運(yùn)籌學(xué)課件-運(yùn)籌學(xué)完整課件(1-8章)

運(yùn)籌學(xué)

(OperationsResearch)任課教師：邱虹課件下載：聯(lián)系方式：sky158@263.net經(jīng)濟(jì)學(xué)核心課程1/11/2024運(yùn)籌學(xué)緒論（1）運(yùn)籌學(xué)簡述（2）運(yùn)籌學(xué)的主要內(nèi)容（3）本課程的教材及參考書（4）本課程的特點(diǎn)和要求（5）本課程授課方式與考核（6）運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)簡述運(yùn)籌學(xué)（OperationsResearch） 系統(tǒng)工程的最重要的理論基礎(chǔ)之一，在美國有人把運(yùn)籌學(xué)稱之為管理科學(xué)(ManagementScience)。運(yùn)籌學(xué)所研究的問題，可簡單地歸結(jié)為一句話：“依照給定條件和目標(biāo)，從眾多方案中選擇最佳方案”故有人稱之為最優(yōu)化技術(shù)。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)簡述運(yùn)籌學(xué)的歷史“運(yùn)作研究(OperationalResearch)小組”:解決復(fù)雜的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)問題。例如：如何合理運(yùn)用雷達(dá)有效地對付德軍德空襲對商船如何進(jìn)行編隊(duì)護(hù)航，使船隊(duì)遭受德國潛艇攻擊時(shí)損失最少；在各種情況下如何調(diào)整反潛深水炸彈的爆炸深度，才能增加對德國潛艇的殺傷力等。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等）圖論存儲論排隊(duì)論對策論排序與統(tǒng)籌方法決策分析1/11/2024運(yùn)籌學(xué)本課程的教材及參考書選用教材《運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》胡運(yùn)權(quán)主編哈工大出版社參考教材《運(yùn)籌學(xué)教程》胡運(yùn)權(quán)主編（第2版）清華出版社《管理運(yùn)籌學(xué)》韓伯棠主編（第2版）高等教育出版社《運(yùn)籌學(xué)》(修訂版)錢頌迪主編清華出版社1/11/2024運(yùn)籌學(xué)本課程的特點(diǎn)和要求先修課：高等數(shù)學(xué)，基礎(chǔ)概率、線性代數(shù)特點(diǎn)：系統(tǒng)整體優(yōu)化；多學(xué)科的配合；模型方法的應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的研究的主要步驟：真實(shí)系統(tǒng)系統(tǒng)分析問題描述模型建立與修改模型求解與檢驗(yàn)結(jié)果分析與實(shí)施數(shù)據(jù)準(zhǔn)備1/11/2024運(yùn)籌學(xué)本課程授課方式與考核學(xué)科總成績平時(shí)成績（40％）課堂考勤（50％）平時(shí)作業(yè)（50％）期末成績（60％）講授為主，結(jié)合習(xí)題作業(yè)1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用涉及幾個(gè)方面：生產(chǎn)計(jì)劃運(yùn)輸問題人事管理庫存管理市場營銷財(cái)務(wù)和會計(jì)另外，還應(yīng)用于設(shè)備維修、更新和可靠性分析，項(xiàng)目的選擇與評價(jià)，工程優(yōu)化設(shè)計(jì)等。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用Interface上發(fā)表的部分獲獎(jiǎng)項(xiàng)目組織應(yīng)用效果聯(lián)合航空公司在滿足乘客需求的前提下，以最低成本進(jìn)行訂票及機(jī)場工作班次安排每年節(jié)約成本600萬美元Citgo石油公司優(yōu)化煉油程序及產(chǎn)品供應(yīng)、配送和營銷每年節(jié)約成本7000萬AT&T優(yōu)化商業(yè)用戶的電話銷售中心選址每年節(jié)約成本4.06億美元，銷售額大幅增加標(biāo)準(zhǔn)品牌公司控制成本庫存（制定最優(yōu)再定購點(diǎn)和定購量確保安全庫存）每年節(jié)約成本380萬美元法國國家鐵路公司制定最優(yōu)鐵路時(shí)刻表并調(diào)整鐵路日運(yùn)營量每年節(jié)約成本1500萬美元，年收入大幅增加。TacoBell優(yōu)化員工安排，以最低成本服務(wù)客戶每年節(jié)約成本1300萬美元Delta航空公司優(yōu)化配置上千個(gè)國內(nèi)航線航班來實(shí)現(xiàn)利潤最大化每年節(jié)約成本1億美元1/11/2024運(yùn)籌學(xué)“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件介紹“管理運(yùn)籌學(xué)”2.0版包括：線性規(guī)劃、運(yùn)輸問題、整數(shù)規(guī)劃（0-1整數(shù)規(guī)劃、純整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃）、目標(biāo)規(guī)劃、對策論、最短路徑、最小生成樹、最大流量、最小費(fèi)用最大流、關(guān)鍵路徑、存儲論、排隊(duì)論、決策分析、預(yù)測問題和層次分析法，共15個(gè)子模塊。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)Chapter1線性規(guī)劃

(LinearProgramming)

LP的數(shù)學(xué)模型圖解法單純形法單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法

LP模型的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型1.規(guī)劃問題生產(chǎn)和經(jīng)營管理中經(jīng)常提出如何合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，獲得最大的效益，這就是規(guī)劃問題。線性規(guī)劃通常解決下列兩類問題：（1）當(dāng)任務(wù)或目標(biāo)確定后，如何統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金、設(shè)備、原標(biāo)材料、人工、時(shí)間等）去完成確定的任務(wù)或目標(biāo)（2）在一定的資源條件限制下，如何組織安排生產(chǎn)獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益（如產(chǎn)品量最多、利潤最大.）1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.1如圖所示，如何截取x使鐵皮所圍成的容積最大？xa1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.2

某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別要在A、B、C、D、四種不同的設(shè)備上加工。按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工所需要的臺時(shí)如下表所示，企業(yè)決策者應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)總的利潤最大？設(shè)備產(chǎn)品ABCD利潤（元）

甲

2

1

4

0

2

乙

2

2

0

4

3有效臺時(shí)12

816121/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型解：設(shè)x1、x2分別為甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則數(shù)學(xué)模型為：maxZ=2x1+3x2

x1≥0,x2≥0s.t.

