有趣的幾何分解

以上現(xiàn)象顯示出幾何圖形的一類(lèi)新的幾何性質(zhì)。這類(lèi)性質(zhì)與幾何圖形的大小、形狀以及所含線段的曲直等等都無(wú)關(guān)，他們不能用歐氏幾何的方法來(lái)處理，它們的特點(diǎn)是：在“彈性變形”下保持不變，研究這類(lèi)新問(wèn)題的幾何學(xué)，歐拉稱(chēng)之為“位置幾何學(xué)”，人們通俗地把它叫做“橡皮幾何學(xué)”。后來(lái)，這門(mén)數(shù)學(xué)分支被正式命名為“拓?fù)鋵W(xué)”第一頁(yè)第二頁(yè)，共64頁(yè)。拓?fù)洌踭opology］，原意暗指和地形、地勢(shì)相類(lèi)似或有關(guān)的學(xué)科，曾譯為形勢(shì)幾何學(xué)、連續(xù)幾何學(xué)。1956年《數(shù)學(xué)名詞》確定譯為拓?fù)鋵W(xué)，是按音直譯的。第二頁(yè)第三頁(yè)，共64頁(yè)。一、拓?fù)鋵W(xué)的早期發(fā)展第三頁(yè)第四頁(yè)，共64頁(yè)。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。多面體的歐拉定理四色問(wèn)題哥尼斯堡七橋問(wèn)題第四頁(yè)第五頁(yè)，共64頁(yè)。著名的七橋問(wèn)題對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展曾起了一定的作用，實(shí)質(zhì)上它是一個(gè)一筆畫(huà)問(wèn)題．七橋問(wèn)題是這樣的：流經(jīng)哥尼斯堡的普雷格河的河灣處有兩個(gè)小島，七座橋連結(jié)了兩岸和小島(左圖)．當(dāng)?shù)亓鱾饕粋€(gè)游戲：要求在一次散步中恰好通過(guò)每座橋一次．很長(zhǎng)時(shí)間里沒(méi)有人能做到．后來(lái)大數(shù)學(xué)家Euler研究了這個(gè)游戲．他用點(diǎn)代表陸地(兩岸和島)，用連結(jié)各點(diǎn)的線代表橋，得到上面的圖形．于是上述游戲變成這個(gè)圖形能不能一筆畫(huà)成的問(wèn)題了．Euler證明它是不能一筆畫(huà)成的．哥尼斯堡七橋問(wèn)題第五頁(yè)第六頁(yè)，共64頁(yè)。哥尼斯堡七橋問(wèn)題第六頁(yè)第七頁(yè)，共64頁(yè)。“討論長(zhǎng)短大小的幾何學(xué)分支，一直被人們熱心的研究著，但是還有一個(gè)至今幾乎完全沒(méi)有探索過(guò)的分支，萊布尼茲最先提到它，稱(chēng)之‘位置幾何學(xué)’，這個(gè)幾何學(xué)分支討論只與位置有關(guān)的關(guān)系，研究位置的性質(zhì)。它不考慮長(zhǎng)短大小，也不牽涉量的計(jì)算。但至今未有過(guò)令人滿(mǎn)意的定義，來(lái)刻畫(huà)位置幾何學(xué)的課題和方法?！边@一數(shù)學(xué)分支現(xiàn)代稱(chēng)為“拓?fù)鋵W(xué)”第七頁(yè)第八頁(yè)，共64頁(yè)。對(duì)七橋問(wèn)題的反思七橋問(wèn)題是一個(gè)幾何問(wèn)題，然而，它卻是一個(gè)以前歐氏幾何學(xué)里沒(méi)有研究過(guò)的幾何問(wèn)題。在以前的幾何學(xué)里，不論怎樣移動(dòng)圖形，它的大小和形狀都是不變的；而歐拉在解決七橋問(wèn)題時(shí)，把陸地變成了點(diǎn)，橋梁變成了線，而且線段的長(zhǎng)短曲直，交點(diǎn)的準(zhǔn)確方位、面積、體積等概念，都變得沒(méi)有意義了。不妨把七橋畫(huà)成別的什么類(lèi)似的形狀，照樣可以得出與歐拉一樣的結(jié)論。

