第二十七章《相似》教材分析-初中數(shù)學(xué)九年級下冊教案課件說課稿測試題試卷真題

第二十七章《相似》教材分析

-地位與作用

從數(shù)學(xué)知識上，相似形的幾何性質(zhì)是全等形的幾何性質(zhì)的自然而然的延伸和拓展；相似作為

圖形的一種變換也是全等變換的拓廣和發(fā)展，同時，相似也是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、投影與視圖的

基礎(chǔ).所以說相似在空間與幾何的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用。

從學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展來看，學(xué)生通過對直線形的學(xué)習(xí)，已積累了對圖形的豐富的感性認(rèn)識、

一定的邏輯推理論證能力和利用幾何模型分析解決實(shí)際問題的能力，這為相似的學(xué)習(xí)提供了堅(jiān)實(shí)

的知識基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)；同時，從特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合學(xué)生從特殊到

一般的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生在探究學(xué)習(xí)全等時所積累的數(shù)學(xué)思想和方法可以順理成章地遷移到相似的

研究中，這可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，鞏固和提高學(xué)生的邏輯

推理證明的能力。

此外，相似被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中（測物體的高度、測河寬，制作藝術(shù)字等）。在物理中，

學(xué)習(xí)力學(xué)、光學(xué)等，也都要用到相似的知識。通過對相似的應(yīng)用研究，可進(jìn)一步的加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)

建模的意識，提高學(xué)生分析解決實(shí)際問題的能力，對于學(xué)生今后從事各種實(shí)際工作也有重要作用。

二課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，了解黃金分割；

2.通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)

邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定

理，并能利用這些性質(zhì)和判定定理解決生活中的一些實(shí)際問題；

3.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似

變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化；

4.結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，發(fā)展學(xué)生

的邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力：通過這一章的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能

力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.

初中數(shù)學(xué)中考說明中對本章知識的要求：

考試要求

考試內(nèi)容

ABC

圖形相似了解相似三角形的性質(zhì)定理和判能利用相似三角形的

的性三角定定理性質(zhì)定理和判定定理

質(zhì)形解決有關(guān)簡單問題

了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、

成比例線段；了解黃金分割；認(rèn)識

空圖形圖形

圖形的相似；了解相似多邊形與相

問的變的相

似比；了解圖形的位似，知道利用

與化似

圖位似可以將一個圖形放大或縮小。

形在平面直角坐標(biāo)系中，知道已知頂在平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)用

點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形經(jīng)過位似（位似中能寫出已知頂點(diǎn)的多坐標(biāo)與圖

坐標(biāo)心為原點(diǎn)）后的對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間邊形經(jīng)過位似（位似中形運(yùn)動的

圖形

與圖的關(guān)系，了解將多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)心為原點(diǎn)）后的圖形的有關(guān)內(nèi)容

與坐

形運(yùn)（有一個頂點(diǎn)為原點(diǎn)，有一條邊在頂點(diǎn)坐標(biāo)。解決有關(guān)

標(biāo)

動橫坐標(biāo)軸上）分別擴(kuò)大或縮小相同問題。

倍數(shù)時所對應(yīng)的圖形與原圖形位

似。

三知識結(jié)構(gòu)框圖

四教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：相似多邊形的有關(guān)性質(zhì)以及相似三角形的判定是本章的重點(diǎn)內(nèi)容；

難點(diǎn)：相似三角形的判定定理的證明.

四基：

基礎(chǔ)知識：比例線段及其性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，位似

的定義及性質(zhì)；

基本技能：會用比例線段求線段長或列方程，會用相似多邊形、相似三角形的性質(zhì)與判定解

決簡單的實(shí)際問題，會畫位似圖形（含在坐標(biāo)系中）；

基本思想：類比與對比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程與函數(shù)思想、建模思想；

基本實(shí)踐活動：如制作地圖，測物體的高度，測河寬，制作藝術(shù)字等.