2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤121/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型2.線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型由三個(gè)要素構(gòu)成決策變量Decisionvariables目標(biāo)函數(shù)Objectivefunction約束條件Constraints其特征是：（1）問題的目標(biāo)函數(shù)是多個(gè)決策變量的線性函數(shù)，通常是求最大值或最小值；（2）問題的約束條件是一組多個(gè)決策變量的線性不等式或等式。

怎樣辨別一個(gè)模型是線性規(guī)劃模型？

1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)：約束條件：3.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式簡寫為：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型向量形式：其中：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型矩陣形式：其中：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型3.線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式特點(diǎn)：(1)目標(biāo)函數(shù)求最大值（有時(shí)求最小值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項(xiàng)bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負(fù)。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型（2）如何化標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換如果是求極小值即，則可將目標(biāo)函數(shù)乘以(-1)，可化為求極大值問題。也就是：令，可得到上式。即

若存在取值無約束的變量，可令其中：變量的變換1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型約束方程的轉(zhuǎn)換：由不等式轉(zhuǎn)換為等式。稱為松弛變量稱為剩余變量變量的變換可令，顯然1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.3將下列線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式用替換，且

解:（１）因?yàn)閤3無符號要求，即x3取正值也可取負(fù)值，標(biāo)準(zhǔn)型中要求變量非負(fù)，所以1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型(2)第一個(gè)約束條件是“≤”號，在“≤”左端加入松馳變量x4，x4≥0,化為等式；(3)第二個(gè)約束條件是“≥”號，在“≥”左端減去剩余變量x5，x5≥0；(4)第3個(gè)約束方程右端常數(shù)項(xiàng)為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項(xiàng)化為正數(shù)；

(5)目標(biāo)函數(shù)是最小值，為了化為求最大值，令z′=-z,得到maxz′=-z，即當(dāng)z達(dá)到最小值時(shí)z′達(dá)到最大值，反之亦然;1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式如下：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型4.線性規(guī)劃問題的解線性規(guī)劃問題求解線性規(guī)劃問題，就是從滿足約束條件(2)、(3)的方程組中找出一個(gè)解，使目標(biāo)函數(shù)(1)達(dá)到最大值。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

可行解：滿足約束條件②、③的解為可行解。所有可行解的集合為可行域。

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的可行解。

基：設(shè)A為約束條件②的m×n階系數(shù)矩陣(m<n)，其秩為m，B是矩陣A中m階滿秩子矩陣（∣B∣≠0），稱B是規(guī)劃問題的一個(gè)基。設(shè)：稱B中每個(gè)列向量Pj(j=12……m)

為基向量。與基向量Pj

對應(yīng)的變量xj

為基變量。除基變量以外的變量為非基變量。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

基解：某一確定的基B，令非基變量等于零，由約束條件方程②解出基變量，稱這組解為基解。在基解中變量取非0值的個(gè)數(shù)不大于方程數(shù)m，基解的總數(shù)不超過

基可行解：滿足變量非負(fù)約束條件的基本解，簡稱基可行解?？尚谢簩?yīng)于基可行解的基稱為可行基。非可行解可行解基解基可行解1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.4求線性規(guī)劃問題的所有基矩陣。解:約束方程的系數(shù)矩陣為2×5矩陣r(A)=2，2階子矩陣有10個(gè)，其中基矩陣只有9個(gè)，即1/11/2024運(yùn)籌學(xué)圖解法線性規(guī)劃問題的求解方法一般有兩種方法圖解法單純形法兩個(gè)變量、直角坐標(biāo)三個(gè)變量、立體坐標(biāo)適用于任意變量、但必需將一般形式變成標(biāo)準(zhǔn)形式下面我們分析一下簡單的情況——只有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問題，這時(shí)可以通過圖解的方法來求解。圖解法具有簡單、直觀、便于初學(xué)者窺探線性規(guī)劃基本原理和幾何意義等優(yōu)點(diǎn)。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)圖解法maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例1.5用圖解法求解線性規(guī)劃問題1/11/2024運(yùn)籌學(xué)圖解法x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X2

20=2X1+X2

17.2=2X1+X2

11=2X1+X2

Lo：0=2X1+X2

（7.6，2）DmaxZminZ此點(diǎn)是唯一最優(yōu)解，且最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值

maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X21/11/2024運(yùn)籌學(xué)圖解法maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2

maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2

藍(lán)色線段上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解這種情形為有無窮多最優(yōu)解，但是最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值maxZ=34.2是唯一的?？尚杏?/11/2024運(yùn)籌學(xué)圖解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2

maxZminZ8=5X1+4X2

43=5X1+4X2

（0，2）可行域此點(diǎn)是唯一最優(yōu)解1/11/2024運(yùn)籌學(xué)圖解法246x1x2246無界解(無最優(yōu)解)maxZ=x1+2x2例1.6x1+x2=4(≥)x1+3x2=6(≥)3x1+x2=6(≥)maxZminZ1/11/2024運(yùn)籌學(xué)x1x2O10203040102030405050無可行解(即無最優(yōu)解)maxZ=3x1+4x2例1.71/11/2024運(yùn)籌學(xué)圖解法 學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.通過圖解法了解線性規(guī)劃有幾種解的形式（唯一最優(yōu)解；無窮多最優(yōu)解；無界解；無可行解）

2.作圖的關(guān)鍵有三點(diǎn)：

(1)可行解區(qū)域要畫正確

(2)目標(biāo)函數(shù)增加的方向不能畫錯(cuò)

