高中平面向量經(jīng)典練習(xí)題1(含答案)

高中平面向量經(jīng)典練習(xí)題

【編著】黃勇權(quán)

一、填空題

1、已知向量a=(-2,1),向量|b|=2|a|,若b?(a-b)=-30,則向量b的

坐標(biāo)==

2、已知a=(2,1),3a-2b=(4,-1),則a?b=。

3、向量a=(m,-2),向量b=(-6,3),若a〃b,則(3a+4b),(6a-5b)=。

4、已知向量a、b滿足|a|=2,b=(T,y/-2),且(4a-b)?(a+b)=22,則a、

b的夾角o

5、在矩形ABCD中，AB=(l,-3),AC^(k-2),則實數(shù)左=。

6、已知向量a=(l,f),B=(f,9),若2〃1),則h=o

7、已知|0A|=1,|0B|=V3,OA-OB=0,點C在NA0B內(nèi)，且NA0C=30°,

?..m

設(shè)0C=mOA+nOB(m>nER),則R等于。

8、若|=|a-b|=2|a|,則向量彳+E與E的夾角為

9、已知向量'=(2,1),a'=10,Ia+^1=哂，則/()

岸(1,

10、已知平面向量,,xWR,若

—?—?

.?a-b?

貝n力1=____。

二、選擇題

1、已知向量2=(2,1),向量b=(1,-1),那么2a+b=

A、(5,,1)B、(4,1)C、(5,2)D、(4,2)

2、已知向量2=(2,4),向量b=(-3,0),則-a+b=o

2

A、3B、3cC、2D、2A/2

3、己知向量a=(2cos0,1),向量b=(2sin?,-1),右OVeV—,且a

4

±b,則tan9的值。

A、-2-V3B、2—VsC、3+V3D、-3-V3

4、已知非零向量a、b,且|a|Tb|=|a-b|,則a與a+b的夾角0

A、90°B、60°C、30°D、0

5、已知向量2=(m,-1),向量b=(4m2-1,2),若a〃b,則(2a+b),(a-2b)

—o

l-A/-51+yT~5

A、0B、1C、---}-D、----

44

6、已知向量。=(1,2),5=(1,0),5=(3,4),若X為實數(shù)，(須+b)_LC,則X的

值為.

-335-5

A、TTB、五C、1TD、7T

7、在正五邊形ABCDE中，已知標(biāo)?菽=9,則該正五邊形的對角線的長為

A、2\l~3B、2y[~5C、3yl~2D、3^/~5

8、直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,點M是三角形ABC外接圓

上任意一點，則福?說的最大值為.

A、12B、10C、8D、6

9、已知向量彳=(x,2),b=(2,1),0=(3，x),若力〃1則向量W在向量

3方向上的投影為。

A、1B、2C、4D、6

-?-?1-?

10、已知非零向量滿足同=忖=,+目，則(a+b)與(a+]b)夾角的

為.

A、30°B、60°C、90°D、120°

三、解答題

1、已知向量a、b是互相垂直的單位向量，向量c滿足c?a=c?b=l,|c

(1)求la+b+c|的值

(2)t為正實數(shù)，求|ta+；b+c1的最小值

2、點P為4ABC所在平面上的一點，且PA+PB+PC=AB,求4PAB的面積與4

ABC的比值。

3、m是單位向量，向量a=(1,1),向量b=(1,2-小),若m與a、b所成

的夾角相等，求向量m的坐標(biāo)。

高中平面向量經(jīng)典練習(xí)題

【答案】

一、填空題

1題：

因為a=(-2,1),所以其|=4，

又b|=2|a=2季

設(shè)b(m,n)

貝!!有：m2+n2=20------------------------①

已知b(a-b)=-30

即：ab-b2=-30(因為b?=(2^5)2=20)

所以：ab=-10

即(m,n),(-2,1)=-2m+n=-10

式子變化：n=2m-10----②

將②代入①得，5m2-40m+80=0

m2-8m+16=0

(m-4)2=0

m=4

【特別提示】

只能將m=4代入②，解得n=-2(如果將m=4代入①，n會有兩個值)

故：向量b的坐標(biāo)為(4,-2)

2題：

已知：a=(2,1)則3a=(6,3)--------①

又3a-2b=(4,-1)------②

①式-②式，得：2b=(2,4)

b=(1,2)

所以a?b=(2,1)?(1,2)=4

3題：

解：a=(m,-2),b=(-6,3)

因為a//b

所以：-3m=(-2),(-6),解得m=4

故2=(4,-2)

因為a=(4,-2),b=(-6,3)

