數(shù)值代數(shù)方向相關(guān)函數(shù)

計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)值代數(shù)方向的

Matlab相關(guān)函數(shù)一、創(chuàng)建稀疏矩陣二、矩陣特征、范數(shù)以及條件數(shù)三、矩陣的分解四、特殊矩陣的生成五、最小二乘擬合直線一、創(chuàng)建稀疏矩陣在MATLAB中，通過函數(shù)sparse()把普通矩陣轉(zhuǎn)換為稀疏矩陣，該函數(shù)的調(diào)用格式如下。1.S=sparse(A):

該函數(shù)將矩陣A轉(zhuǎn)換為稀疏矩陣S。當(dāng)矩陣A是系數(shù)存儲(chǔ)時(shí)，則函數(shù)調(diào)用相當(dāng)于S=A。2.S=sparse(m,n):該函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)mxn的所有元素都是0的稀疏矩陣。3.S=sparse(u,v,S):

該函數(shù)的輸入?yún)?shù)u,v和S是3個(gè)等長的向量。S是要建立的稀疏矩陣的非0元素，u(i),v(i)分別是s(i)的行和列下標(biāo)，該函數(shù)建立一個(gè)max(u)行、max(v)列，并以s為非零元素的稀疏矩陣。4.S=sparse(i,j,s,m,n):

該函數(shù)中i和j分別是稀疏矩陣中非零元素的行和列，s為相應(yīng)的元素值，m和n分別是矩陣的行和列。例：將普通矩陣轉(zhuǎn)換為稀疏矩陣，代碼如下：clearall;A=rand(15,10)>0.98S=sparse(A)%產(chǎn)生稀疏矩陣whos例：將稀疏矩陣轉(zhuǎn)換為普通矩陣，代碼如下：clearall;A=[0002;0030;0000;4000]S1=sparse(A)%產(chǎn)生稀疏矩陣S2=sparse([4,2,1],[1,3,4],[432],4,4)%產(chǎn)生稀疏矩陣B=full(S1)%轉(zhuǎn)換為普通矩陣

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Matlab相關(guān)函數(shù)一、創(chuàng)建稀疏矩陣二、矩陣特征、范數(shù)以及條件數(shù)三、矩陣的分解四、特殊矩陣的生成五、最小二乘擬合直線二、矩陣特征、范數(shù)以及條件數(shù)（一）矩陣特征y1=det(A)

求矩陣A的行列式[V,D]=eig(A)

求矩陣A的特征向量、特征值構(gòu)成的對(duì)角陣b1=diag(A)

獲取A的主對(duì)角元素B2=diag(A,i)

獲取第i條對(duì)角元素（對(duì)角線以上）triu(A)

返回矩陣A的上三角矩陣Tril(A)

返回矩陣A的下三角矩陣triu(A,k)

返回矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素C=inv(A)

求逆（A為可逆方陣）D=pinv(A)

求A的廣義逆d=rank(A)

求矩陣A的秩（二）矩陣范數(shù)n1=norm(A,1)

計(jì)算矩陣的1-范數(shù)n2=norm(A)

計(jì)算矩陣的2-范數(shù)n3=norm(A,inf)

計(jì)算矩陣的無窮范數(shù)n3=norm(A,’fro’)

計(jì)算矩陣的Frobenius范數(shù)n5=normest(A)

計(jì)算矩陣2-范數(shù)的估計(jì)值（三）條件數(shù)及其他c1=cond(A,1)

矩陣的1-范數(shù)下的條件數(shù)c2=cond(A,2)

矩陣的2-范數(shù)下的條件數(shù)c3=cond(A,inf)

矩陣無窮范數(shù)下的條件數(shù)x1=expm(A)

計(jì)算矩陣的指數(shù)X2=logm(A)

計(jì)算矩陣A的對(duì)數(shù)X1=funm(A,@sin)

計(jì)算矩陣的正弦

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Matlab相關(guān)函數(shù)一、創(chuàng)建稀疏矩陣二、矩陣特征、范數(shù)以及條件數(shù)三、矩陣的分解四、特殊矩陣的生成五、最小二乘擬合直線三、矩陣的分解（一）Cholesky分解R=chol(A):