(3)目標(biāo)函數(shù)的直線怎樣平行移動1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法基本原理凸集：如果集合C中任意兩個(gè)點(diǎn)X1、X2，其連線上的所有點(diǎn)也都是集合C中的點(diǎn)，稱C為凸集。凸集凸集不是凸集頂點(diǎn)1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法基本原理定理1：若線性規(guī)劃問題存在可行解，則該問題的可行域是凸集。定理2：線性規(guī)劃問題的基可行解X對應(yīng)可行域(凸集)的頂點(diǎn)。定理3：若問題存在最優(yōu)解，一定存在一個(gè)基可行解是最優(yōu)解。（或在某個(gè)頂點(diǎn)取得）1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟單純形法的思路找出一個(gè)初始可行解是否最優(yōu)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)基本可行解（找出更大的目標(biāo)函數(shù)值）最優(yōu)解是否循環(huán)核心是：變量迭代結(jié)束1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟單純形表1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟例1.8用單純形法求下列線性規(guī)劃的最優(yōu)解解：1）將問題化為標(biāo)準(zhǔn)型，加入松馳變量x3、x4則標(biāo)準(zhǔn)型為:1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟2）求出線性規(guī)劃的初始基可行解，列出初始單純形表。cj3400θicB基bx1x2x3x40x34021100x43013013400檢驗(yàn)數(shù)1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟3）進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)如果表中所有檢驗(yàn)數(shù)，則表中的基可行解就是問題的最優(yōu)解，計(jì)算停止。否則繼續(xù)下一步。4）從一個(gè)基可行解轉(zhuǎn)換到另一個(gè)目標(biāo)值更大的基可行解，列出新的單純形表確定換入基的變量。選擇，對應(yīng)的變量xj作為換入變量，當(dāng)有一個(gè)以上檢驗(yàn)數(shù)大于0時(shí)，一般選擇最大的一個(gè)檢驗(yàn)數(shù)，即：，其對應(yīng)的xk作為換入變量。確定換出變量。根據(jù)下式計(jì)算并選擇θ

，選最小的θ對應(yīng)基變量作為換出變量。 1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟用換入變量xk替換基變量中的換出變量，得到一個(gè)新的基。對應(yīng)新的基可以找出一個(gè)新的基可行解，并相應(yīng)地可以畫出一個(gè)新的單純形表。5）重復(fù)3）、4）步直到計(jì)算結(jié)束為止。 1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟cj3400θicB基變量bx1x2x3x40x34021100x430130134000x34x23x14x2換入列bi/ai2，ai2>04010換出行將3化為15/311801/301/3101－1/3303005/30－4/3乘以1/3后得到103/5－1/51801－1/5－2/5400－1－11/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟例1.9用單純形法求解解：將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式：不難看出x4、x5可作為初始基變量，列單純形表計(jì)算。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟cj12100θicB基變量bx1x2x3x4x50x4152-32100x5201/31501121000x42x220－x221/3150120753017131/30－90－22560x111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/31/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的計(jì)算步驟 學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.線性規(guī)劃解的概念以及3個(gè)基本定理

2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法人工變量法： 前面討論了在標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)矩陣有單位矩陣，很容易確定一組基可行解。在實(shí)際問題中有些模型并不含有單位矩陣，為了得到一組基向量和初基可行解，在約束條件的等式左端加一組虛擬變量，得到一組基變量。這種人為加的變量稱為人工變量，構(gòu)成的可行基稱為人工基，用大M法或兩階段法求解，這種用人工變量作橋梁的求解方法稱為人工變量法。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法例1.10用大M法解下列線性規(guī)劃解：首先將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣，無法建立初始單純形表。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法故人為添加兩個(gè)單位向量，得到人工變量單純形法數(shù)學(xué)模型：其中：M是一個(gè)很大的抽象的數(shù)，不需要給出具體的數(shù)值，可以理解為它能大于給定的任何一個(gè)確定數(shù)值；再用前面介紹的單純形法求解該模型，計(jì)算結(jié)果見下表。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7θi-Mx64-431-101040x5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M↑-M0x63-650-1013/5-Mx58-3300108/3-1x312-21000——5-6M5M↑0-M002x23/5－6/510－1/50——-Mx531/53/5003/5131/3-1x311/5－2/501－2/50——5↑00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3→→→1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法 解的判別：1）唯一最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)非零,則線規(guī)劃具有唯一最優(yōu)解。2）多重最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為零,則線則性規(guī)劃具有多重最優(yōu)解（或無窮多最優(yōu)解）。3）無界解判別：某個(gè)λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）則線性規(guī)劃具有無界解。4）無可行解的判斷：當(dāng)用大M單純形法計(jì)算得到最優(yōu)解并且存在Ri>0時(shí)，則表明原線性規(guī)劃無可行解。5）退化解的判別：存在某個(gè)基變量為零的基本可行解。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法單純性法小結(jié):建立模型個(gè)數(shù)取值右端項(xiàng)等式或不等式極大或極小新加變量系數(shù)兩個(gè)三個(gè)以上xj≥0xj無約束xj≤0

bi

≥0bi<0≤=≥maxZminZxs

xa求解圖解法、單純形法單純形法不處理令xj=

xj′

-xj″

xj′

≥0xj″

≥0令

xj’

=-xj不處理約束條件兩端同乘以-1加松弛變量xs加入人工變量xa減去xs加入xa不處理令z′=-ZminZ=－maxz′0-M1/11/2024運(yùn)籌學(xué)A1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃模型的應(yīng)用 一般而言，一個(gè)經(jīng)濟(jì)、管理問題凡是滿足以下條件時(shí)，才能建立線性規(guī)劃模型。要求解問題的目標(biāo)函數(shù)能用數(shù)值指標(biāo)來反映，且為線性函數(shù)存在著多種方案要求達(dá)到的目標(biāo)是在一定條件下實(shí)現(xiàn)的，這些約束可用線性等式或不等式描述1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用人力資源分配問題例1.11某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)如下表所示：班次時(shí)間所需人員16:00——10:0060210:00——14:0070314:00——18:0060418:00——22:0050522:00——2:002062:00——6:0030設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段開始時(shí)上班，并連續(xù)工作8小時(shí)，問該公交線路應(yīng)怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，即能滿足工作需要，又使配備司機(jī)和乘務(wù)人員的人數(shù)減少?1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)xi表示第i班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)。此問題最優(yōu)解：x1＝50，x2＝20，x3＝50，x4＝0，x5＝20，x6＝10，一共需要司機(jī)和乘務(wù)員150人。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用2.生產(chǎn)計(jì)劃問題 某廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A、B兩道工序加工。設(shè)A工序可分別在設(shè)備A1和A2上完成，有B1、B2、B3三種設(shè)備可用于完成B工序。已知產(chǎn)品Ⅰ可在A、B任何一種設(shè)備上加工；產(chǎn)品Ⅱ可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時(shí)，只能在B1設(shè)備上加工；產(chǎn)品Ⅲ只能在A2與B2設(shè)備上加工。加工單位產(chǎn)品所需工序時(shí)間及其他各項(xiàng)數(shù)據(jù)如下表，試安排最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃，使該廠獲利最大。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用設(shè)備產(chǎn)品設(shè)備有效臺時(shí)設(shè)備加工費(fèi)（單位小時(shí)）ⅠⅡⅢ27910000321B168124000250B247000783B37114000200原料費(fèi)（每件）0.250.350.5售價(jià)（每件）1.252.002.81/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)xijk表示產(chǎn)品i在工序j的設(shè)備k上加工的數(shù)量。約束條件有：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用目標(biāo)是利潤最大化，即利潤的計(jì)算公式如下：帶入數(shù)據(jù)整理得到：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用因此該規(guī)劃問題的模型為：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用3.套裁下料問題例：現(xiàn)有一批某種型號的圓鋼長8米，需要截取2.5米長的毛坯100根，長1.3米的毛坯200根。問如何才能既滿足需要，又能使總的用料最少？解：為了找到一個(gè)省料的套裁方案，必須先設(shè)計(jì)出較好的幾個(gè)下料方案。其次要求這些方案的總體能裁下所有各種規(guī)格的圓鋼，以滿足對各種不同規(guī)格圓鋼的需要并達(dá)到省料的目的，為此可以設(shè)計(jì)出4種下料方案以供套裁用。ⅠⅡⅢⅣ2.5m32101.3m0246料頭00.40.30.21/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用設(shè)按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根數(shù)分別為xj