五課時安排

本章教學(xué)時間約需13（+2）課時，具體分配如下（僅供參考）：

預(yù)備知識比例的概念和性質(zhì)2課時

27.1圖形的相似2課時

27.2相似三角形共7課時

相似的判定4課時

相似的性質(zhì)2課時

相似的應(yīng)用1課時

27.3位似2課時

數(shù)學(xué)活動小結(jié)2課時

六教學(xué)建議

1.借助本章教材內(nèi)容的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力和自主學(xué)習(xí)的能力

數(shù)學(xué)閱讀能力是一種非常重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，從中考試題的發(fā)展趨勢來看，對學(xué)生閱讀理

解能力的要求逐漸提高；同時自主、主動地參與學(xué)習(xí)才能產(chǎn)生真正意義的學(xué)習(xí)。在平時的教學(xué)中，

應(yīng)該注意對學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力和自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。從全等到相似，是一個從特殊到一般的過

程，學(xué)生容易利用在前面學(xué)到的有關(guān)知識以及研究問題的方法進(jìn)行相似的學(xué)習(xí)。老師可以在本章

的某些章節(jié)（如相似三角形的性質(zhì)與判定等）適當(dāng)改變教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法進(jìn)行自

主學(xué)習(xí)。教師要指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材的方法：如何粗讀，如何細(xì)讀，怎樣去理解概念、定理，怎樣

提煉解題的思想方法，如何設(shè)身處地地經(jīng)歷知識的形成過程，要讓學(xué)生通過閱讀，通過自主學(xué)習(xí)

知其然，更要知其所以然，對難以理解的概念或難以解決的問題作出記號，以便帶著疑問去聽課。

2.在教學(xué)中應(yīng)注重知識形成過程的教學(xué)

從中考試題的考察來看，有從常規(guī)的對固定知識的應(yīng)用的考察到向“知識的形成過程”的考

察發(fā)展的趨勢，這也體現(xiàn)了課標(biāo)中關(guān)于要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，重視知識的形成過程的要求。因

此在教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷相似的定義、性質(zhì)和判定定理的形成過程。讓學(xué)生不僅要懂得結(jié)論、理

解結(jié)論，也要了解結(jié)論是怎么來的。

3.重視知識間的聯(lián)系，注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

（1）類比思想：

研究相似三角形的判定的問題時，可以和研究全等三角形的問題作類比：判定兩個三角形全

等，不一定要六個條件一一驗(yàn)證，有簡便方法（SSS、SAS,ASA、AAS）,類似的，研究兩個三

角形相似時，也不是要對所有的對應(yīng)角和對應(yīng)邊一一驗(yàn)證，也有簡單方法。研究相似多邊形的面

積時，教科書也同研究多邊形的內(nèi)角和問題進(jìn)行了類比：我們已經(jīng)通過推理論證得到了相似三角

形的面積比等于相似比的平方，類似于研究多邊形內(nèi)角和的方法，可以把多邊形劃分成若干個三

角形，從而也能得到相似多邊形面積的比等于相似比的平方。在教學(xué)時，要充分注意這些新舊知

識聯(lián)系的內(nèi)容，注意從學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律出發(fā)，加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，發(fā)揮知識的遷移作用。這樣

有助于學(xué)生對于新知識的理解。相似和全等圖形性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系：他們的對應(yīng)角都相等；全等

圖形的對應(yīng)邊也相等，周長也相等，面積也相等；相似多邊形對應(yīng)邊成比例，周長的比等于相似

比，面積的比等于相似比的平方。

全等的判定相似的判定

兩角夾一邊對應(yīng)相等（ASA）兩角對應(yīng)相等

兩角一對邊對應(yīng)相等（AAS）

兩邊及夾角對應(yīng)相等（SAS）兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等

三邊對應(yīng)相等（SSS）三邊對應(yīng)成比例

直角三角形中一直角邊與斜邊對應(yīng)相等

（HL）

（2）轉(zhuǎn)化與化歸思想（多邊形的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的熟知的三角形的問題來解決等）

（3）建模思想：實(shí)際生活中的問題，建立相似三角形的模型（幾種基本圖形）來解決，如測量旗桿

的高度、訶的寬度等。

（4）方程與函數(shù)思想（利用對應(yīng)邊的比相等建立方程或函數(shù)關(guān)系式）

（5）分類與整合思想（當(dāng)相似三角形不確定時，采用分類與整合思想）

4.重視基礎(chǔ)知識、基本解題方法的歸納與提升

（1）相似三角形的常見圖形及其變換:

平行型

(4)若NACD=/B,則..(5)若AC1BC,CD_LAB,

(5)

(4)

(6)若AC_LBC,DE1BC,則.

(7)在直角梯形ABCD中，若AELDE,則

（6）（7）

（2）證明四條線段成比例的常用方法：

①線段成比例的定義；②三角形相似的預(yù)備定理；③利用相似三角形的性質(zhì)；④轉(zhuǎn)化:等線段代換、

等比代換、等積代換.⑤構(gòu)造相似基本圖形（通常是添加平行線）構(gòu)成比例.⑥利用面積關(guān)系

5.幾個需要說明的問題：

①.以"s，，、“相似于”連接的形式，都是嚴(yán)格對應(yīng)，不用分類；“…與以…為頂點(diǎn)的三角形

相似”、“△…與△…相似”表述的形式是不嚴(yán)格對應(yīng)，需要考慮分類.

