高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)五年級(jí)含詳解答案第21講：數(shù)字問題

第21講數(shù)字問題

內(nèi)容概述

各種與數(shù)字有關(guān)的數(shù)字謎問題。學(xué)會(huì)位值原理的分析方法；綜合應(yīng)用已學(xué)的數(shù)字謎技巧

和數(shù)論知識(shí)。

興趣篇

1.一個(gè)兩位等于它的數(shù)字和的6倍，求這個(gè)兩位數(shù)。

2.今年是2008年，小王說：“我的年齡正好與我出生那年年份的四個(gè)數(shù)字之和相同”。請(qǐng)問:

小王今年多大？

3.用3個(gè)不同的數(shù)字組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是2886,求6個(gè)三位數(shù)中最

小的一個(gè)。

4.有一個(gè)兩位數(shù)，在它前面加上數(shù)字“3”可以得到一個(gè)三位數(shù)；在它后面加上數(shù)字“3”也得到

一個(gè)三位數(shù)；在它前、后各加一個(gè)數(shù)字“3”得到一個(gè)四位數(shù)。已知得到的三個(gè)數(shù)總和為3600,

求原來的兩位數(shù)。

5.有43兩個(gè)整數(shù)，A的各位數(shù)字之和為35,8的各位數(shù)字之和為26,且兩數(shù)相加時(shí)進(jìn)位

三次，求4+3的各位數(shù)字之和。

6.有些三位數(shù)，如果它本身增加3,那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來三位數(shù)各

位數(shù)字之和的工，求所有這樣的三位數(shù)。

3

7.一張卡片上寫了一個(gè)五位數(shù)，李老師給學(xué)生看時(shí)拿倒了，這時(shí)卡片上還是一個(gè)五位數(shù)。這

個(gè)五位數(shù)比原來的五位數(shù)小71355。問：原來卡片上寫的五位數(shù)是多少？

8.有一個(gè)四位數(shù)2M9N,它是由M個(gè)2的積與N個(gè)9的積相乘得到的，求這個(gè)四位數(shù)。

9.如果12333是27的倍數(shù)，那么〃最小是幾？

"個(gè)3

10.從1至9這9個(gè)數(shù)中選出8個(gè)不同的數(shù)字，組成能被24整除的八位數(shù)。試問：在這樣的

八位數(shù)中，最大的和最小的分別是多少？

拓展篇

1.在一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字中間加一個(gè)0,所得的三位數(shù)比原數(shù)大8倍，求這個(gè)兩位數(shù)。

2.把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)的和恰好是某個(gè)自

然數(shù)的平方。請(qǐng)問：這個(gè)和是多少？

3.有一個(gè)三位數(shù)是8的倍數(shù)，把它的各位數(shù)字的順序顛倒過來所得到的新三位數(shù)與原三位數(shù)

的和恰好是1111。請(qǐng)問：原來的三位數(shù)是多少？

4.在等式“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦x5=勤動(dòng)腦學(xué)習(xí)好x8”中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢

字表示不同的數(shù)字，”學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦''所表示的六位數(shù)最小是多少？

5.在一個(gè)三位數(shù)的百位和十位之間加入一個(gè)數(shù)字后，得到的四位數(shù)恰好是原三位數(shù)的9倍,

在這樣的三位數(shù)中最小的是多少？最大的是多少？

6.用5、7、2、0、8這5個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，這兩個(gè)五位數(shù)的差是66663,

這兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)可能是多少？

7.有兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，它們的各位數(shù)字之和均為7的倍數(shù)，這兩個(gè)自然數(shù)中較小的數(shù)是多

少？

8.記號(hào)〃!表示前八個(gè)正整數(shù)相乘,并且規(guī)定表=1,例如：4!=lx2x3x4o每一個(gè)三位數(shù)abc

都有一個(gè)“對(duì)應(yīng)數(shù),，：加+加+c!,例如：254的對(duì)應(yīng)數(shù)是2!+5!+4!=146。請(qǐng)問：對(duì)應(yīng)數(shù)與自