很清楚，圖中什么都可以變，唯獨(dú)點(diǎn)線之間的相關(guān)喂置，或相互連結(jié)的情況不能變。

歐拉對(duì)“哥尼斯堡七橋”問(wèn)題的研究，是拓?fù)鋵W(xué)研究的先聲。第八頁(yè)第九頁(yè)，共64頁(yè)。在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。有人說(shuō)這是拓?fù)鋵W(xué)的第一個(gè)定理。多面體的歐拉定理第九頁(yè)第十頁(yè)，共64頁(yè)。著名的“四色問(wèn)題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題。四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。”四色問(wèn)題第十頁(yè)第十一頁(yè)，共64頁(yè)。四色問(wèn)題第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共64頁(yè)。凱利1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共64頁(yè)。1878～1880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰特兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來(lái)數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰特的證明也被人們否定了。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共64頁(yè)。進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。

第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共64頁(yè)。上面的三個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題，但這些問(wèn)題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些都是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共64頁(yè)。1895年龐加萊（Poincaré,1854?1912）的著作《位置分析》開(kāi)始了對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究，由于他奠基性的工作，拓?fù)鋵W(xué)走上了寬廣的道路，眾多的數(shù)學(xué)家進(jìn)入了這個(gè)領(lǐng)域，使得拓?fù)鋵W(xué)稱(chēng)為本世紀(jì)最豐富多彩的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，并成為近代數(shù)學(xué)的“新三高”（即抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析）第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共64頁(yè)。二、拓?fù)鋵W(xué)的基本研究對(duì)象第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共64頁(yè)。第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共64頁(yè)。第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共64頁(yè)。第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共64頁(yè)。拓?fù)鋵W(xué)是研究圖形經(jīng)過(guò)拓?fù)渥儞Q后的不變性質(zhì)的學(xué)科。這里的拓?fù)渥儞Q形象的說(shuō)就是一種既不撕破、也不黏合、但允許將圖形伸縮和彎曲的變換。上面三組圖形從拓?fù)渥儞Q角度來(lái)看，它們分別是“等價(jià)”的。然而，在初等幾何學(xué)中，這些圖形的形狀、面積、周長(zhǎng)等都是不相同的。第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共64頁(yè)。如果圖形X通過(guò)彎曲、伸縮，而沒(méi)有撕裂也沒(méi)有黏合變形為Y，則稱(chēng)兩個(gè)圖X和Y是拓?fù)涞葍r(jià)或同胚。通?；ハ嗤叩膱D形被看做同一種圖形。第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共64頁(yè)。第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共64頁(yè)。簡(jiǎn)單曲面上的任一閉曲線總把它分割成兩部分.簡(jiǎn)單閉曲面把空間分成兩部分即內(nèi)部和外部，且以該曲面為這兩部分的公共邊界。另外這些曲面中的每一個(gè)都有兩側(cè)：外側(cè)和內(nèi)側(cè)，這種雙側(cè)性在同胚下也是不變的。第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共64頁(yè)。單側(cè)曲面——莫比烏斯帶1858年德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯（1790-1868）有一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn)：存在只有一側(cè)的曲面。第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共64頁(yè)。第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共64頁(yè)。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共64頁(yè)。是否存在單側(cè)閉曲面呢？思考第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共64頁(yè)。單側(cè)閉曲面菲利克斯·克萊因(1849年4月25日—1925年6月22日)第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共64頁(yè)。在1882年，著名德國(guó)數(shù)學(xué)家菲立克斯·克萊因(FelixKlein)發(fā)現(xiàn)了后來(lái)以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個(gè)象球面那樣封閉的（也就是說(shuō)沒(méi)有邊）曲面，但是它卻只有一個(gè)面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個(gè)瓶子。但是它沒(méi)有瓶底，它的瓶頸被拉長(zhǎng)，然后似乎是穿過(guò)了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過(guò)瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會(huì)得到一個(gè)輪胎面。第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共64頁(yè)。第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共64頁(yè)。第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共64頁(yè)。三、拓?fù)湫再|(zhì)與拓?fù)洳蛔兞康谌?yè)第三十四頁(yè)，共64頁(yè)。如果幾何圖形A某些性質(zhì)或量在每一個(gè)拓?fù)渥儞Q下都保持不變，就稱(chēng)之為拓?fù)湫再|(zhì)（即拓?fù)洳蛔冃裕┗蛲負(fù)洳蛔兞?。例如單?cè)性、雙側(cè)性都是最簡(jiǎn)單的拓?fù)湫再|(zhì)，而歐拉多面體公式中的數(shù)（歐拉示性數(shù)）則是拓?fù)洳蛔兞?。這里列舉一些最基本而又重要的拓?fù)湫再|(zhì)和拓?fù)洳蛔兞俊５谌捻?yè)第三十五頁(yè)，共64頁(yè)。1、連通性及其重?cái)?shù)如果圖形X中任意兩點(diǎn)p與q，都能用X中一條道路連接，則稱(chēng)X是聯(lián)通的（更確切的說(shuō)是道路聯(lián)通）。第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共64頁(yè)。圖形中任一條封閉曲線都能連續(xù)的“收縮”成圖形中一點(diǎn)，具有這種性質(zhì)的圖形稱(chēng)為單連通區(qū)域。不是單連通的區(qū)域稱(chēng)為多連通區(qū)域。第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共64頁(yè)。如果圖形必須做n-1次彼此不交的、從邊界到邊界的切割，才能把給定的多連通區(qū)域D化為單連通區(qū)域，則稱(chēng)D為n重連通的。平面上一個(gè)區(qū)域的連通性重?cái)?shù)是這個(gè)區(qū)域的一個(gè)重要的拓?fù)洳蛔兞?。第三十七?yè)第三十八頁(yè)，共64頁(yè)。對(duì)空間區(qū)域C