②.對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題。如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一

邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.兩三角形相似后，

可得對應(yīng)邊的比相等，然后才可得一個三角形自身兩邊的比與另一三角形對應(yīng)的兩邊的比.

③.類比全等，相似的傳遞性可直接應(yīng)用.

④.類似于判定三角形全等沒有“邊邊角”，判定三角形相似也沒有“邊邊角”.反例

與全等時“邊邊角”的反例相同.

⑤.要特別重視實(shí)際應(yīng)用.

⑥.在沒有明確指出只畫一個圖形的情況下，利用位似變換把一個圖形放大或縮小需要畫出

兩個圖形，尤其是在平面直角坐標(biāo)系下求變換后的坐標(biāo)時要有兩個答案.

七各節(jié)教學(xué)要點(diǎn)

27.1圖形的相似

預(yù)備知識一：比例線段

1.兩線段的比:在同一單位下，兩線段的長度比.

2.（成）比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長

度的比相等，即：=云那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.

設(shè)a、b、c、d為線段,若線段a、b、c、d成比例，即a:b=c:d,b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),a、d叫比例

外項(xiàng),d叫做a、b、c的第四比例項(xiàng);如果a:b=b:c,或b?=ac,那么b叫a、c的比例中項(xiàng).

在介紹比例中項(xiàng)之后，適當(dāng)補(bǔ)充黃金分割的知識.

3.比例性質(zhì)：

（1）比例的基本性質(zhì)（這是等積式與比例式互相轉(zhuǎn)化的依據(jù)）

若烏=￡，貝必d=bc；若q=則〃=ac（b為a、c的比例中項(xiàng)）

bdbc

若ad=be,且bdw0,則—=—；若b?=ac,且bew0,則以=?b為a、c的比例中項(xiàng))

bdbc

例1.已知(2x?3y):(x+y)=l：2,求x:y；

(2)合比性質(zhì)

則一c+dia-b

----或-----

db

例2.已知3。=5匕，則%+2"=_____

a-b

ac+hbk1c+k°d

*推廣：若7=:，則T一rv=T一茨；(分母不能為0).

bak3a+k4bk3c+k4a

(3)等比性質(zhì)

工macm,,八、山”,〃+(?+???+加a

如果一=-二???=—(zb+d----F〃w0),那么------------二一

hdnb+dT-----\-nb

.,acmkxa+k?c+…+k1ma

*推xn廣：如果一=—=???=一,那么F(分母不能為°)?

bdnk}b+k2dH-----1-kfn

例3.已知Agj,則佇浮

總結(jié)證明比例式的常用方法：

(1)“見比設(shè)k”：(以等比性質(zhì)證明為例)

acm八、、1。cm.

*.*—=—=???=—(ZbI+dT-----F〃w0),???設(shè)—=—=???=—=k.

hdnbdn

則ac=dk,…,m=nk.又Yb+dd------

.a+c-\----\-m_bk+dk-\----1-nk_k(b+dd----_攵_〃

b+dT---\-nb+dT------\-nb+dT-----Fnb

(2)利用等式性質(zhì)：(以合比性質(zhì)證明為例)

證明一：證明二：：g=￡,

bd.bd

A-±l=-±l.；?ad=be.

bd

a±bc±d

------=-------.ad+bd=bc+bd.

hd

.?.d(a±b)=b(c±d).

a±bc±d

-----=-----

bd

(3)利用比例的性質(zhì)：(以等比性質(zhì)證明為例)

acab、a+cb+d…、

-（更比）.-----=------（合比）.

bdcdcd

a+cca,—,,、a+cH-----\-ma

：.-~-=-=-（更比）.同理：-------------=-.

b+ddbb+dT-------1-nb

預(yù)備知識二：平行線分線段成比例定理

我們提煉出這樣的一個圖形

已知：如圖,△ABC中，DE〃BC,交AB、AC于D、E.

.....ADAE

----=-----.

ABAC

證明：連接CD、BE.

VDE/7BC,NADE=NB,ZAED=ZC,SSBDE=S&CDE.

又??3A48￡=AESMCPADAD=AE

SAABCAC5AApcA8AC

請?jiān)囍C明:

已知：如圖，DE〃BC,

ADAE

求證:

ABAC

證明：過點(diǎn)E作EF//BD,交CB延長線于F

,BFAE

~BC~~AC

四邊形BDEF為平行四邊形，???DE=BF.

