數(shù)學函數(shù)的最值

函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)一、復習與引入1.當函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時,判別f(x0)是極大(小)值的方法是:

①如果在x0附近的左側右側,那么,f(x0)

是極大值;

②如果在x0附近的左側右側,那么,f(x0)

是極小值.2.導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充分條件.極值只能在函數(shù)不可導的點或導數(shù)為零的點取到.3.在某些問題中,往往關心的是函數(shù)在一個定義區(qū)間上,

哪個值最大,哪個值最小,而不是極值.二、新課——函數(shù)的最值與導數(shù)xX2oaX3bx1y觀察右邊一個定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象.發(fā)現(xiàn)圖中____________是極小值，_________是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？

導數(shù)的應用-----求函數(shù)最值.

(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)(端點處)比較,其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值(極大值或極小值)求函數(shù)的最值時,應注意以下幾點:(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個局部概念,而函數(shù)的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問題,是一個整體性的概念.(2)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個,而函數(shù)的極值則可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).三、例題選講例1:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值.解:令,解得x=-1,0,1.當x變化時,的變化情況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’

-0

+0

-0+y13↘4↗5↘4↗13從上表可知,最大值是13,最小值是4.求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值:練習:最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－61[例2]已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值．[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①函數(shù)f(x)＝x2(x－a)中含有參數(shù)a；②在a確定的情況下，求切線方程；③在a不確定的情況下求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值．解答本題可先對函數(shù)求導，然后根據(jù)a的不同取值范圍，討論確定f(x)在[0,2]上的最大值．[解析]

(1)f′(x)＝3x2－2ax.因為f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又當a＝0時，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為3x－y－2＝0.[例3]已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，問是否存在實數(shù)a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29；②根據(jù)最大值、最小值確定a，b的值．解答本題可先對f(x)求導，確定f(x)在[－1,2]上的單調(diào)性及最值，再建立方程從而求得a，b的值．[解析]

存在．顯然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．(1)當a>0時，x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)

b

所以當x＝0時，f(x)取最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)>f(2)，所以當x＝2時，f(x)取最小值，即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.(2)當a<0時，x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：所以當x＝0時，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，f(2)>f(－1)，所以當x＝2時，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，所以a＝－2.綜上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)

b

五、小結1.求在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導的函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.2.求函數(shù)的最值時,應注意以下幾點:(1)要正確區(qū)分極值與最值這兩個概念.(2)在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導的函數(shù)f(x)在(a,