第13章 軸對稱【培優(yōu)卷】（解析版）

第13章軸對稱培優(yōu)一、單選題1.(3分)平面直角坐標(biāo)系中，點P(﹣2，3)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（

）A.

(2，﹣3)

B.

(﹣2，3)

C.

(﹣2，﹣3)

D.

(2，3)【答案】C【考點】關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征【解析】【解答】解：∵關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是（﹣2，﹣3），故答選：C．【分析】關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；可得.2.(3分)下列圖案中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的個數(shù)為（

）A.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個【答案】B【考點】軸對稱圖形【解析】【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；第二個圖形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；第三個圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；第四個圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故選：B．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進行判斷即可．3.(3分)在下列命題中，正確的是（

）A.

一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

B.

有一個角是直角的四邊形是矩形

C.

有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

D.

對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】D【考點】平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定【解析】【解答】解：A、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，錯誤；B、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，錯誤；C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，錯誤；D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確；故答案為：D.【分析】分別利用矩形的判定方法、以及菱形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定方法分析得出答案.4.(3分)如圖，已知AB=AC=BD，那么∠1與∠2之間的關(guān)系是（

）A.

∠1=2∠2

B.

2∠1+∠2=180°

C.

∠1+3∠2=180°

D.

3∠1-∠2=180°【答案】D【考點】三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB=AC=BD，∴∠BAD=∠1，∠B=∠C，∴∠B=180°－2∠1=∠C，∵∠C=∠1－∠2，∴180°－2∠1=∠1－∠2，∴3∠1－∠2=180°.故答案為：D.【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠BAD=∠1，∠B=∠C，利用三角形的內(nèi)角和可得∠B=180°－2∠1=∠C，由三角形外角的性質(zhì)可得∠C=∠1－∠2，從而可得180°－2∠1=∠1－∠2，據(jù)此即得結(jié)論.5.(3分)下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的圖形是(

)A.

等腰三角形

B.

等邊三角形

C.

長方形

D.

梯形【答案】C【考點】軸對稱圖形，中心對稱及中心對稱圖形【解析】【解答】解：A、等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；B、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；C、長方形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；D、梯形既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形.故答案為：C.

【分析】把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形,把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能與原圖形完全重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形，據(jù)此作出判斷即可.6.(3分)在平面直角坐標(biāo)系中，點P（3，-4）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是

(

)A.

（3，4）

B.

（3，－4）

C.

（－3，－4）

D.

（4，3）【答案】A【考點】關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征【解析】【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y)，關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是（x，-y)，據(jù)此即可求得點（3，-4)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)．【解答】∵點（3，-4)關(guān)于x軸對稱；

∴對稱的點的坐標(biāo)是（3，4)．

故選A．【點評】這一類題目是需要識記的基礎(chǔ)題7.(3分)如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（

）A.

8

B.

6

C.

5

D.

3【答案】C【考點】等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：過P作PQ⊥MN，∵PM=PN，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，∴OQ=12則OM=OQ-QM=6-1=5.故答案為：C.【分析】過P作PQ⊥MN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得MQ=NQ=1，然后在Rt△OPQ中根據(jù)含30°角的直角三角形的邊之間的關(guān)系可求出OQ的值，進而得到OM的值.8.(3分)如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1．已知A、B是兩格點，若△ABC為等腰三角形，且S△ABC=1.5，則滿足條件的格點C有（）A.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個【答案】B【考點】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如上圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時，符合△ABC為等腰三角形的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合△ABC為等腰三角形的C點有4個．因為S△ABC=1.5，所以滿足條件的格點C只有兩個，如圖中藍(lán)色的點．故選B．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰；然后根據(jù)S△ABC=1.5，再確定點C的位置．9.(3分)如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，點M是射線AB上的一個動點，過點M作MN∥BC交射線AC于點N，連結(jié)BN。若△BMN中有兩個角相等，則∠MNB的度數(shù)不可能是(

)A.

25°

B.

30°

C.

50°

D.