DEAEDEAD.ADAE

——=——，同理，——=...=——

BCACBCABABAC

定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.

平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段的比相等。

例7.如圖，點(diǎn)H在nABCD的邊DC延長線上，連結(jié)AH分別

npAn

交BC、BD于點(diǎn)E、F,求證：---=----.

ADDH

三、圖形的相似：

1.相似圖形：我們把這種形狀相同的圖形叫做相似圖形.

2.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成

比例.

3.相似多邊形的判定：兩個邊數(shù)相同的多邊形對應(yīng)角都相等，對應(yīng)邊成比例，同時滿足上述條

件的兩個多邊形相似.

注：(1)相似圖形不僅僅是平面圖形、也包括立體圖形，如兩個球體、兩個正方體；

(2)教材舉出的相似圖形大小是不同的，而大小不同不是相似的本質(zhì)屬性，形狀相同才

是它的本質(zhì)屬性.教材中又指出圖形的相似可以看成是一個圖形的放大或縮小.這實(shí)際上，也是從

變換的角度解釋了相似的概念；

(3)教材沒有直接給出相似多邊形的定義，而是直接研究它的特征，歸納出特征后，再給

出它的判定方法，這也可以作為相似多邊形的定義.

四、典型例題：

例8.用相似三角形定義判定特殊三角形的相似情況.

(1)兩個全等三角形一定相似.

(2)兩個直角三角形不一定相似.

(3)兩個等腰三角形不一定相似.

(4)兩個等腰直角三角形一定相似.

(5)兩個等邊三角形一定相似.

例9.用相似多邊形定義判定特殊多邊形的相似情況.

(1)對應(yīng)角都相等的兩個多邊形不一定相似.如：矩形.

(2)對應(yīng)邊的比都相等的兩個多邊形不一定相似.如：菱形.

(3)邊數(shù)相同的正多邊形都相似.如：正方形，正五邊形.

例10.已知：如圖，四邊形ABCO的對角線相交于點(diǎn)O,A',B',C',D'分別是0A,OB,

OC,0。的中點(diǎn)，試判斷四邊形A8C。與四邊形A'B'CD'是否相似，并說明理由.

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

一、相似三角形的概念：

1.相似三角形：三組對應(yīng)角分別相等，三組對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.

注：

(1)如AABC與ADEF相似，記作△ABCS/\DEF,其中對應(yīng)頂點(diǎn)要寫在對應(yīng)位置，如A與

D,B與E,C與F相對應(yīng)，這樣比較容易找出對應(yīng)角和對

應(yīng)邊.

(2)相似比帶有順序性:如:△ABCs/^V比C'的相似比為

ABBCCA

=k,反過來△A，B，C，sZ^ABC的相

A'B'B'CC'A'

A'B1B'C'C'A'

似比為

ABBCCAI

(3)全等三角形是相似比為1的相似三角形，因此全等三角形

是相似三角形的特殊情況.

二、相似三角形的判定定理：

(a)1.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段的比相等.

2.平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.

(b)1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

*當(dāng)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊延長線相交時，所構(gòu)成的三角形也和原三角形相似.

2.如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似.

3.如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.

4.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

注：

(1)三角形相似的判定與三角形全等的判定方法類似，可以通過弱化定義和類比全等判

定兩方面來研究、記憶、理解.相似三角形的判定也是從“邊邊邊'’的情況開始的.

全等的判定相似的判定

兩角夾一邊對應(yīng)相等(ASA)兩角對應(yīng)相等

兩角一對邊對應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對應(yīng)相等(SAS)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等

三邊對應(yīng)相等(SSS)三邊對應(yīng)成比例

(2)相似三角形判定定理的證明是在其中一個三角形內(nèi)部構(gòu)造一個與另一個三角形全

等的三角形，利用前面的引理，證明這個三角形與它相似，在這里利用了相似的傳遞性.

（3）“邊邊角”依然不成立.

B

ABAB.

反例：如圖，BD=BC,NA=NA,——=一，但4ABD

BDBC

與4ABC不相似.

三、基本圖形：

（1）“平行線型”的相似三角形（見上）.

（2）“相交線型”的相似三角形（見上）.

（3）“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形（如圖）.

四、典型例題：

例11.如圖，Z\ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)且DE與BC不平行,A

當(dāng)或.或—時，ZkADE與AABC相似.