身相同的三位數(shù)是什么？

9.如果修改31743的某一個(gè)數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)，那么修改后的這個(gè)數(shù)是多少？

10.如果2222是1998的倍數(shù)，那么〃最小是多少？

n個(gè)2

11.1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖21-1所示的次序排成一個(gè)圓圈。請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開，

分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)（例如，在1和7之間剪開，得到的兩個(gè)數(shù)是

193426857和758624391）。如果要求剪開后得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開

處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少？

1

79

53

84

62

圖21-1

12.各位數(shù)字互不相同的八位數(shù)中，能被72整除的數(shù)最小是多少？最大是多少？

超越篇

1.用3個(gè)不同的數(shù)字可以組成6個(gè)三位數(shù)，已知其中的5個(gè)的和是3194,求剩下的那個(gè)數(shù)是

多少。

2.一個(gè)數(shù)是它的數(shù)字和的88倍，求所有滿足條件的正整數(shù)。

3.兩個(gè)自然數(shù)，差是98,各自的各位數(shù)字之和都能被19整除。試問：滿足要求的最小的一

對(duì)數(shù)之和是多少？

4.如果133332是756的倍數(shù)，那么〃最小是多少？

“個(gè)3

5.包含0至9這10個(gè)數(shù)字的十位數(shù)稱為“十全數(shù)”。求滿足以下條件的所有的十全數(shù)：

①它的千位是7；

②從左往右數(shù)，它的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三

位數(shù)能被3整除……前十位組成的十位數(shù)能被10整除。

6.由8個(gè)不同的數(shù)字組成的八位數(shù)中，能被396整除的數(shù)最大是多少？最小是多少？

7.最多有多少個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的各位數(shù)字之和都不是11的倍數(shù)？請(qǐng)舉例。

8.用0至9這10個(gè)數(shù)字組成一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)各一個(gè)，使它們都是非零的

完全平方數(shù)。

第21講數(shù)字問題

內(nèi)容概述

各種與數(shù)字有關(guān)的數(shù)字謎問題。學(xué)會(huì)位值原理的分析方法；綜合應(yīng)用已學(xué)的數(shù)字謎技巧

和數(shù)論知識(shí)。

興趣篇

1.一個(gè)兩位等于剪數(shù)字和的6倍，求這個(gè)兩位數(shù)。

【分析】由已知碗=(“+/?)x6

10a+b=6a+6h

4a=5b

由于“，b為0?9之間數(shù)字。則〃=5,/尸4。

那么，這個(gè)兩位數(shù)為54。

2.今年是2008年，小王說：“我的年齡正好與我出生那年年份的四個(gè)數(shù)字之和相同”。請(qǐng)問：

小王今年多大？

【分析】如果小王出生在2000年以后，我們易得小王可以出生在2003,今年5歲。下面假

設(shè)小王出生在前年，則小王今年年齡為2008-麗

由已知2008-兩=\+9+a+b

整理得lla+28=98

由于，a、8為。?9之間的數(shù)字，則。=8,6=5。小王今年23歲。

綜上，小王今年23歲或5歲。

3.用3個(gè)不同的數(shù)字組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是2886,求6個(gè)三位數(shù)中最