65°【答案】B【考點】平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：①當(dāng)M在AB上時，

∵MN∥BC，

∴∠BMN=180°-∠ABC=180°-50°=130°，

∵MN=MB，

∴∠MBN=∠BMN=180°?∠BMN2=180°?50°2=65°，

②當(dāng)M在AB的延長線上時，

∵MN∥BC，

∴∠BMN=∠ABC=50°，

ⅰ當(dāng)BM=BN，如圖，

∠MNB=∠BMN=50°，

ⅱ當(dāng)NM=NB時，如圖，

∠MNB=180°?2×50°=80°；

10.(3分)如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連接BE分別交AC、AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論中一定成立的是(

)①OG=12A.

①③④

B.

①④

C.

①②③

D.

②③④【答案】A【考點】三角形全等的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】

①∵四邊形ABCD為菱形，且CD=DE

∴AB=DE,AB∥DE

∴∠BAG=∠EDG，∠ABG=∠E

∴△ABG≌△EDG（ASA）

∴BG=EG,點G為BE中點，

∵O為BD中點，

∴OG為△BDE中位線

∴OG=12DE=12AB，故本選項正確。

②∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，

∴△BCD與△ABD都是等邊三角形，

∵點O為對角線交點

∴OA=OC,OB=OD,

∴△BOC≌△DOC≌△BOA≌△DOA

∵AG=DG，

∴點G為AD中點，且BG⊥AD

∴△DGB≌△AGB

易證△DGB≌△DOC

∴△BOC≌△DOC≌△BOA≌△DOA≌△DGB≌△AGB≌△DGE

∴和△DEG全等的三角形共有6個。故本選項錯誤。

③∵點O為BD中點，

∴S△OBG=S△ODG

∵△ABG≌△EDG

∴S△ABG=S△DEG

∴S四邊形ODEG=S△DEG+S△ODG【分析】考查菱形的性質(zhì)、菱形的判定方法、三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法，解題時注意前面選項的結(jié)論在后面證明過程中的運用。二、填空題11.(4分)在ΔABC中,AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的鈍角為130°，則∠B等于________度?！敬鸢浮?0或20【考點】角的運算，線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的鈍角為130°，即∠EDC=130°，∠ADE=50°，∠AED=90°，①如圖1，當(dāng)△ABC是銳角三角形時，∠A=90°－∠ADE=90°－50°=40°．∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°?40°②如圖2，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，∠BAC=∠ADE+∠AED=50°+90°=140°．∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°?140°綜上所述：底角B的度數(shù)是70°或20°．故答案為：70或20．【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后由AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的鈍角為130°，即可得∠ADE=50°，∠AED=90°，然后分兩種情況討論：①當(dāng)三角形是銳角三角形時，即可求得∠A的度數(shù)，②當(dāng)三角形是鈍角三角形時，可得∠A的鄰補角的度數(shù)；又由AB=AC，根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和的定理，即可求得底角B的大小．12.(4分)如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，過對角線交點O作OE⊥AC交AD于E，則AE的長是________.【答案】254【考點】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵OE⊥AC，四邊形ABCD是矩形，∴∠AOE=∠ADC=90°，又∵∠EAO=∠CAD，∴△AEO∽△ACD，∴AEAC∵AB=6，BC=8，結(jié)合勾股定理，∴AC=10，AO=5，AD=BC=8，CD=AB=6，∴AE=AO?ACAD=故答案為：254【分析】根據(jù)OE⊥AC，∠AOE=90°，由矩形的性質(zhì)可知，∠ADC=∠AOE=90°，又因為∠EAO=∠CAD，可推出△AEO∽△ACD，則AEAC13.(4分)矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則CF=________cm．【答案】215【考點】勾股定理，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)【解析】【解答】解：由折疊性質(zhì)可知CF=C'F，由矩形性質(zhì)可得DC'=BC=AD=4，DC=AB=10，∠C'=∠C=設(shè)CF=C'F=x，則DF=10-x在Rt△DC'F中，4解得：x=∴CF=21故答案為：215【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CF=C'F．設(shè)CF=C'F=x，由矩形性質(zhì)則得到DF為10-x，于是可知AE=10-x；在Rt△DC'F中，利用勾股定理即可求出C'F的長，從而使問題得解．14.(4分)如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α=________．【答案】56°【考點】三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖-角的平分線，作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】根據(jù)圖示可知AF平分∠DAC，EF垂直平分AC，∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=68°，∵AF平分∠DAC，∴∠FAE=12∵EF⊥AC，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-∠FAE=56°，∴∠α=∠AFE=56°，故答案為：56°.【分析】根據(jù)圖示可知AF平分∠DAC，EF垂直平分AC，根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行得出AD//BC，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出∠DAC=∠ACB=68°，根據(jù)角平分線的定義得出∠FAE=1215.(4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA=1，OC=2，對角線AC的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D.若y軸上有一點P（不與點C重合），能使△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為________.【答案】(0,34)，(0,?【考點】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理【解析】【解答】解：∵對角線AC的垂直平分線交AB于點E，∴AE=CE，∵長方形OABC中，OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴設(shè)AE=m，則BE=2-m，CE=m，∴在Rt?BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=54∴E（1，54設(shè)點P坐標(biāo)為（0，y），∵△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，當(dāng)AP=AE，則(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-54)2，解得：y=±當(dāng)EP=AE，則(1-0)2+(54-y)2=(1-1)2+(0-54)2，解得：y=∴點P的坐標(biāo)為(0,34)，(0,?故答案為：(0,34)，(0,?【分析】設(shè)AE=m，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，根據(jù)勾股定理求出m的值，得到點E的坐標(biāo)，設(shè)點P坐標(biāo)為（0，y）根據(jù)兩點間的距離公式，分當(dāng)AP=AE與當(dāng)EP=AE時兩種情況列出方程，求解即可得到答案.16.(4分)如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線交AB于點D，DE⊥AC于點E，F(xiàn)為BC上一點，若DF=AD，△ACD與△CDF的面積分別為10和4，則△AED的面積為________。【答案】3【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖，過點D作DG⊥BC于點G,

