新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示課件新人教A版必修第二冊

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示必備知識?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向掌握數(shù)乘向量的坐標(biāo)運算法則，理解用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件，掌握三點共線的判斷方法．通過數(shù)乘向量的坐標(biāo)運算，理解平面向量共線的坐標(biāo)表示形式，體會數(shù)學(xué)運算及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).必備知識?探新知

平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示

知識點

1設(shè)向量a＝(x，y)，則有λa＝____________，這就是說實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．(λx，λy)平面向量共線的坐標(biāo)表示

知識點

2利用向量平行的坐標(biāo)運算解決共線問題時可減少運算量且思路簡單明快設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共線的充要條件是___________________.x1y2－x2y1＝0定比分點坐標(biāo)公式

知識點

3[拓展]

兩個向量共線條件的三種表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)當(dāng)b≠0時，a＝λb.這是幾何運算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系．(2)x1y2－x2y1＝0.這是代數(shù)運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)的個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點和程序化的特征．即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，通過這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤．練一練：1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b＝_________.[解析]

因為a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)．2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x,－2)，若a∥b，則a＋b＝___________.[解析]

∵a∥b，∴x＝－4，∴a＋b＝(2,1)＋(－4,－2)＝(－2,－1)．(5,7)(－2,－1)關(guān)鍵能力?攻重難

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：[分析]

可先進行數(shù)乘向量的坐標(biāo)運算，再進行向量坐標(biāo)加減運算.題|型|探|究題型一向量數(shù)乘的坐標(biāo)運算典例1[解析]

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．[歸納提升]

向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減運算法則及數(shù)乘運算進行，解題時要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．

(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c滿足3a－2b＋c＝0，則c＝(

)A．(－23，－12) B．(23,12)C．(7,0) D．(－7,0)對點練習(xí)?A[解析]

(1)由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4,－3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12)．題型二向量共線坐標(biāo)表示的簡單應(yīng)用

(1)下列四組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是(

)A．a(chǎn)＝(1,2)，b＝(－2，－4) B．a(chǎn)＝(3,4)，b＝(4,3)C．a(chǎn)＝(2，－1)，b＝(－2,1) D．a(chǎn)＝(3,5)，b＝(6,10)(2)(2022·重慶高一檢測)已知向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，若(2a－b)∥a，則x＝(

)典例2BB[解析]

(1)對于A，因為1×(－4)－2×(－2)＝0，所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底；對于B，因為3×3－4×4＝－7≠0，所以可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底；對于C，因為2×1－(－1)×(－2)＝0，所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底；對于D，因為3×10－5×6＝0，所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底．(2)根據(jù)題意，向量a＝(2，x)，b＝(1，x－1)，則2a－b＝(3，x＋1)，若(2a－b)∥a，則有2(x＋1)＝3x，解可得x＝2.[歸納提升]

1.向量共線的判定方法2．利用向量平行的條件求參數(shù)值的思路(1)利用共線向量定理a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式直接求解．

(1)已知向量a＝(t,4)，b＝(1，t)，若a∥b，則實數(shù)t＝_______.(2)已知m∈R，三點A(－1，－1)、B(1,3)、C(m,2m＋t)共線，則t＝_____.[解析]

(1)因為向量a＝(t,4)，b＝(1，t)且a∥b，所以t×t－4×1＝0，解得t＝±2，故答案為±2.對點練習(xí)?±21所以2(2m＋t＋1)＝4(m＋1)，解得t＝1.故答案為1.題型三向量共線的應(yīng)用典例3[歸納提升]

若已知三點的坐標(biāo)，判斷其是否共線可采用以下兩種方法：①直接利用上述條件，計算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)·(y2－y1)是否為0；

已知A(－2,4)，B(1,3)，C(m，n)，若A，B，C三點共線，則m，n的關(guān)系式為_________________.[解析]

由A(－2,4)，B(1,3)，C(m，n)可得：所以3(n－3)＝1－m，整理得：3n＋m＝10.故答案為3n＋m＝10.對點練習(xí)?3n＋m＝10拓|展|應(yīng)|用定比分點問題

已知線段M1M2的端點的坐標(biāo)分別為M1(1,2)，M2(2,3)，點P(x，y)在直線M1，M2上．典例4(3,4)解法二(利用定比分點坐標(biāo)公式)：(2)同(1)中兩種方法，可得P(3,4)．[歸納提升]

涉及定比分點的問題的兩種思路①利用向量共線定理列方程組求解；②利用定比分點坐標(biāo)公式求解．本例(1)中定比λ＝2>0，P在線段M1M2上，為內(nèi)分點；本例(2)中定比λ＝－2<0，P在線段M1M2的延長線上，為外分點．對點練習(xí)?[解析]

設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接OP，OP1，OP2.(8，－3)或(5，0)課堂檢測?固雙基1．(2023·貴州貴陽)已知a＝(0,1)，b＝(1,2)，c＝(2,3)，則(

)A．a(chǎn)＋b＝c B．a(chǎn)＋c＝2bC．2a＋b＝c D．a(chǎn)＋2b＝c[解析]

a＋b＝(1,3)≠c，故A錯誤；a＋c＝(2,4)＝2b，故B正確；2a＋b＝(1,4)≠c，故C錯誤；a＋2b＝(2,5)≠c，故D錯誤．故選B．B2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為(

)A．－2,1 B．1，－2C．2，－1 D．－1,2[解析]

因為c＝λ1a＋λ2b，所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，解得λ1＝－1，λ2＝2.D3．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m,2m＋3)，且a∥b，則m等于(

)A．－1 B．－2C．－1或3 D．0或－2C4．已知a＝(2,1)，b＝(x，－1)