小的一個(gè)。

【分析】設(shè)這三個(gè)不同的數(shù)字為a、b、c,

由已知，abc+acb+bac+bca+cba+cab=2886

222(.a+b+c)=2886

a+b+c=13,a、b、c是0?9之間的數(shù)字

那么，a、b、c所能組成的最小的三位數(shù)為139o

4.有一個(gè)兩位數(shù)，在它前面加上數(shù)字“3”可以得到一個(gè)三位數(shù)；在它后面加上數(shù)字“3”也得到

一個(gè)三位數(shù)；在它前、后各加一個(gè)數(shù)字“3”得到一個(gè)四位數(shù)。已知得到的三個(gè)數(shù)總和為3600,

求原來的兩位數(shù)。

【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為7,我們列豎式

3ab

ab3

+3ab3

3600

易得，b=4,a=\

則原來兩位數(shù)為14。

5.有A、3兩個(gè)整數(shù)，A的各位數(shù)字之和為35,8的各位數(shù)字之和為26,且兩數(shù)相加時(shí)進(jìn)位

三次，求A+8的各位數(shù)字之和。

【分析】由已知，進(jìn)位一次，數(shù)字之和減少9

那么A+8去攵字之牙口為35+26-3X9=34

6.有些三位數(shù)，如果它本身增加3,那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來三位數(shù)各

位數(shù)字之和的！，求所有這樣的三位數(shù)。

3

【分析】考察而~演之中有沒有這樣的數(shù)，例如，(a+9+7)=(a+l)+0+0,解得〃不

是整數(shù)，同理演，演也沒有。于是所求的數(shù)只有一次進(jìn)位。

abc+3=+l)(c-7),則g(a+6+c)=e+6+c)-6。(c至少為7)

可得a+什g9,則詼為108,207,117o

7.一張卡片上寫了一個(gè)五位數(shù)，李老師給學(xué)生看時(shí)拿倒了，這時(shí)卡片上還是一個(gè)五位數(shù)。這

個(gè)五位數(shù)比原來的五位數(shù)小71355。問：原來卡片上寫的五位數(shù)是多少？

【分析】由已知，能夠拿倒的數(shù)字為0,1,6,8,9

由于原來的五位數(shù)比較小，而首位不為0,則其首位只能為1。

這樣新五位數(shù)末位為1,這樣原五位數(shù)末位為6,這樣新五位數(shù)首位為9,如下：

71355

+百口」口」這樣地理下去，原來的五位數(shù)為90961。

回□□□m

8.有一個(gè)四位數(shù)2仞9N,它是由M個(gè)2的積與N個(gè)9的積相乘得到的，求這個(gè)四位數(shù)。

【分析】由已知得，M、N不為0(若例為0,則N至少為7,顯然不成立；若N為0,則

M最多為9,顯然不成立)。且N為偶數(shù)。當(dāng)N=4,6,8時(shí)，顯然乘積超2000,不

成立。

則N=2,判斷Mo由于〃個(gè)2相乘尾數(shù)是2486循環(huán)，則N=1或5或9,經(jīng)檢驗(yàn),

N=5,那么這個(gè)四位數(shù)為2592。

9.如果12333是27的倍數(shù)，那么〃最小是幾？

〃個(gè)3

【分析】由于123333是27的倍數(shù)，則4111是9的倍數(shù)。這樣〃最小為5。

〃個(gè)，汁

10.從1至9這9個(gè)數(shù)中選出8個(gè)不同的數(shù)字，組成能被24整除的八位數(shù)。試問：在這樣的

八位數(shù)中，最大的和最小的分別是多少？

【分析】能被24整除一定能夠同時(shí)被3和8整除，這樣，這個(gè)八位數(shù)各個(gè)數(shù)字之和是3的

倍數(shù)且它的末三位是8的倍數(shù)。所以，我們從1?9九個(gè)數(shù)中舍去一個(gè)組成八位數(shù)，

這個(gè)數(shù)只能為3,6,9,

最大：1?9中舍去3,小的數(shù)盡量排在后面，末三位為8的倍數(shù)，得98764512;

最小：1?9中舍去9,大的數(shù)盡量排在后面，末三位為8的倍數(shù)，得12345768。

拓展篇

1.在一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字中間加一個(gè)0,所得的三位數(shù)比原數(shù)大8倍，求這個(gè)兩位數(shù)。

【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為瓦，由題意不、9=施，則8=5,。=4。則這個(gè)兩位數(shù)為45。

