線出發(fā)的_____________所組成的圖形相關(guān)概念①這條直線叫做二面角的_____；②這兩個(gè)半平面叫做二面角的_____畫(huà)法記法二面角_____________或_______________或_____________或P－AB－Q兩個(gè)半平面棱面α－l－βα－AB－βP－l－Q二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作_________棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的___________叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范圍是_____________________垂直于∠AOB[0°，180°]想一想：二面角的平面角的大小與棱上取的點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？提示：二面角的平面角的大小是唯一確定的，與棱上取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．練一練：1．如圖所示的二面角可記為(

)A．α－β－l B．M－l－NC．l－M－N D．l－β－α[解析]

根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確．故選B.B2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－D的平面角的大小是_________.[解析]

∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，∴∠D1AD為二面角D1－AB－D的平面角．易知∠D1AD＝45°.45°平面與平面垂直的定義與判定定理

知識(shí)點(diǎn)

21．平面與平面垂直的定義定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是___________，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與β垂直，記作：_________畫(huà)法畫(huà)兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫(huà)成_______直二面角α⊥β垂直2.平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語(yǔ)言[拓展]

剖析平面與平面垂直(1)兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個(gè)面都是互相垂直的．(2)兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過(guò)所成的角是直角定義的．3．詳解平面與平面垂直的判定定理(1)本質(zhì)：通過(guò)直線與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問(wèn)題來(lái)解決．練一練：1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．可能重合C．垂直 D．相交不垂直[解析]

由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.C2．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與平面ABCD垂直的面有(

)A．1個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)[解析]

與平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4個(gè)．C關(guān)鍵能力?攻重難

下列命題中：①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系．其中正確的是(

)A．①③ B．②④C．③④ D．①②題|型|探|究題型一二面角及其平面角的概念的理解典例1B[解析]

由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角；由a，b分別垂直于兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對(duì)；由定義知④正確．故選B.[歸納提升]

1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．2．要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別．3．可利用實(shí)物模型，作圖幫助判斷．

下列說(shuō)法不正確的是(

)A．只有過(guò)二面角棱上的某一特殊點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)引垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角才為二面角的平面角B．和二面角的棱垂直的平面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角C．在銳二面角的一個(gè)面內(nèi)引棱的垂線，該垂線與其在另一個(gè)面內(nèi)的射影所成的角是二面角的平面角D．二面角的平面角可以是一個(gè)銳角、一個(gè)直角或一個(gè)鈍角[解析]

二面角平面角的大小與其頂點(diǎn)在棱的哪個(gè)位置是無(wú)關(guān)的.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?A題型二二面角的求法

四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)．[分析]

求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．典例2[解析]

(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90°.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD為二面角B－PA－D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90°.(3)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45°.(4)作BE⊥PC于E，連接DE、BD，且BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，如圖．由題意知△PBC≌△PDC，則∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE.所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.所以∠BED為二面角B－PC－D的平面角．[歸納提升]

1.求二面角大小的步驟：簡(jiǎn)稱(chēng)為“一作二證三求”．作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇．2．作二面角的平面角的方法：解法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．解法二：(垂線法)過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．解法三：(垂面法)過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．30°題型三平面與平面垂直的證明(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD.典例3[分析]

(1)根據(jù)已知的線段長(zhǎng)度，證明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理證得結(jié)論．(2)根據(jù)(1)問(wèn)得到PD⊥平面ABCD，從而有PD⊥AC，然后結(jié)合底面ABCD為正方形得到AC⊥BD，從而找出平面PDB的垂線AC，最后利用判定定理證得結(jié)論．[歸納提升]

證明平面與平面垂直的方法：(1)定義法：根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角為直角．(2)判定定理：判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直．(3)利用“兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面”．

如圖，PA⊥平面ABC，AB為圓O的直徑，E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面ABC.(2)證明：平面EFA⊥平面PAC.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?[證明]

(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點(diǎn)，所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以BC⊥AC.因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.由(1)知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC.又因?yàn)镋F?平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC.易|錯(cuò)|警|示判斷面面位置關(guān)系時(shí)主觀臆斷

如圖所示，已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問(wèn)截面ACB1與對(duì)角面BB1D1D垂直嗎？試說(shuō)明理由．典例4[錯(cuò)解]

由題意可知，D1B1與AB1不垂直，D1B1與B1C不垂直，所以D1B1與平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D與平面ACB1不垂直．[錯(cuò)因分析]

判斷兩個(gè)平面垂直，只需說(shuō)明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關(guān)系時(shí)，必須給出嚴(yán)格的推理過(guò)程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì)．[正解]

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)锽B1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC?截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.

如圖所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面共有幾對(duì)(

)A．1 B．2C．3 D．4對(duì)點(diǎn)練習(xí)?C[解析]

∵AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.故圖中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.課堂檢測(cè)?固雙基1．二面角是指(

)A．一個(gè)平面繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形B．一個(gè)半平面與另一個(gè)半平面組成的圖形C．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形D．兩個(gè)相交的平行四邊形組成