例12.能判定aABC和△ABC，相似的條件是（）

ABAC金絲且NA="

A-----------................B、

'A'B'~A'CACA'C'

券嗡且…D、ABAC

C、且NB=N6'

例13.如圖，ZACB=ZADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,

要使△ABCsZiCAD,只要CD等于（）

A蘭B.—C.—D.—

cacc

例14.如圖，0ABCD中，EF〃AB,DE：EA=2：3,EF=4,

則CD的長為（）

16

A.TB.8C.10D.16

例15.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC,則AC：AB=.

例16.如圖，△ABC與尸中，AB=AE,BC=EF,NB=NE,AB交EF于D.給出

下列結(jié)論：

①ZAM7=NC；②DF=CF；

③AADEsAFDB；④乙BFD=4JAF.

其中正確的結(jié)論是（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

例17.如圖，在矩形A8CD中，點(diǎn)E、/分別在邊A。、0c上,

AABEsADEF,AB=6,AE=9,DE=2,求ER的長.

,4

例18.如圖，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,/\

D

BFC

求證：AADE^AEFC.

例19、如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P在BC上，且BP=3PC,

點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn).

求證：AADQ^AAQP.

A

例20、如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，

且3

(1)求證：△ACP^AABC；

(2)若AP=2PB,求BC：PC的值.B

例21、點(diǎn)C、D在線段AB匕△PCD是等邊三角形.

(I)當(dāng)AD、CD、BC滿足什么關(guān)系時，△APDSAPBC；

(2)當(dāng)AAPDSAPBC時，求NAPB的度數(shù).

例22、如圖，在AABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E為AD

上一點(diǎn)，ZDAC=ZB,CD=CE,

求證：△ACEs/\BAD.

例23、如圖，△ABC中，AO_LBC于。，對于下列中的每一個BC

條件①NB+/￡)AC=90。②NB=N￡)AC

(3)CD：AD=AC：AB@AB2=BDBC

@AD2=BDCD

其中一定能判定AABC是直角三角形的共有

例24.如圖，在aABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,

E是AC中點(diǎn)，ED交AB延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：△BDFsaDAF；

ABDF

求證:

(2)~AC~~AF

例25.如圖，等邊△ABC,點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=CE,

AD與BE相交于點(diǎn)F.

(1)試說明4ABD嶺Z\BCE；

(2)4AEF與△ABE相似嗎?說說你的理由：

(3)BD2=ADDF嗎?請說明理由.

27.2.2相似三角形的性質(zhì)

一、知識點(diǎn)：

1.相似三角形的性質(zhì)：

（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

（2）對應(yīng)高的比等于相似比；對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

（2）周長比等于相似比.

（3）面積比等于相似比的平方.

注意：本節(jié)課的關(guān)鍵詞就是相似比.加深對相似比的認(rèn)識和理解可以幫助我們更加靈活簡便地分析

和解決問題.

二、典型例題：

例26.若△ABCs^DEF,aABC與4DEF的相似比為1：2,則4ABC與4DEF的周長比為

___________；面積比是___________

例27.如果兩個相似圖形的對應(yīng)邊長分別為2cm和6ctn,且兩個圖形的面積之差為120cm2,貝!!較

大的圖形的面積為.

例28.如圖，把a(bǔ)ABC沿AB邊平移到的位置，它們的重疊部分（即圖中的陰影部分）

的面積是AABC的面積的一半，若AB=6,則此三角形移動的CC

A、V2-1B、也C、1D,-AA'B

22

例29.在AABC中，AB=9,AC=12,BC=18,D為AC上一點(diǎn)，CD=AC,在AB上取一點(diǎn)E,

得到AADE,若兩個三角形相似，求DE的長.

27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例

一、知識點(diǎn)：

1.比例尺：表示圖上距離比實(shí)際距離放大或縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離.

2.太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線.在同一時刻，兩物體影子之比等

于其對應(yīng)的高的比.

3.視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）；視角：由物體兩端射出的兩條光線在

眼球內(nèi)交叉所成的角，物體越小或距離越遠(yuǎn)，視角越?。幻^(qū)：觀察者看不到的區(qū)域；仰（俯）

角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角.

4.會應(yīng)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)，測量簡單的物體的高度或?qū)挾?

如：測量旗桿的高度.

平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法

二、典型例題：

例30.在比例尺為1:5000的國家體育館“鳥巢”的設(shè)計圖上，長軸為6.646cm,短軸為5.928cm,則

它們的實(shí)際長度分別為（）

A.332.3m,296.4mB.330m.300mC.332.5m.296.5mD.332.3m,297.3m

例31.如圖，小偉在打網(wǎng)球時，擊球點(diǎn)距離球網(wǎng)的水平距離是

8米，已知網(wǎng)高是0.8米，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落在離網(wǎng)卜

4米的位置，則球拍擊球的高度h為米.