2.把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)的和恰好是某個(gè)自

然數(shù)的平方。請(qǐng)問：這個(gè)和是多少？

【分析】首先，這兩個(gè)兩位數(shù)的和不超過198;其次，這樣的兩個(gè)兩位數(shù)的和一定為11的

倍數(shù)(茄+元=104+6+106+4=11(。+“)，那么，它們的和只能為121。

3.有一個(gè)三位數(shù)是8的倍數(shù)，把它的各位數(shù)字的順序顛倒過來所得到的新三位數(shù)與原三位數(shù)

的和恰好是1111。請(qǐng)問：原來的三位數(shù)是多少？

【分析】我們可以設(shè)這個(gè)三位數(shù)為赤，可得正+赤=1111。

那么101(a+c)+20b=llll,由a+c=ll,h=0.這樣的三位數(shù)為308,506,704,

902,其中8的倍數(shù)為704。

4.在等式“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦x5=勤動(dòng)腦學(xué)習(xí)好x8”中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢

字表示不同的數(shù)字，“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦”所表示的六位數(shù)最小是多少?

【分析】由已知，可設(shè)學(xué)習(xí)好為勤動(dòng)腦為b,可得a〃x5=6ax8

則(10004/+/?)X5=(100/?+a)X8

4992a=79956

1284=205〃

a、b為三位數(shù)，且這兩個(gè)三位數(shù)每位上的數(shù)字都不相同，則所表示的六位數(shù)最小

為410256?

5.在一個(gè)三位數(shù)的百位和十位之間加入一個(gè)數(shù)字后，得到的四位數(shù)恰好是原三位數(shù)的9倍,

在這樣的三位數(shù)中最小的是多少？最大的是多少？

【分析】設(shè)這個(gè)三位數(shù)為俞，。為一位數(shù)，B為兩位數(shù)。

由已知，9x前=京而，由位值原理展開，9X(100a+B)=\000a+\00m+B

整理得，28=25(a+機(jī))，B最小為25,最大為75。〃+機(jī)最小為2,最大為6。

所以，三位數(shù)最小為125,最大為675。

6.用5、7、2、0、8這5個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，這兩個(gè)五位數(shù)的差是66663,

這兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)可能是多少？

【分析】由于萬位兩個(gè)空至少相差6,且萬位不能是0,所以肯定是2和8;加數(shù)中已經(jīng)用

過2,和中已經(jīng)用過8,所以個(gè)位只能是7和0;再看千位，由于不能向萬位進(jìn)位，

所以只能是0和7。所以，很容易得到如下的兩個(gè)算式:

2058720857

+66663+66663

8725087520

那么,所求為87250或87520?

7.有兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，它們的各位數(shù)字之和均為7的倍數(shù)，這兩個(gè)自然數(shù)中較小的數(shù)是多

少？

【分析】如果有〃次進(jìn)位，數(shù)字之和減少9〃-1。由已知，9加1為7的倍數(shù)，〃最小為4。則

使9999和0000數(shù)字之和都為7的倍數(shù)。那么這兩個(gè)自然數(shù)中較小的數(shù)是69999。

8.記號(hào)〃!表示前〃個(gè)正整數(shù)相乘，并且規(guī)定0!=1,例如：4!=lx2x3x4?每一個(gè)三位數(shù)Mc

都有一個(gè)“對(duì)應(yīng)數(shù)”：a\+b\+c\,例如：254的對(duì)應(yīng)數(shù)是2!+5!+4!=146。請(qǐng)問：對(duì)應(yīng)數(shù)與自

身相同的三位數(shù)是什么？

【分析】由于6!=720,所以該三位數(shù)三個(gè)數(shù)字都不能超過5,我們列下表：

0!1!2!3!4!5!