該函數(shù)對(duì)正定矩陣A進(jìn)行Cholesky分解，返回值R為上三角矩陣，滿足A=R’*R。如果矩陣A不是正定矩陣，則返回出錯(cuò)信息。[R,p]=chol(A):

當(dāng)矩陣A是正定矩陣時(shí)，進(jìn)行Cholesky分解，返回值R為上三角矩陣，滿足A=R’*R，p=0。如果矩陣A不是正定矩陣，則返回值p是一個(gè)正整數(shù)，R為上三角矩陣，其階數(shù)為p-1，且滿足A(1:p-1,1:p-1)=R’*R例：利用函數(shù)進(jìn)行矩陣的Cholesky分解clearall;A=pascal(4) %產(chǎn)生4階的帕斯卡矩陣eig(A)R=chol(A) %矩陣的Cholesky分解R’*R（二）LU分解高斯消去法又稱為LU分解，將方陣A分解為下三角矩陣的置換矩陣L和上三角矩陣U的乘積。即滿足A=L*U[L1,U1]=lu(A):

該函數(shù)將矩陣A分解為下三角矩陣的置換矩陣L1和上三角矩陣U1，它們滿足A=L1*U1。[L2,U2,P]=lu(A):

該函數(shù)將矩陣A分解為下三角矩陣L2和上三角矩陣U2，以及置換矩陣P，它們滿足L2*U2=P*AY=lu(A):

該函數(shù)將下三角矩陣和上三角矩陣合并在矩陣Y中，矩陣Y的對(duì)角元素為上三角矩陣的對(duì)角元素，并且滿足Y=L2+U2-eye(size(A))例：利用函數(shù)lu()進(jìn)行矩陣的LU分解，代碼如下clearall;A=[234;849;531][L1,U1]=lu(A) %矩陣的LU分解[L2,U2,P]=lu(A)Y1=lu(A) %矩陣的LU分解L1*U1 %驗(yàn)證Y2=L2+U2-eye(size(A))%驗(yàn)證（三）QR分解矩陣的正交分解，又稱為QR分解。QR分解將一個(gè)mxn的矩陣A分解為一個(gè)正交矩陣Q（大小為mxn）和一個(gè)上三角矩陣R（大小為mxn）的乘積，即A=Q*R。在MATLAB中通過函數(shù)qr()進(jìn)行矩陣的QR分解。該函數(shù)的調(diào)用格式為[Q,R]=qr(A)，其中Q味正交矩陣，R為上三角矩陣。（四）SVD分解s=svd(A):該函數(shù)對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解，返回由奇異值組成的列向量，奇異值按照從大到小的順序進(jìn)行排列。[U,S,V]=svd(A):該函數(shù)對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解，其中U和V為酉矩陣，S為一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素為矩陣奇異值的降序排列。例：利用函數(shù)svd()進(jìn)行矩陣的奇異值分解，代碼如下：clearall;A=[234;849;531]s=svd(A)%矩陣的SVD分解[U,S,V]=svd(A)%矩陣的SVD分解U*S*V’%驗(yàn)證norm(A)（五）Schur分解矩陣A的Schur分解公式為A=U*S*U’,矩陣A必須是方陣，U為酉矩陣，S為塊對(duì)角矩陣，由對(duì)角線上的1x1和2x2等小塊組成。[U,S]=schur(A):

該函數(shù)將矩陣A進(jìn)行Schur

分解，返回酉矩陣U和塊對(duì)角矩陣S。S=schur(A):