2

所以：a=--b

o

22

(3a+4b),(6a-5b)=[3,(--b)+4b]?[6,(--b)-5b]

=2b?(-9b)=-18b2

b2=(Ib|)2=45

所以：(2a+5b)?(4a-4b)=-18?45=-9?2?45=-9?90=-810

4題:

解：已知b=(-1,y/~2),則|b|=q~~§

已知|a|=2

貝!J：a2=(|a|)2=4----------①

b2=(|b|)2=3----------②

|a|?|b|=2yj~3----------③

又(4a-b),(a+b)=4a2+3a,b-b2=22【將①②代入】

4?4+3a?b-3=22

3a?b=9

貝ij：a?b=3----------④

a*b

Cos0=?a|*|b|【將③④代人】

2

0=30°

故，a與b的夾角為30°

5題：

已知，A8=(l,-3),AC=(Z,—2)

―?—?-?

在三角形ABC中，BC=AC-AB

-A

BC=(k-1,1)

—?—?

又NABC=90°,所以，AB±BC

—?—?

AB?BC=0

即:k-l-3=0

k=4

6題：±3

7題：

因為0A-0B=0

所以，0A與0B的夾角為90°,

A

過C點作DC//OB,連接AC并延長交OB于E點。

在三角形OCD中，有0C=OD+DC------①

—?—?-?

已知.OC=mOA+nOB------②

—?—?―?―?

由①、②知，OD=mOADC=nOB

又因為屈=1,|OB|=V3,

所以：|OD=m,|DC|=V3n-------------③

在RT4OCD中，ZD0C=30°

IDCI

故，tan30°=IOD|------------④

把③代入④，3=m

1n

3=iii

m

故：n=3

8題：

解：

任意作兩個向量a,b,則行就是a+b,6就是a-b

c

已知M+E|=|：-,也就是平行四邊形ABCD的對角線相等,

所以，ABCD是矩形。

又年+山=2|』，即，對角線的長度為一邊的2倍，

那么，ZDAB=30°

也就是向量a+E與E的夾角為30°

9題：

解：l-al=V5

（a+b）2=譚+薩2；吊=50,

官=25

得國=5

10題:

解：平面向量之=（4、，2X）-b=（l?------），xGR,

2

若aJ_b，則4X+2X-2=0,解得：2x=b

W=（1，1），E=（1,-1）

Aa-b=（0，-2）,

Ia-b1=2

二、選擇題

1題：選A

2題、選D

3題：選B

解：a=(2cos9,1),b=(2sin9,-1)

且a±b

所以:4sin9cos9-1=0

2sin20=1

sin20=—

2

JIJT

因為OVOV—貝I」0<2o<—,cos20為正。

42

所以cos20=——

2

則：tan20='——

3

2tan。V3

而tan20=

1一tan2。V

tan9=2-V3

或tan0=-2-g（0在一象限，其tan為正，故舍去）

4題：C

如圖，因為|a|=|b|=|a-b|,

所以，三角形為等邊三角形，每一個角為60°

又a+b平分a與b的夾角

故：a與a+b的夾角為30°

b

5題：選A

a=(m,-1),b=(4m2-l,2)

因為a〃b

所以：(-1),(4m2-1)=2m

化簡:-4m2+l=2m

即：4m2+2m-l=0-----①

又2a+b=(2m+4m2-l,-2+2)=(0,0)

由①知，此項為0r

所以：2a+b=(0,0)

則：(2a+b)?(a-2b)=0

6題：A

a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4)

那么：Aa+b=(2+1,22)

又因為，(Xa+b)1c

(2+1,22)?(3,4)=0

34+3+8X=0

故，選A

7題：C

解：正五邊形內(nèi)角=(5-2)180°4-5=108°

解：設(shè)該正五邊形的邊長為x,

B=108

在RTZXBDC中,線段DC=BC?cos36°=x?cos36°

所以，線段AC=2DC=2x-cos36°

AB*AC=9.

向量AB,向量AC

COSZDAB=AB?AC(其中：AB=x)

9

cos36°=x*AC

9

所以，x=cos36°*AC--------------②

9

將②代入①中，得：AC=2*COS36°—*AC*cos36°

18

化簡：AC二工

即:AC2=18

AC=372

，該正五邊形的對角線的長為：372.