，如果C內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于C，則稱(chēng)C是空間二維單連通區(qū)域；如果C

內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于C

的曲面，則稱(chēng)C為空間一維單連通區(qū)域。第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共64頁(yè)。第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共64頁(yè)。第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共64頁(yè)。第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共64頁(yè)。2、虧格定義：若曲面中最多可畫(huà)出n條閉和曲線同時(shí)不將曲面分開(kāi)，則稱(chēng)該曲面虧格為n。虧格是二維曲面最典型的拓?fù)洳蛔兞俊Ｒ詫?shí)的閉曲面為例，虧格g就是曲面上洞眼的個(gè)數(shù).比如球面沒(méi)有洞，故g=0;環(huán)面有一個(gè)洞，故g=1。

第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共64頁(yè)。如果兩個(gè)閉曲面有相同的虧格，則可以把其中一個(gè)連續(xù)的變?yōu)榱硪粋€(gè)，所以從拓?fù)涞挠^點(diǎn)來(lái)看，一個(gè)閉曲面的虧格完全刻畫(huà)了這個(gè)閉曲面的特征。第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共64頁(yè)。3、何為不動(dòng)點(diǎn)張景中院士曾通俗的講：設(shè)想把一根橡皮條拉長(zhǎng)，拉長(zhǎng)到1米，兩端固定在一根米尺的兩端。米尺上是有刻度的：1厘米，2厘米，……于是，可以在橡皮條上也畫(huà)上記號(hào)。橡皮條上的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)x。X在0和100之間。手一松，橡皮條自然會(huì)縮短，把縮短了的橡皮條仍然放在尺子上，在按照尺子上的刻度在每個(gè)點(diǎn)做記號(hào)y，y與原來(lái)的x就對(duì)應(yīng)起來(lái)，記縮短變幻為f,y=f(x).從拉長(zhǎng)到縮短，橡皮條上的每個(gè)點(diǎn)的位置都經(jīng)歷了一次變化，一個(gè)運(yùn)動(dòng)，從x變到y(tǒng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)可能很不規(guī)則，很難掌握。但是，數(shù)學(xué)家知道有一件事是確鑿無(wú)疑的——橡皮條上至少有一個(gè)點(diǎn)，它的位置沒(méi)有變化！這就是線段上的不定點(diǎn)定理。第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共64頁(yè)。平面上的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)學(xué)家進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)平面上也有不動(dòng)點(diǎn)定理。比如，一幅畫(huà)在繃緊了的橡膠薄膜上的中國(guó)地圖。把周?chē)哪究蛉サ?，地圖不再繃緊，它收縮變形。再在原來(lái)的中國(guó)地圖上，地圖上的每一個(gè)點(diǎn)都有了新位置，北京也許到了蘭州，上海說(shuō)不定挪到了西安，海南島爬上大陸。但是，不動(dòng)點(diǎn)定理告訴我們，有一個(gè)地方肯定沒(méi)有動(dòng)。至于這個(gè)地方是哪里，那就不知道了，這要根據(jù)變動(dòng)的具體情形而定。第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共64頁(yè)。