該函數(shù)僅返回塊對(duì)角矩陣S。例：利用函數(shù)schur()進(jìn)行矩陣的Schur分解，代碼如下：clearall;A=pascal(4)%產(chǎn)生4階帕斯卡矩陣[U,S]=schur(A)%矩陣的Schur分解U*S*U’%驗(yàn)證（六）Hessenberg分解H=hess(A):該函數(shù)對(duì)方陣A進(jìn)行Hessenberg分解，返回Hessenberg矩陣H。[P,H]=hess(A):該函數(shù)對(duì)方陣A進(jìn)行Hessenberg分解，返回值為P和H，滿足A=P*H*P’,并且P’*P=eye(size(P)).例：利用函數(shù)hess()進(jìn)行矩陣的Hessenberg分解，代碼如下：clearall;A=[1353;2691;74110;2593];H1=hess(A)%矩陣的Hessenberg分解[P2,H2]=hess(A)%矩陣的Hessenberg分解B=P2*H2*P2’%驗(yàn)證C=P2’*P2

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Matlab相關(guān)函數(shù)一、創(chuàng)建稀疏矩陣二、矩陣特征、范數(shù)以及條件數(shù)三、矩陣的分解四、特殊矩陣的生成五、最小二乘擬合直線四、特殊矩陣的生成（一）全零矩陣A=zero(N):

該函數(shù)產(chǎn)生NxN的全零矩陣A=zero(M,N):該函數(shù)產(chǎn)生MxN的全零矩陣A=zero(M,N,P…):

該函數(shù)產(chǎn)生NxNxPx…的全零矩陣A=zero(size(B)):該函數(shù)產(chǎn)生和矩陣B維數(shù)相同的全零矩陣（二）全1矩陣和單位矩陣在Matlab中，采用函數(shù)one()產(chǎn)生1矩陣，該函數(shù)的調(diào)用格式和函數(shù)zeros()基本一致。采用函數(shù)eye()產(chǎn)生單位矩陣，該函數(shù)的調(diào)用格式如下。A=eye(N):

該函數(shù)產(chǎn)生NxN單位矩陣。A=zeros(M,N):該函數(shù)產(chǎn)生MxN的矩陣，對(duì)角線元素為1，其余元素均為0。A=zeros(size(B)):

該函數(shù)產(chǎn)生和矩陣B維數(shù)相同的單位矩陣（三）范得蒙矩陣范得蒙（Vandermonde）矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。 在Matlab中，通過函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。（四）希爾伯特矩陣 在MATLAB中，通過函數(shù)hilb()生成希爾伯特（Hilbert）矩陣，該函數(shù)的調(diào)用格式為hilb(n)，產(chǎn)生n階的希爾伯特矩陣。希爾伯特矩陣是一種病態(tài)矩陣，矩陣中任何一個(gè)元素發(fā)生微小得變化，整個(gè)矩陣的值和逆矩陣都發(fā)生巨大的變化。 在MATLAB中，通過函數(shù)invhilb()求希爾伯特矩陣的逆矩陣，該函數(shù)的調(diào)用格式為invhilb(n)，該函數(shù)產(chǎn)生n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例：希爾伯特矩陣和其逆矩陣，代碼如下clearall;A=hilb(3) %產(chǎn)生希爾伯特矩陣B=hilb(4) %產(chǎn)生希爾伯特矩陣C=invhilb(3) %產(chǎn)生希爾伯特逆矩陣D=invhilb(4) %產(chǎn)生希爾伯特矩陣A*C %驗(yàn)證（五）托普利茲矩陣 托普利茲（Toeplitz）矩陣除第一行和第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同，在MATLAB中，通過函數(shù)toeplitz()生成托普利茲矩陣。該函數(shù)的調(diào)用格式如下。toeplitz(x):該函數(shù)用向量x生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣toeplitz(x,y):

該函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。X和y均為向量，兩者不必等長。需要注意的是，向量x和y的第一個(gè)元素必須相等。例：利用函數(shù)toeplitz()生成托普利茲矩陣，代碼如下clearall;A=toeplitz(3:6) %產(chǎn)生托普利茲矩陣x=3:8 y=3:7 B=toeplitz(x,y) %產(chǎn)生托普利茲矩陣 在MATLAB中，通過函數(shù)compan()產(chǎn)生伴隨矩陣，該函數(shù)的調(diào)用格式為compan(p)，其中p味多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。（六）帕斯卡矩陣 二次項(xiàng)（x+y）^n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表