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文檔簡介

第三章

一階微分方程的解的存在定理需解決的問題§3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法

一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題(1)初值問題(3.1)的解等價于積分方程的連續(xù)解.證明思路(2)構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)這是為了即下面分五個命題來證明定理,為此先給出積分方程的解如果一個數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號且在定積分符號下含有未知函數(shù),那么稱這樣的關(guān)系式為積分方程.積分方程命題1初值問題(3.1)等價于積分方程證明:即反之故對上式兩邊求導(dǎo),得且構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通,即上述的積分是否有意義?注命題2證明:(用數(shù)學(xué)歸納法)命題3證明:考慮函數(shù)項級數(shù)它的前n項局部和為對級數(shù)(3.9)的通項進行估計于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對所有正整數(shù)n,有現(xiàn)設(shè)命題4證明:即命題5證明:由綜合命題1—5得到存在唯一性定理的證明.一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題命題1初值問題(3.1)等價于積分方程構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列命題2命題3命題4命題52存在唯一性定理的說明3一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程那么方程(3.5)存在唯一解滿足初始條件三近似計算和誤差估計求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,這里注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證明那么例1討論初值問題解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超解由于由(3.19)例2求初值問題解的存在唯一區(qū)間.解例3利用Picard迭代法求初值問題的解.解與初值問題等價的積分方程為其迭代序列分別為取極限得即初值問題的解為§3.2解的延拓

問題提出對于初值問題例如

初值問題1飽和解及飽和區(qū)間定義12局部李普希茨(Lipschitz)條件定義2對定義2也可如下定義注3解的延拓定理定理證明定義函數(shù)

以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一次地進行下去.直到無法延拓為止.

它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的,即得到了(3.1)的飽和解.最后得到一條長長的積分曲線,推論1那么它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2證明推論3例1討論方

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