(j=1，2,3,4)，可列出下面的數(shù)學(xué)模型：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用4.配料問題例：某人每天食用甲、乙兩種食物（如豬肉、雞蛋），其資料如下：問兩種食物各食用多少，才能既滿足需要、又使總費(fèi)用最?。?/p>

21.5原料單價(jià)1.007.5010.00

0.10.151.70.751.101.30A1A2A3

最低需要量

甲乙含量食物成分1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)Xj

表示Bj

種食物用量1/11/2024運(yùn)籌學(xué)Chapter2對偶理論

(DualityTheory)線性規(guī)劃的對偶模型對偶性質(zhì)對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格對偶單純形法本章主要內(nèi)容：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型 設(shè)某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，生產(chǎn)中需4種設(shè)備按A，B，C，D順序加工，每件產(chǎn)品加工所需的機(jī)時(shí)數(shù)、每件產(chǎn)品的利潤值及每種設(shè)備的可利用機(jī)時(shí)數(shù)列于下表：產(chǎn)品數(shù)據(jù)表設(shè)備產(chǎn)品ABCD產(chǎn)品利潤（元／件）

甲

21402乙

22043設(shè)備可利用機(jī)時(shí)數(shù)（時(shí)）

1281612問：充分利用設(shè)備機(jī)時(shí)，工廠應(yīng)生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品各多少件才能獲得最大利潤？1.對偶問題的現(xiàn)實(shí)來源1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型解：設(shè)甲、乙型產(chǎn)品各生產(chǎn)x1及x2件，則數(shù)學(xué)模型為：反過來問：若廠長決定不生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品，決定出租機(jī)器用于接受外加工，只收加工費(fèi)，那么４種機(jī)器的機(jī)時(shí)如何定價(jià)才是最佳決策？1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型在市場競爭的時(shí)代，廠長的最佳決策顯然應(yīng)符合兩條：

（1）不吃虧原則。即機(jī)時(shí)定價(jià)所賺利潤不能低于加工甲、乙型產(chǎn)品所獲利潤。由此原則，便構(gòu)成了新規(guī)劃的不等式約束條件。（2）競爭性原則。即在上述不吃虧原則下，盡量降低機(jī)時(shí)總收費(fèi)，以便爭取更多用戶。設(shè)A、B、C、D設(shè)備的機(jī)時(shí)價(jià)分別為y1、y2、y3、y4，則新的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型把同種問題的兩種提法所獲得的數(shù)學(xué)模型用表2表示，將會發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象。原問題與對偶問題對比表A（y1）

B（y2）C（y3）

D（y4）

甲（x1）

21402乙（x2）

220431281612

minωmaxz

1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型2.原問題與對偶問題的對應(yīng)關(guān)系原問題（對偶問題）對偶問題（原問題）1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型（1）對稱形式 特點(diǎn)：目標(biāo)函數(shù)求極大值時(shí)，所有約束條件為≤號，變量非負(fù);目標(biāo)函數(shù)求極小值時(shí)，所有約束條件為≥號，變量非負(fù).已知P，寫出D1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型例2.1寫出線性規(guī)劃問題的對偶問題解：首先將原問題變形為對稱形式1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型(2)非對稱型對偶問題 若給出的線性規(guī)劃不是對稱形式，可以先化成對稱形式再寫對偶問題。也可直接按教材表2-2中的對應(yīng)關(guān)系寫出非對稱形式的對偶問題。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型原問題（或?qū)ε紗栴}）對偶問題（或原問題）約束條件右端項(xiàng)目標(biāo)函數(shù)變量的系數(shù)目標(biāo)函數(shù)變量的系數(shù)約束條件右端項(xiàng)目標(biāo)函數(shù)max目標(biāo)函數(shù)min約束條件m個(gè)m個(gè)變量≤≥0≥≤0=無約束變量n個(gè)n個(gè)約束條件≥0≥≤0≤無約束=1/11/2024運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的對偶模型例2.2寫出下列線性規(guī)劃問題的對偶問題.解：原問題的對偶問題為1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)例2.3分別求解下列2個(gè)互為對偶關(guān)系的線性規(guī)劃問題分別用單純形法求解上述2個(gè)規(guī)劃問題，得到最終單純形表如下表：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)XBb原問題的變量原問題的松弛變量x1x2x3x4x5x315/20015/4-15/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/2000－1/4－1/2XBb對偶問題的變量對偶問題的剩余變量y1y2y3y4y5y21/4-4/510-1/41/4y31/215/2011/2-3/215/2007/23/2原問題最優(yōu)表對偶問題最優(yōu)表1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)原問題與其對偶問題的變量與解的對應(yīng)關(guān)系： 在單純形表中，原問題的松弛變量對應(yīng)對偶問題的變量，對偶問題的剩余變量對應(yīng)原問題的變量。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)性質(zhì)1對稱性定理：對偶問題的對偶是原問題minW=Ybs.t.YA≥CY≤0maxZ=CXs.t.AX≥bX≥01/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)性質(zhì)2

弱對偶原理(弱對偶性)：設(shè)和分別是問題(P)和(D)的可行解，則必有推論1:原問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其對偶問題目標(biāo)函數(shù)值的下屆；反之，對偶問題任意可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其原問題目標(biāo)函數(shù)值的上界。推論2:

在一對對偶問題（P）和（D）中，若其中一個(gè)問題可行但目標(biāo)函數(shù)無界，則另一個(gè)問題無可行解；反之不成立。這也是對偶問題的無界性。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)推論3：在一對對偶問題（P）和（D）中，若一個(gè)可行（如P），而另一個(gè)不可行（如D），則該可行的問題目標(biāo)函數(shù)值無界。性質(zhì)3

最優(yōu)性定理：如果是原問題的可行解，是其對偶問題的可行解，并且:則是原問題的最優(yōu)解，是其對偶問題的最優(yōu)解。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)性質(zhì)4強(qiáng)對偶性：若原問題及其對偶問題均具有可行解，則兩者均具有最優(yōu)解，且它們最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等。 還可推出另一結(jié)論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個(gè)問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解。性質(zhì)5

互補(bǔ)松弛性：設(shè)X0和Y0分別是P問題和D問題的可行解，則它們分別是最優(yōu)解的充要條件是：其中：Xs、Ys為松弛變量1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)性質(zhì)5的應(yīng)用： 該性質(zhì)給出了已知一個(gè)問題最優(yōu)解求另一個(gè)問題最優(yōu)解的方法，即已知Y＊求X＊或已知X＊求Y＊互補(bǔ)松弛條件由于變量都非負(fù)，要使求和式等于零，則必定每一分量為零，因而有下列關(guān)系：若Y＊≠0，則Xs必為0；若X＊≠0，則Ys必為0利用上述關(guān)系，建立對偶問題（或原問題）的約束線性方程組，方程組的解即為最優(yōu)解。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)例2.4

已知線性規(guī)劃的最優(yōu)解是X＊=(6,2,0)T,求其對偶問題的最優(yōu)解Y＊。解：寫出原問題的對偶問題，即標(biāo)準(zhǔn)化1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)設(shè)對偶問題最優(yōu)解為Y＊＝(y1，y2),由互補(bǔ)松弛性定理可知，X＊和Y＊滿足：即：因?yàn)閄1≠0，X2≠0，所以對偶問題的第一、二個(gè)約束的松弛變量等于零，即y3＝0，y4＝0，帶入方程中：解此線性方程組得y1=1,y2=1,從而對偶問題的最優(yōu)解為：Y＊=(1,1)，最優(yōu)值w=26。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)例2.5已知線性規(guī)劃的對偶問題的最優(yōu)解為Y＊=(0,-2)，求原問題的最優(yōu)解。解:對偶問題是標(biāo)準(zhǔn)化1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)設(shè)對偶問題最優(yōu)解為X＊＝(x1，x2，x3)T,由互補(bǔ)松弛性定理可知，X＊和Y＊滿足：將Y＊帶入由方程可知，y3＝y(tǒng)5＝0，y4＝1。∵y2=-2≠0∴x5＝0又∵y4=1≠0∴x2＝0將x2，x5分別帶入原問題約束方程中，得：解方程組得：x1=-5,x3=-1,所以原問題的最優(yōu)解為X＊=(-5,0,-1)，最優(yōu)值z=-121/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶性質(zhì)原問題與對偶問題解的對應(yīng)關(guān)系小結(jié)對應(yīng)關(guān)系原問題最優(yōu)解無界解無可行解對偶問題最優(yōu)解(Y,Y)(N,N)————無界解————(Y,Y)無可行解——(Y,Y)無法判斷1/11/2024運(yùn)籌學(xué)思考題判斷下列結(jié)論是否正確，如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？1）任何線性規(guī)劃都存在一個(gè)對應(yīng)的對偶線性規(guī)劃.2）原問題第i個(gè)約束是“≤”約束，則對偶變量yi≥0.3）互為對偶問題，或者同時(shí)都有最優(yōu)解，或者同時(shí)都無最優(yōu)解.4）對偶問題有可行解，則原問題也有可行解.5）原問題有多重解，對偶問題也有多重解.6）對偶問題有可行解，原問題無可行解，則對偶問題具有無界解.7）原問題無最優(yōu)解，則對偶問題無可行解.8）對偶問題不可行，原問題可能無界解.9）原問題與對偶問題都可行，則都有最優(yōu)解.10）原問題具有無界解，則對偶問題不可行.11）對偶問題具有無界解，則原問題無最優(yōu)解.12）若X*、Y*是原問題與對偶問題的最優(yōu)解，則X*=Y*.1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格1.影子價(jià)格的數(shù)學(xué)分析：定義：在一對P和D中，若P的某個(gè)約束條件的右端項(xiàng)常數(shù)bi（第i種資源的擁有量）增加一個(gè)單位時(shí)，所引起目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值z*的改變量稱為第i種資源的影子價(jià)格，其值等于D問題中對偶變量yi*。由對偶問題得基本性質(zhì)可得：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格2.影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義1）影子價(jià)格是一種邊際價(jià)格 在其它條件不變的情況下，單位資源數(shù)量的變化所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的變化。即對偶變量yi

就是第i種資源的影子價(jià)格。即：

1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格2）影子價(jià)格是一種機(jī)會成本 影子價(jià)格是在資源最優(yōu)利用條件下對單位資源的估價(jià)，這種估價(jià)不是資源實(shí)際的市場價(jià)格。因此，從另一個(gè)角度說，它是一種機(jī)會成本。若第i種資源的單位市場價(jià)格為mi