84

例32.如圖：學(xué)校旗桿附近有一斜坡.小明準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿A8的高度，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)斜坡正對著太

陽時，旗桿A8的影子恰好落在水平地面和斜坡的

坡面上，此時小明測得水平地面上的影長BC=20米，斜坡坡

面上的影長C￡>=8米，太陽光線AD與水平地面成30。角，

斜坡CD與水平地面BC成30。的角，求旗桿AB的高度（精

確到1米）.

例33.如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下,

小明在D點(diǎn)處的影長DE=3米，沿BD方向行

走到達(dá)G點(diǎn)，DG=5米，這時小明的影長GH

=5米.如果小明的身高為1.7米，求路燈桿

AB的高度（精確到0.1米）.

例34.如圖1,李華晚上在路燈下散步.已知李華的身高16=力，燈柱的

高OP=O'P'=b,兩燈柱之間的距離00,=m.

工相關(guān)鏈接

I定值可以理解為一個固定不變的值

或常髭

2.成語形影不離的原意的是指：人的影子

與自己緊密相伴,無法分離,但在燈光下,

人的運(yùn)動速度和影子的速度卻不一樣，

■2

（1）若李華距燈柱。尸的水平距離04=a,求他影子4c的長；

（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（〃/+4C）

是否是定值？請說明理由；

（3）若李華在點(diǎn)/朝著影子（如圖2箭頭）的方向以心勻速行走，試求他

影子的頂端在地面上移動的速度r2.

27.3位似

一、知識點(diǎn):

1.位似圖形：兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行或共線,

像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心.（新教材）

（位似圖形定義一：如果兩個相似圖形的每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形

叫做位似圖形，這個交點(diǎn)叫做位似中心，這時兩個相似圖形的相似比

又叫做它們的位似比.

位似圖形定義二：如果兩個相似圖形的每組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都交

于一點(diǎn)，且對應(yīng)邊平行或共線，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這

個交點(diǎn)叫做位似中心，這時兩個相似圖形的相似比又叫做它們的位似

比.）

注：位似變換是一種特殊的相似變換.對于位似圖形，有外位似和內(nèi)位似之分，外位似的位

似中心在連接兩個對應(yīng)點(diǎn)的線段之外；內(nèi)位似的位似中心在連接兩個對應(yīng)點(diǎn)的線段上.

2.位似圖形的性質(zhì)：

（1）位似圖形是相似圖形.

（2）位似圖形的每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都交于一點(diǎn).

（3）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比.

（4）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.

3.位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫

法.

如果位似殳次ZE》他以T心,相似比為k,位似囹形對應(yīng)點(diǎn)

的坐標(biāo)的比等于左或-Z.

5.利用位似將圖形放大或縮小.

二、典型例題：

例35.已知：如圖，A'B'//AB,B'C'//BC,且04：A幺=4：3,則△ABC與是位似圖形,

位似比為;△OAB與是位似圖形，位似比為.

例36.平面直角坐標(biāo)系中，有一條“魚”，它有六個頂點(diǎn)，則（）

A.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2,縱坐標(biāo)不變，得到的魚與原來的魚位似

B.將各點(diǎn)縱坐標(biāo)乘以2,橫坐標(biāo)不變，得到的魚與原來的魚位似

C.將各點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)都乘以2,得到的魚與原來的魚位似

D.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2,縱坐標(biāo)乘以工，得到的魚與原來的魚位似

2

例37.下圖是幾組三角形的組合圖形，圖①中，AAOB^ADOC；圖②中，△ABCS/^ADE；圖

③中，AABC^AACD；圖④中，AACD^ACBD.

小Q說：圖①、②是位似變換，其位似中心分別是。和A.

小R說：圖③、④是位似變換，其位似中心是點(diǎn)D.

請你觀察一番，評判小Q,小R誰對誰錯.

例38.如圖，中，A,B兩個頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)

是(-1,0).以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方彳

并把AABC的邊長放大到原來的2倍，記所得白

的對應(yīng)點(diǎn)"的橫坐標(biāo)是”，

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是()

A.—ciB.—(ci+1)

22

C.--(a-1)D.―-(a+3)

22

例39.如圖，△ABC在方格紙中，

(1)請?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使

A(2,3),C(6,2),并求出B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以原點(diǎn)。為位似中心，相似比為2,在第

將△ABC放大，畫出放大后的圖形△Z3C；

(3)計算的面積S.