8題：A

0),B(3,0),C(0,4)

35

圓心0（9,2）半徑r=2

35

-X-\2

X-2J2l

則圓的方程:Zz

2

等式兩邊同時乘以（5）2

232

[5(x-5)P+EB(y-2)]2=1

23

53

令-/-

5kX-2=cos0化簡得，x=5cos6+2

25

5(y-2)=sin6，化簡得，y=，sin0+2

535

因為M在圓上，故設(shè)M坐標(biāo)（5cos0+，，］sin0+2）

535

所以，AM=(2COS0+2?，sin0+2)

AB=(3,0)

——g35

那么，AM,AB=(2cos0+2，2sin。+2)?(3,0)

159

=2cos6+2

因為?？梢匀∝?fù)數(shù)，0,正數(shù)

當(dāng)M點與B點重合時，0=0

Cos0取最大值1,

一一159

則AM?AB最大值=萬+2=12

故選A

9題：C

解：(x,2),b=(2,1),彳〃

；.x=2X2=4,

(3,4),

|cl=5,a*c=(4,2)?(3,4)=12+8=20,

...向量W在向量3方向上的投影為

故答案為：4.

10、選A

因為同=W=|￡+q,所以三角形ABC為等邊三角形，每個角為60。，

D為BC中點，那么，AD±BC,

在三角形ABD中，AD=AB+DB(其中AB=a,BDqb)

f-

所以,AD=a+-b---------------①

又AC=a+b---------------②

由①②知，（a+b）與（a+]b）的夾角就是AD與AC的夾角

而AD與AC的夾角=NDAC=30°

故選A

三、解答題

1、解

【第一問】

因為a、b是單位向量，所以，a2=(|a|)2=1----------①

b2=(|b|)2=1----------②

又a_Lb,所以a?b=O-----------(3)

1c|=<2則c2=(|c|)2=2-------④

c?a=c?b=l----------(5)

令m=a+b+c,等式兩邊同時平方

m2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac【將①②③④⑤】

m2=l+1+2+0+2*1+2*1

m2=8

故la+b+c=-\l-8=2-\[~2

【第二問】

令n=ta+；b+c等式兩邊同時平方

n2=t2a2+^-b2+c2+2ab+2^bc+2tac【將①②③④⑤】

12

n2=t2+F+2+0+-+2t------------------(6)

又t為正實數(shù)，t2+922dt2./=2------⑦

2/2

-+2t2272t.-=4-------⑧

將⑦⑧代入⑥

n2>2+2+4=8

故：|ta+|b+c|22yl~2

所以，|ta+|b+c|的最小值為2vl

2、

因為在三角形ABP中，PB=PA+AB,

將PA移到等號的左邊，得PB-PA=AB--------①

-?-A—?—?

已知PA+PB+PC=AB---------②

兩式相減，即①-②得，-2PA-PC=0即：PC=-2PA

【特別提示】

1、如果三個點構(gòu)成的任意兩個向量，他們的比值為一個常量，那么，這三個點

共線。

2、比值常量可以為正，也可以為負(fù)，常量可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)：例

如比值為2,-2,1\]~2,-yj-2-

3、根據(jù)比值的正負(fù)，最終排定三個點的先后順序。

因為，PC=-2PA所以A、C、P三點共線，比值為負(fù)，故P在邊AC上，且位于

A、C之間。

由上圖，PC=-2PA則21Ap|=|PC|三角形ABC被分成兩部分，其面積之比1:2

故：4PAB的面積與aABC的比值1:3

3、解：

設(shè)m坐標(biāo)(x,y)

m是單位向量，則|m|=1-----------------①

a=(1,1)則Ia|=yj~2------------------②

b=(1,2-小)則|b|=y/~6-y/2--------③

【過程】|b|2=I2+(2-^3)2=1+(4-4(+3)

=8-4-73=(6+2)-2yfl2

=（m）2-2鄧?（鏡）2=（m-也）2

那么，

a-m

cos<a?m>=-j---i----i-【將①②】

IaI?|m

a?m_a?m

得,cos<a,m>=72?1=~72④

cos<b?m>=|bm|[將①③]

b?mb?m…

得,cos〈b?m>=77672).1=V2(V3-1)-------------⑤

因為m與a、b所成的夾角相等，

所以④=⑤即寸=j?Il"等式兩邊同時乘以C(CT)

(^--3-1)?a?m=b-m--------------------(6)

因為m=(x,y),a=(1,1),向量b=(1,2-木)

貝！Ja?m=x+y--------------------------⑦

b?m=x+(2-/)y-----------------(8)

將⑦⑧代入⑥

-1)(x+y)=x+(2-4)y

化簡：[-1)-l]x=L(2--Cyl~i-1)]y

(，飛-2)x=(3-2^3)y等式兩邊同時乘以(仃+2)

得，(3-4)x=(3y~§+6-6-4q飛)y

-x=-