∵DE⊥AC，CD平分∠ACB，

∴DE=DG，∠AED=∠DGF=90°，

在Rt△AED和Rt△DGF中

AD=DFDE=DG

∴Rt△AED≌Rt△DGF（HL）；

∴S△AED=S△DGF，

同理可證：S△CED=S△DGC，

∵S△ADC=S△ADE+S△CED

=S△ADE+S△DGC

=S△ADE+S△CDF+S△DFG=S△ADE+S△CDF+S△ADE

∴2S△ADE+4=10

解之：S△ADE=3.

故答案為：3.

【分析】過點D作DG⊥BC于點G，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，易證DE=DG，利用HL證明△AED≌△DFG，利用全等三角形的面積相等，就可推出S△AED=S△DGF，同理可得S△AED=S△DGF，再證明S△ADC=S△ADE+S△CDF+S△ADE，然后代入求值即可。17.(4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△A1B1C1，等邊△A2B2C2，等邊△A3B3C3，…中A1B1，A2B2，A3B3，…平行于x軸，點C1，C2，C3，…在y軸正半軸上，三邊垂直平分線的交點在原點，A1B1，A2B2，A3B3，…的長依次為3，23，33，….以此類推，則等邊△A2020B2020C2020的頂點A【答案】（-10103，-1010）【考點】等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，探索數(shù)與式的規(guī)律【解析】【解答】解：A1B1、A2B2、A3B3，……分別與x軸交于點D1、D2、D3，……，連接OA1、OA2、OA3……，如圖，則C1D1⊥A1B1，C2D2⊥A2B2，C3D3⊥A3B3，….

∵△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3，……都是等邊三角形，

∴A1D1=12A1B1=32，A2D2=12A2B2=3，A3D3=12A3B3=332.

∵∠OA1D1=∠OA2D2=∠OA3D3=30°，

∴OD1=33A1D1=12，OD2=33A2D2=1，OD3=33A3D3=32，

∴A1（-32，12），A2（-3，-1），A3（-332，-32），

∴等邊△A2020B2020C2020的頂點A2020的橫坐標(biāo)為-12×20203=-?10103，縱坐標(biāo)為20202=1010，

∴A2020（?10103，-1010）.

故答案為：（?10103，-1010）.