，則有當(dāng)yi*>mi

時(shí)，企業(yè)愿意購進(jìn)這種資源，單位純利為yi*－mi

，則有利可圖；如果yi*<mi

，則企業(yè)有償轉(zhuǎn)讓這種資源，可獲單位純利mi－yi

*

，否則，企業(yè)無利可圖，甚至虧損。結(jié)論：若yi*>mi則購進(jìn)資源i，可獲單位純利yi*－mi

若yi*<mi則轉(zhuǎn)讓資源i，可獲單位純利mi－yi1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格3）影子價(jià)格在資源利用中的應(yīng)用根據(jù)對偶理論的互補(bǔ)松弛性定理:Y*Xs=0,YsX*=0表明生產(chǎn)過程中如果某種資源bi未得到充分利用時(shí)，該種資源的影子價(jià)格為0；若當(dāng)資源資源的影子價(jià)格不為0時(shí)，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費(fèi)完。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格4）影子價(jià)格對單純形表計(jì)算的解釋單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)其中cj表示第j種產(chǎn)品的價(jià)格;表示生產(chǎn)該種產(chǎn)品所消耗的各項(xiàng)資源的影子價(jià)格的總和,即產(chǎn)品的隱含成本。當(dāng)產(chǎn)值大于隱含成本時(shí)，即，表明生產(chǎn)該項(xiàng)產(chǎn)品有利，可在計(jì)劃中安排；否則，用這些資源生產(chǎn)別的產(chǎn)品更有利，不在生產(chǎn)中安排該產(chǎn)品。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法 對偶單純形法是求解線性規(guī)劃的另一個(gè)基本方法。它是根據(jù)對偶原理和單純形法原理而設(shè)計(jì)出來的，因此稱為對偶單純形法。不要簡單理解為是求解對偶問題的單純形法。對偶單純形法原理對偶單純形法基本思路： 找出一個(gè)對偶問題的可行基，保持對偶問題為可行解的條件下，判斷XB是否可行（XB為非負(fù)），若否，通過變換基解，直到找到原問題基可行解（即XB為非負(fù)），這時(shí)原問題與對偶問題同時(shí)達(dá)到可行解，由定理4可得最優(yōu)解。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法找出一個(gè)DP的可行基LP是否可行（XB≥0）保持DP為可行解情況下轉(zhuǎn)移到LP的另一個(gè)基本解最優(yōu)解是否循環(huán)結(jié)束1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法例2.9用對偶單純形法求解：解:（1）將模型轉(zhuǎn)化為求最大化問題，約束方程化為等式求出一組基本解，因?yàn)閷ε紗栴}可行，即全部檢驗(yàn)數(shù)≤0（求max問題）。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-2-2-1100-100x5-2-3-1010-120x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1.

-15/-5)λj-9-12-1500001/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/5-9/5010-1/5-36/50x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/141/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3原問題的最優(yōu)解為：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其對偶問題的最優(yōu)解為：Y*=（1/3,3,7/3），W*=721/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法

對偶單純形法應(yīng)注意的問題：

用對偶單純形法求解線性規(guī)劃是一種求解方法，而不是去求對偶問題的最優(yōu)解初始表中一定要滿足對偶問題可行，也就是說檢驗(yàn)數(shù)滿足最優(yōu)判別準(zhǔn)則最小比值中的絕對值是使得比值非負(fù)，在極小化問題σj≥0，分母aij<0這時(shí)必須取絕對值。在極大化問題中，σ

j≤0，分母aij<0，總滿足非負(fù)，這時(shí)絕對值符號不起作用，可以去掉。如在本例中將目標(biāo)函數(shù)寫成這里σj≤0在求θk時(shí)就可以不帶絕對值符號。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)對偶單純形法對偶單純形法與普通單純形法的換基順序不一樣，普通單純形法是先確定進(jìn)基變量后確定出基變量，對偶單純形法是先確定出基變量后確定進(jìn)基變量；普通單純形法的最小比值是其目的是保證下一個(gè)原問題的基本解可行，對偶單純形法的最小比值是其目的是保證下一個(gè)對偶問題的基本解可行對偶單純形法在確定出基變量時(shí)，若不遵循規(guī)則，任選一個(gè)小于零的bi對應(yīng)的基變量出基，不影響計(jì)算結(jié)果，只是迭代次數(shù)可能不一樣。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)本章小結(jié) 學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.線性規(guī)劃解的概念以及3個(gè)基本定理

2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟1/11/2024運(yùn)籌學(xué)Chapter3運(yùn)輸規(guī)劃

(TransportationProblem)運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型表上作業(yè)法運(yùn)輸問題的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例3.1某公司從兩個(gè)產(chǎn)地A1、A2將物品運(yùn)往三個(gè)銷地B1,B2,B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如下表所示，問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最?。緽1B2B3產(chǎn)量A1646200A2655300銷量1501502001/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型解：產(chǎn)銷平衡問題：總產(chǎn)量=總銷量＝500

設(shè)xij

為從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的運(yùn)輸量，得到下列運(yùn)輸量表：B1B2B3產(chǎn)量A1x11x12x13200A2x21x22x23300銷量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23

s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200

xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型運(yùn)輸問題的一般形式：產(chǎn)銷平衡A1、A2、…、Am

表示某物資的m個(gè)產(chǎn)地；B1、B2、…、Bn

表示某物質(zhì)的n個(gè)銷地；ai

表示產(chǎn)地Ai的產(chǎn)量；bj

表示銷地Bj

的銷量；cij

表示把物資從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的單位運(yùn)價(jià)。設(shè)xij

為從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的運(yùn)輸量，得到下列一般運(yùn)輸量問題的模型：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型變化：

1）有時(shí)目標(biāo)函數(shù)求最大。如求利潤最大或營業(yè)額最大等；

2）當(dāng)某些運(yùn)輸線路上的能力有限制時(shí)，在模型中直接加入約束條件（等式或不等式約束)；

3）產(chǎn)銷不平衡時(shí)，可加入假想的產(chǎn)地（銷大于產(chǎn)時(shí)）或銷地（產(chǎn)大于銷時(shí)）。定理:

設(shè)有m個(gè)產(chǎn)地n個(gè)銷地且產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題，則基變量數(shù)為m+n-1。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法表上作業(yè)法是一種求解運(yùn)輸問題的特殊方法，其實(shí)質(zhì)是單純形法。步驟描述方法第一步求初始基行可行解（初始調(diào)運(yùn)方案）最小元素法、元素差額法、第二步求檢驗(yàn)數(shù)并判斷是否得到最優(yōu)解當(dāng)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)σij全都非負(fù)時(shí)得到最優(yōu)解，若存在檢驗(yàn)數(shù)σij

<0，說明還沒有達(dá)到最優(yōu)，轉(zhuǎn)第三步。閉回路法和位勢法第三步調(diào)整運(yùn)量，即換基，選一個(gè)變量出基，對原運(yùn)量進(jìn)行調(diào)整得到新的基可行解，轉(zhuǎn)入第二步1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法例3.2某運(yùn)輸資料如下表所示：單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量311310719284741059銷量3656問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最??？1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法解：第1步求初始方案方法1：最小元素法基本思想是就近供應(yīng)，即從運(yùn)價(jià)最小的地方開始供應(yīng)（調(diào)運(yùn)），然后次小，直到最后供完為止。B1B2B3B4產(chǎn)量A17A2