總結(jié)：

1.幾種圖形變換的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：

平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱變換是一個幾何圖形運(yùn)動到一個新的位置后，這個圖形上任意兩點(diǎn)的距離保

持不變(即保距變換)；位似變換是一個幾何圖形在運(yùn)動前、后的對應(yīng)線段之比總為定值，而角的

大小則不變(即保角變換).

2.四種變換的坐標(biāo)表示：以點(diǎn)P(a,b)為例.

(1)將點(diǎn)P向右平移m個單位得P'(a+m,b)；將點(diǎn)P向下平移m個單位得P’(a,b-m).

(2)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P'(a,-b)；點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P(-a,b).

(3)將點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，得到點(diǎn)p(-a,-b),也叫P與P/關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.

(4)將點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離擴(kuò)大到m倍，得到點(diǎn)P'(ma,mb)或

(-ma,-mb).

八專題舉例

（a）“一線三等角”

例40.如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD與BC交于E,ZCPD

=ZA=ZB,BC交PD于F,AD交PC于G,則圖中相似三

角形有（）

A.1對B.2對C.3對D.4對

例41、如圖，Z\ABC中，AB=AC=2,/A=90。,。為

BC中點(diǎn)，E在AB上，F(xiàn)在AC上，NEOF=45。，

設(shè)BE=x,CF=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

例42、在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，BC〃OA,

OA=7,AB=4,ZCOA=60。，點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P

不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連結(jié)CP,過點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D.

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動什么位置時，ZCPD=ZOAB,

且02=3,求出這時點(diǎn)P的坐標(biāo)。

AB8

例43.如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C,

=（，且DW交AC于凡ME交BC于G.

（1）寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；

（2）連結(jié)FG,如果a=45°,AB=4工,AF=3,求FG的長.

（b）分類討論

例44.一個鋼筋三角架三長分別為20cm,50cm,60cm,現(xiàn)要再做一個與其相似的鋼筋三角

架，而只有長為30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根截下兩段（允

許有余料）作為另兩邊，則不同的截法有（）

A.一種B.兩種C,三種D.四種

例45.如圖，AABC中，AB=8,AC=6,如果動點(diǎn)D以每秒2個單

位長的速度，從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)E以每秒

1個單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)測AC方向向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t

（單位：秒）.問t為何值時4ADE與aABC相似？

例46.如圖，正方形ABCD的邊長為2,AE=EB,MN=1,線段MN

的兩端在CB、CD上滑動，當(dāng)CM=時，AAED與N,M,C為

頂點(diǎn)的三角形相似.

例47.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形。4BC的頂點(diǎn)。

在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形O4SC

與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)。位似，且矩形045c的面積等于矩形0ABC面積的,，那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)

4

是()

A.(3,2)B.(-2,-3)

C.(2,3)或(-2,-3)D.(3,2)或(-3,-2)

例48.如圖，在RtZXABC中，NC=90。，D為AB的中點(diǎn)，AB=5,

AC=4,過D做一條直線與另一邊交于點(diǎn)E,且使截得的三角形與

△ABC相似，求DE.

例49.如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動點(diǎn)(與C、D不重合),

使三角板的直角頂點(diǎn)與P重合，并且一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B,另一條直角邊

所在的直線交于點(diǎn)E.

探究：(1)觀察操作結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)哪個三角形與ABPC相似？為什么？

(2)當(dāng)P點(diǎn)位于CD的中點(diǎn)時，(1)中兩個相似三角形周長的比是

多少？

(C)等積式證明：

例50：(1)如圖1,在△ABC中，點(diǎn)D,E,Q分別在AB,AC,BC上，S.DE//BC,AQ交。E

工占-D-FTDPPE

于點(diǎn)P.求證：——=——；

BQQC

(2)如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,正方形OEFG的四個頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG,

4F分別交OE于M,N兩點(diǎn).

①如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長；

②如圖3,求證

例51.如圖，AD是NBAC的角平分線，交AABC的邊BC于點(diǎn)D,

BH1AD,CK±AD,垂足分別為H、K,你能說明ABDK=ACDH嗎？

(d)求線段比值：

例52.已知AABC是等腰直角三角形，ZA=90°,。是腰AC上的一個

動點(diǎn)，過C作CE垂直于30或2。的延長線，垂足為E,如圖1.

⑴若麗是AC的中線，如圖2,求怎的值;

⑵若的是N"C的角平分線,如圖3,求黑的值.

例53.12013順義二模】如圖，直線與線段A3相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。和點(diǎn)。在直線朋N上，且

ZACN=NBDN=45。.