【分析】A1B1、A2B2、A3B3，……分別與x軸交于點D1、D2、D3，……，連接OA1、OA2、OA3……，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到：A1D1=32，A2D2=3，A3D3=332，∠OA1D118.(4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，6），點B為x軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC.若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的最小值為________.【答案】92【考點】垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，∵點A的坐標(biāo)為（0，6），∴OA＝6，∵點P為OA的中點，∴AP＝3，∵△AEP是等邊三角形，EF⊥AP，∴AF＝PF＝32∴∠BAE＝∠CAP，在△ABE和△ACP中，{∴△ABE≌△ACP（SAS），∴BE＝PC，∴當(dāng)BE有最小值時，PC有最小值，即BE⊥x軸時，BE有最小值，∴BE的最小值為OF＝OP＋PF＝3＋32＝9∴PC的最小值為92故答案為：92【分析】以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，則BE有最小值時，PC有最小值，即可求解.三、作圖題19.(8分)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的三角形△A1B1C1；將△ABC向下平移3個單位長度，畫出平移后的△A2B2C2.（2）求△A2B2C2.的面積【答案】（1）解：如圖所示，△A1B1C1、，△A2B2C2即為所求；

（2）解：△A2B2C2的面積為12×（1+2）×2-12×1×1-【考點】作圖﹣軸對稱，作圖﹣平移，幾何圖形的面積計算-割補法【解析】【分析】（1）利用方格紙的特點及軸對稱的性質(zhì)，分別做出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1，再首尾順次相連即可得出所求的△A1B1C1；利用方格紙的特點及平移的方向及距離，將點ABC向下平移3個單位長度得到其對應(yīng)點A2B2C2，再首尾順次相連即可；

（2）利用割補法，根據(jù)△A2B2C2.的面積=上底為1、下底為2的梯形的面積減去周圍兩個三角形的面積即可算出答案。20.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(?3,2),B(?4,?3),C(?1,?1).（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1（2）寫出點△A1,B1,C1的坐標(biāo)(直接寫答案):A1________;（3）△A1B1（4）在y軸上畫出點P，使PB+PC最小【答案】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；

（2）(3,2)；(4,-3)；(1,-1)

（3）6.5

（4）解：如圖，連接BC1與y軸的交點為P，點P即為所求.【考點】三角形的面積，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征，作圖﹣軸對稱，軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題【解析】【解答】解：（2）由點的位置可知：A1(3,2),B1(4,-3),C1(1,-1)；

故答案為：A1(3,2),（3）S=3×5?12×1×5?【分析】（1）分別作出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1，再連接即可；

（2）根據(jù)點A1、B1、C1的位置即可解決問題；

（3）利用分割法計算即可；

（4）連接BC1與y軸的交點即為所求的點P.21.(5分)如圖，已知O是∠PAB的一邊AB上的點，按要求作圖：①過O作AP的垂線；②作∠A的補角∠CAP；③作∠CAP的平分線．【答案】解：①如圖所示，OH即為所求；②如圖所示，∠CAP即為所求；③如圖所示，射線AQ即為所求．【考點】余角、補角及其性質(zhì)【解析】【分析】①過直線AP外一點O作AP的垂線OH即可；②反向延長AB至C，即可得到∠A的補角∠CAP；③根據(jù)角平分線的作法，作出∠CAP的平分線AQ即可．四、解答題22.(8分)如圖，點E,F是□ABCD的對角線BD上兩點，且BE=DF.求證：四邊形AECF是平行四邊形.【答案】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//CD,AB=CD∴∠ABE=∠CDF在ΔABE和ΔCDF中，{AB=CD∴ΔABE?ΔCDF(SAS)∴AE=CF,∠AEB=∠CFD∴180°?∠AEB=180°?∠CFD，即∠AEF=∠CFE∴AE//CF∴四邊形AECF是平行四邊形.【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB//CD,AB=CD，再根據(jù)平行性的性質(zhì)可得∠ABE=∠CDF，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出AE=CF,∠AEB=∠CFD，從而可得∠AEF=∠CFE，由平行線的判定可得AE//CF，最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證.23.(8分)筆記本電腦為外出工作提供了極大的便利，其配件電腦支架也是我們用筆記本電腦辦公時不可或缺的。如圖1為某筆記本電腦支架的側(cè)面(邊沿部分忽略不計)，我們抽象出如圖2的幾何圖形，測得∠A照30°，AB=AC=20cm，D為AB上一點，且∠BCD=30°，求BC的長?！敬鸢浮拷猓喝绱鸢笀D，過點D作DE⊥AC，垂足為E∵AB=AC