4A39銷量36563113101927410583416331/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法總的運(yùn)輸費(fèi)＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元 元素差額法對最小元素法進(jìn)行了改進(jìn)，考慮到產(chǎn)地到銷地的最小運(yùn)價(jià)和次小運(yùn)價(jià)之間的差額，如果差額很大，就選最小運(yùn)價(jià)先調(diào)運(yùn)，否則會增加總運(yùn)費(fèi)。例如下面兩種運(yùn)輸方案。85102120151515510總運(yùn)費(fèi)是z=10×8+5×2+15×1=105最小元素法：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法85102120151551510總運(yùn)費(fèi)z=10×5+15×2+5×1=85后一種方案考慮到C11與C21之間的差額是8－2=6，如果不先調(diào)運(yùn)x21，到后來就有可能x11≠0，這樣會使總運(yùn)費(fèi)增加較大，從而先調(diào)運(yùn)x21，再是x22，其次是x12用元素差額法求得的基本可行解更接近最優(yōu)解，所以也稱為近似方案。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法方法2：Vogel法1）從運(yùn)價(jià)表中分別計(jì)算出各行和各列的最小運(yùn)費(fèi)和次最小運(yùn)費(fèi)的差額，并填入該表的最右列和最下行。B1B2B3B4產(chǎn)量行差額A177A2

41A391銷量3656列差額25133113101927410581/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法2）再從差值最大的行或列中找出最小運(yùn)價(jià)確定供需關(guān)系和供需數(shù)量。當(dāng)產(chǎn)地或銷地中有一方數(shù)量供應(yīng)完畢或得到滿足時(shí)，劃去運(yùn)價(jià)表中對應(yīng)的行或列。重復(fù)1)和2)，直到找出初始解為至。B1B2B3B4產(chǎn)量行差額A177A2

41A3

91銷量3656列差額251331131019274105851/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量行差額311310719284741059銷量3656列差額71135215××1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量行差額311310719284741059銷量3656列差額7135275×××3×1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量行差額311310719284741059銷量3656列差額113515×××3×631××2該方案的總運(yùn)費(fèi):(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法第2步最優(yōu)解的判別（檢驗(yàn)數(shù)的求法） 求出一組基可行解后，判斷是否為最優(yōu)解，仍然是用檢驗(yàn)數(shù)來判斷，記xij的檢驗(yàn)數(shù)為λij由第一章知，求最小值的運(yùn)輸問題的最優(yōu)判別準(zhǔn)則是：所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都非負(fù)，則運(yùn)輸方案最優(yōu)求檢驗(yàn)數(shù)的方法有兩種：閉回路法位勢法（▲）1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法閉回路的概念為一個(gè)閉回路，集合中的變量稱為回路的頂點(diǎn)，相鄰兩個(gè)變量的連線為閉回路的邊。如下表1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法例下表中閉回路的變量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31}共有8個(gè)頂點(diǎn)，這8個(gè)頂點(diǎn)間用水平或垂直線段連接起來，組成一條封閉的回路。B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43一條回路中的頂點(diǎn)數(shù)一定是偶數(shù)，回路遇到頂點(diǎn)必須轉(zhuǎn)90度與另一頂點(diǎn)連接，表3－3中的變量x32及x33不是閉回路的頂點(diǎn)，只是連線的交點(diǎn)。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法閉回路B1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如變量組不能構(gòu)成一條閉回路，但A中包含有閉回路

變量組變量數(shù)是奇數(shù)，顯然不是閉回路，也不含有閉回路；1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法用位勢法對初始方案進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)：1）由

ij=Cij-（Ui+Vj）計(jì)算位勢Ui

，Vj

，因?qū)兞慷杂?/p>

ij=0，即Cij-（Ui+Vj）=0，令U1=02）再由

ij=Cij-（Ui+Vj）計(jì)算非基變量的檢驗(yàn)數(shù)

ijB1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410584363130-1-531029（1）（2）（1）（-1）（10）（12）當(dāng)存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)

kl

≥0，說明現(xiàn)行方案為最優(yōu)方案，否則目標(biāo)成本還可以進(jìn)一步減小。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法當(dāng)存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)

kl<0且

kl=min{ij}時(shí)，令Xkl

進(jìn)基。從表中知可選X24進(jìn)基。第3步確定換入基的變量第4步確定換出基的變量以進(jìn)基變量xik為起點(diǎn)的閉回路中，標(biāo)有負(fù)號的最小運(yùn)量作為調(diào)整量θ，θ對應(yīng)的基變量為出基變量，并打上“×”以示換出作為非基變量。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313(＋)(－)(＋)(－)調(diào)整步驟為：在進(jìn)基變量的閉回路中標(biāo)有正號的變量加上調(diào)整量θ，標(biāo)有負(fù)號的變量減去調(diào)整量θ，其余變量不變，得到一組新的基可行解。然后求所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)重新檢驗(yàn)。1251/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均非負(fù)時(shí)，則當(dāng)前調(diào)運(yùn)方案即為最優(yōu)方案，如表此時(shí)最小總運(yùn)費(fèi)：Z=(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410585363120-2-531039（0）（2）（2）（1）（12）（9）1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法表上作業(yè)法的計(jì)算步驟：分析實(shí)際問題列出產(chǎn)銷平衡表及單位運(yùn)價(jià)表確定初始調(diào)運(yùn)方案（最小元素法或Vogel法）求檢驗(yàn)數(shù)（位勢法）所有檢驗(yàn)數(shù)≥0找出絕對值最大的負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，用閉合回路調(diào)整，得到新的調(diào)運(yùn)方案得到最優(yōu)方案，算出總運(yùn)價(jià)1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法表上作業(yè)法計(jì)算中的問題：（1）若運(yùn)輸問題的某一基可行解有多個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為負(fù)，在繼續(xù)迭代時(shí)，取它們中任一變量為換入變量均可使目標(biāo)函數(shù)值得到改善，但通常取σij<0中最小者對應(yīng)的變量為換入變量。（2）無窮多最優(yōu)解 產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題必定存最優(yōu)解。如果非基變量的σij＝0，則該問題有無窮多最優(yōu)解。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法⑵退化解：