(1)如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時，且AO=QB,請寫出4c與8。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系；

(2)將圖1中的MN繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，AO=。？，(1)中的4c與3。

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

AT

(3)將圖2中的拉長為AO的人倍得到如圖3,求一匕的值.

BD

(e)畫相似三角形

例54.在△ABC和△￡>￡；?中，NA=/O=90°,AB=DE=3,AC=2O尸=4.

(1)判斷這兩個三角形是否相似？并說明為什么？

(2)能否分別過A。在這兩個三角形中各作一條輔助線，使△A6C分割成的兩個三角形與

△。石尸分割成的兩個三角形分別對應(yīng)相似？證明你的結(jié)論.

例55.已知：如圖，AABC中，NB=NC=30。.請你設(shè)計三種不同的分法，將AABC分割成四個三

角形，使得其中兩個是全等三角形，而另外兩個是相似三角形但不全等的直角三角形.請畫出分割

線段，標(biāo)出能夠說明分法的所得三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)角度數(shù)或記號，并在各種分法的空格線上填

空.(畫圖工具不限，不要求寫出畫法，不要求說明理由).

分法一分法二分法三

分法一：分割后所得的四個三角形中，A絲A，RtAsRtA.

分法二：分割后所得的四個三角形中，A絲△,RtAsRs.

分法三：分割后所得的四個三角形中，△9&,RtA-RtA.

(f)動點(diǎn)問題：

例56(2015?廣東中山?4月調(diào)研)如圖，在中，/ACB=90。，AC=8,8c=6,CDA.AB

點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段。向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)

同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到C時，兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

(1)求線段CD的長；

(2)設(shè)ACPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動過程中是否存在某一時刻

t,使得SACPQ：SAABC=9：100?若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由

(3)是否存在某一時刻3使得ACPQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若

不存在，則說明理由.

例57.(2015?山東濟(jì)南?模擬)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,一//

動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒5個單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時動/

點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個單位的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，運(yùn)動的/X

時間為t秒(0<t<2)./

(1)連接CQ,當(dāng)t為何值時CQ=BC；

(2)連接AP,BQ,若BQJ_AP,求△ABP的面積；Bc

(3)求證PQ的中點(diǎn)在AABD的一條中位線上.AFD

(g)相似與幾何變換

例58.(2014?云南昆明)如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD/\

折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為FH,點(diǎn)C落在Q處，ES\\

EQ與BC交于點(diǎn)G,則AEBG的周長是cm.I__

例59(2014?廣東)如圖，在△ABC中，AB=AC,AD1.AB于點(diǎn)D,BC=10cm,AD=8cm.點(diǎn)P

從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，與此同時，垂直于AD的直線m

從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻火/

速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H,當(dāng)點(diǎn)/1\

P到達(dá)點(diǎn)C時，點(diǎn)P與直線m同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)J、/\

動時間為t秒(t>o).―~y\~m/\

備用圖

（1）當(dāng)t=2時，連接DE、DF,求證：四邊形AEDF為菱形；

（2）在整個運(yùn)動過程中，所形成的APEF的面積存在最大值，當(dāng)APEF的面積最大時，求線段

BP的長；

（3）是否存在某一時刻t,使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請

說明理由.

例60.（2011年西城初三25題）含30。角的直角三角板A8C中，NA=30。.將其繞直角頂點(diǎn)C順

時針旋轉(zhuǎn)。角（0°<&<120。且々￥90。），得到RSA'B'C,AC邊與AB所在直線交于點(diǎn)￡>,過

點(diǎn)。作。E〃A，9交邊于點(diǎn)E,連接BE.

（1）如圖1,當(dāng)邊經(jīng)過點(diǎn)8時，a="

(2)在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，若NC8。的度數(shù)是NCBE度數(shù)的相倍，猜

想加的值并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)BC=l,AD=x,△BOE■的面積為S,以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作

當(dāng)5=35兇鼠時，求AO的長，并判斷此時直線4C與OE的位置關(guān)

O￡,

系.

部分中考題鏈接

AD

1.（2014?濱州）如圖，平行于8C的直線OE把AABC分成的兩部分面積相等，則屈=

2.（2015年浙江金華4分）如圖，直線匕，￡…，>是一組等距離的平行線，過直線L上的點(diǎn)A作

兩條射線，分別與直線匕，L相交于點(diǎn)B，E,C,F.若BC=2,則EF的長是

3.（2013?北京）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標(biāo)點(diǎn)

A,在近岸取點(diǎn)8,C,D,使得CD±BC,點(diǎn)E在BC上，并且

點(diǎn)A,E,。在同一條直線上。若測得8E=20m,EC=\0m,CD=20m,則

河