第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共64頁(yè)。根據(jù)球面上的不動(dòng)點(diǎn)定理，數(shù)學(xué)家斷言，任何時(shí)候，地球上總有一個(gè)地方不刮風(fēng)！同理知：每個(gè)人頭發(fā)上至少有一個(gè)漩渦。第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共64頁(yè)。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊（Poincaré,1854?1912）以他豐富的想象力及抽象的思維能力，提出下圖中的兩個(gè)物體是等價(jià)（同胚）的，也就是說(shuō)，您可以從其中一個(gè)開(kāi)始，經(jīng)由拓?fù)渥儞Q得出另一個(gè)，您認(rèn)為可能嗎？龐加萊（Poincaré,1854?1912）第四十八頁(yè)第四十九頁(yè)，共64頁(yè)。過(guò)程第四十九頁(yè)第五十頁(yè)，共64頁(yè)。四、拓?fù)鋵W(xué)取得的成就長(zhǎng)期以來(lái)，拓?fù)鋵W(xué)一直都是數(shù)學(xué)研究的最前沿領(lǐng)域之一。國(guó)際數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)項(xiàng)菲爾茲獎(jiǎng)的歷年獲獎(jiǎng)?wù)咧?，很多人的獲獎(jiǎng)原因都跟拓?fù)鋵W(xué)的研究有關(guān)。

第五十頁(yè)第五十一頁(yè)，共64頁(yè)。菲爾茲獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)（FieldsMedal，全名TheInternationalMedalsforOutstandingDiscoveriesinMathematics）是一個(gè)在國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上頒發(fā)的獎(jiǎng)項(xiàng)。它每四年頒獎(jiǎng)一次，頒給二至四名有卓越貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家。得獎(jiǎng)?wù)唔氃谠撃暝┣拔礉M(mǎn)四十歲。菲爾茲獎(jiǎng)是據(jù)加拿大數(shù)學(xué)家約翰·查爾斯·菲爾茲的要求設(shè)立的，被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)(諾貝爾獎(jiǎng)未設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng))。第五十一頁(yè)第五十二頁(yè)，共64頁(yè)。R．托姆法國(guó)數(shù)學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士。突變論的創(chuàng)始人。1958年的菲爾茲獎(jiǎng)獲得者R．托姆因?yàn)閯?chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)協(xié)邊理論而獲獎(jiǎng)；第五十二頁(yè)第五十三頁(yè)，共64頁(yè)。1962年，瑞典數(shù)學(xué)家J．W．米爾諾憑借證明微分拓?fù)渲衅呔S球面上存在不同微分結(jié)構(gòu)，否定龐加萊主猜想而受獎(jiǎng)第五十三頁(yè)第五十四頁(yè)，共64頁(yè)。

斯梅（Smale），美國(guó)數(shù)學(xué)家，1966年獲獎(jiǎng)。他對(duì)微分拓?fù)渲袕V義龐加萊猜想有重要建樹(shù)，證明了四維以上的龐加萊猜想。創(chuàng)立了現(xiàn)代抽象微分動(dòng)力系統(tǒng)理論。第五十四頁(yè)第五十五頁(yè)，共64頁(yè)。1972年在法國(guó)尼斯，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家S．P．諾維科夫因微分拓?fù)鋵W(xué)配邊理論和葉狀