※表格中一般要有(m+n-1)個(gè)數(shù)字格。但有時(shí)在分配運(yùn)量時(shí)則需要同時(shí)劃去一行和一列，這時(shí)需要補(bǔ)一個(gè)0，以保證有(m+n-1)個(gè)數(shù)字格作為基變量。一般可在劃去的行和列的任意空格處加一個(gè)0即可。

※利用進(jìn)基變量的閉回路對解進(jìn)行調(diào)整時(shí)，標(biāo)有負(fù)號的最小運(yùn)量（超過2個(gè)最小值）作為調(diào)整量θ，選擇任意一個(gè)最小運(yùn)量對應(yīng)的基變量作為出基變量，并打上“×”以示作為非基變量。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A116A210A322銷量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)81242814如下例中σ11檢驗(yàn)數(shù)是0，經(jīng)過調(diào)整，可得到另一個(gè)最優(yōu)解。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)表上作業(yè)法銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A17A24A39銷量36562011443137782106×3×416×06×××在x12、x22、x33、x34中任選一個(gè)變量作為基變量，例如選x34例：用最小元素法求初始可行解1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用求極大值問題目標(biāo)函數(shù)求利潤最大或營業(yè)額最大等問題。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用求解方法： 將極大化問題轉(zhuǎn)化為極小化問題。設(shè)極大化問題的運(yùn)價(jià)表為C，用一個(gè)較大的數(shù)M（M≥max{cij}）去減每一個(gè)cij得到矩陣C′，其中C′=（M－cij）≥0,將C′作為極小化問題的運(yùn)價(jià)表，用表上用業(yè)法求出最優(yōu)解。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用例3.3下列矩陣C是Ai（I=1，2，3）到Bj的噸公里利潤,運(yùn)輸部門如何安排運(yùn)輸方案使總利潤最大.銷地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A12589A2910710A365412銷量81491/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用銷地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A12589A2910710A365412銷量8149得到新的最小化運(yùn)輸問題，用表上作業(yè)法求解即可。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題 當(dāng)總產(chǎn)量與總銷量不相等時(shí),稱為不平衡運(yùn)輸問題.這類運(yùn)輸問題在實(shí)際中常常碰到,它的求解方法是將不平衡問題化為平衡問題再按平衡問題求解。當(dāng)產(chǎn)大于銷時(shí)，即：數(shù)學(xué)模型為：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用由于總產(chǎn)量大于總銷量，必有部分產(chǎn)地的產(chǎn)量不能全部運(yùn)送完，必須就地庫存，即每個(gè)產(chǎn)地設(shè)一個(gè)倉庫，假設(shè)該倉庫為一個(gè)虛擬銷地Bn+1，bn+1作為一個(gè)虛設(shè)銷地Bn+1的銷量(即庫存量)。各產(chǎn)地Ai到Bn+1的運(yùn)價(jià)為零，即Ci,n+1=0,（i=1，…，m）。則平衡問題的數(shù)學(xué)模型為：具體求解時(shí),只在運(yùn)價(jià)表右端增加一列Bn+1，運(yùn)價(jià)為零,銷量為bn+1即可1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用當(dāng)銷大于產(chǎn)時(shí)，即：數(shù)學(xué)模型為：由于總銷量大于總產(chǎn)量,故一定有些需求地不完全滿足,這時(shí)虛設(shè)一個(gè)產(chǎn)地Am+1，產(chǎn)量為：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用銷大于產(chǎn)化為平衡問題的數(shù)學(xué)模型為：具體計(jì)算時(shí)，在運(yùn)價(jià)表的下方增加一行Am+1，運(yùn)價(jià)為零。產(chǎn)量為am+1即可。1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用例3.4求下列表中極小化運(yùn)輸問題的最優(yōu)解。B1B2B3B4aiA1592360A2--47840A3364230A448101150bj20603545180160因?yàn)橛校?/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用所以是一個(gè)產(chǎn)大于銷的運(yùn)輸問題。表中A2不可達(dá)B1，用一個(gè)很大的正數(shù)M表示運(yùn)價(jià)C21。虛設(shè)一個(gè)銷量為b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右邊增添一列，得到新的運(yùn)價(jià)表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642030A4481011050bj20603545201801/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用下表為計(jì)算結(jié)果。可看出：產(chǎn)地A4還有20個(gè)單位沒有運(yùn)出。B1B2B3B4B5AiA1352560A24040A3102030A420102050Bj20603545201801/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用3.生產(chǎn)與儲存問題例3.5某廠按合同規(guī)定須于當(dāng)年每個(gè)季度末分別提供10、15、25、20臺同一規(guī)格的柴油機(jī)。已知該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每臺柴油機(jī)的成本如右表。如果生產(chǎn)出來的柴油機(jī)當(dāng)季不交貨，每臺每積壓一個(gè)季度需儲存、維護(hù)等費(fèi)用0.15萬元。試求在完成合同的情況下，使該廠全年生產(chǎn)總費(fèi)用為最小的決策方案。季度生產(chǎn)能力/臺單位成本/萬元Ⅰ2510.8Ⅱ3511.1Ⅲ3011Ⅳ1011.31/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用解：設(shè)xij為第i季度生產(chǎn)的第j季度交貨的柴油機(jī)數(shù)目，那么應(yīng)滿足：交貨：

x11=10生產(chǎn)：x11+x12+x13+x14≤25

x12+x22=15x22+x23+x24≤35x13+x23+x33=25x33+x34≤30x14+x24+x34+x44=20x44≤10把第i季度生產(chǎn)的柴油機(jī)數(shù)目看作第i個(gè)生產(chǎn)廠的產(chǎn)量；把第j季度交貨的柴油機(jī)數(shù)目看作第j個(gè)銷售點(diǎn)的銷量；設(shè)cij是第i季度生產(chǎn)的第j季度交貨的每臺柴油機(jī)的實(shí)際成本，應(yīng)該等于該季度單位成本加上儲存、維護(hù)等費(fèi)用。可構(gòu)造下列產(chǎn)銷平衡問題：1/11/2024運(yùn)籌學(xué)運(yùn)輸問題的應(yīng)用

jiⅠⅡⅢⅣ產(chǎn)量Ⅰ10.810.9511.111.2525ⅡM11.1011.2511.4035ⅢMM11.0011.1530ⅣMMM11.3010銷量1015252010070由于產(chǎn)大于銷，加上一個(gè)虛擬的銷地D，化為平衡問題，即可應(yīng)用表上作業(yè)