112624120

設(shè)這個(gè)三位數(shù)為顯然a、b、c不能全是5,下面討論：

(1)a、b、c中有兩個(gè)是5,最大為5!+5!+4!=264,最小為5!+5!+0!=241,所以

a只能為2,但255不符合條件。

（2）a、b、c中有1個(gè)是5,最大為5!+4!+4!=168,則a=l,可知a6c，=145。

（3）a、b、c中沒有5,最大為4!+4!+4!=72,顯然不符合條件。

綜上，這個(gè)三位數(shù)只有1個(gè)，為145o

9.如果修改31743的某一個(gè)數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)，那么修改后的這個(gè)數(shù)是多少？

【分析】由于21743+823=38..469,所以修改十位或者個(gè)位肯定無法把余數(shù)變?yōu)?。所

以，修改后的五位數(shù)可以寫成43的形式，它是823的倍數(shù)。我們可以用豎式表

示，其中未知的乘數(shù)是幾位數(shù)我們不能確定。容易看出，乘數(shù)的末位一定只能是1?

當(dāng)菊數(shù)的末登?是1時(shí)，823與乘數(shù)的十位的乘積末位是2,因此乘數(shù)的十位只能是

寸，823X41=33743。而823X141=116043,不是五位數(shù)，因此乘數(shù)只

能是41□此時(shí)所求的五位數(shù)為33743。

□□□43

10.如果2222是1998的倍數(shù)，那么〃最小是多少？

n個(gè)2

【分析】由于222是1998的倍數(shù)，也就是讓111是999的倍數(shù)，所以111肯定是111

"個(gè)2"bl"N

的倍數(shù)，則n為3的倍數(shù)，另一方面，由于111^111=1001001001,它的數(shù)字

之和是,，要讓它是9的倍數(shù)，必須讓2也是9的倍數(shù)，即“要是27的倍數(shù)。則

33

n最小為27。

11.1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖21-1所示的次序排成一個(gè)圓圈。請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開，

分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)（例如，在1和7之間剪開，得到的兩個(gè)數(shù)是

193426857和758624391）。如果要求剪開后得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開

處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少？

1

79

53

84

圖21-1

【分析】

在解這道題之前我們先看一個(gè)規(guī)律：

99的倍數(shù)〃為奇數(shù)時(shí)

n為原序數(shù)與n為反序數(shù)的差一定是《

---------------------9的倍數(shù)〃為偶數(shù)時(shí)

于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開處兩個(gè)

數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能。

注意圖中的具體數(shù)字，有（3,4）處、（8,5）處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿

足。

而剩下的幾個(gè)位置奇偶性相同，有可能滿足。

進(jìn)一步驗(yàn)證，有（9,3）處剪開的末兩位數(shù)字之差為43-19=24,（4,2）,（2,6）,（6,8）,（5,7）,

（7,1）,（1,9）處剪開的末兩位數(shù)字之差為62-34=28,86-42=44,58-26=32,

85-17=68,91—57=34,71-39=32。

所以從（9,3）,（4,2）,（2,6）,（6,8）,（5,7）,（1,9）處左右兩個(gè)數(shù)的乘積為27,8,12,

48,35,9o

12.各位數(shù)字互不相同的八位數(shù)中，能被72整除的數(shù)最小是多少？最大是多少？

【分析】由于這些各位數(shù)字均互不相同，則能被72整除，所以其數(shù)字和是而且只能是36。

所以我們有這些數(shù)字為：0、1、2、3、6、7、8、9。

可以先求最大，能被9整除的這類八位數(shù)的最大值為：98763210,則還需要能被8整除，經(jīng)

調(diào)整應(yīng)為98763120。

現(xiàn)在要求最小，則能被9整除的這類八位數(shù)的最大值為：10236789。經(jīng)調(diào)整，末位應(yīng)為6

或者8,所以有：10237896。

超越篇

1.用3個(gè)不同的數(shù)字可以組成6個(gè)三位數(shù)，已知其中的5個(gè)的和是3194,求剩下的那個(gè)數(shù)是

多少。

【分析】設(shè)三個(gè)數(shù)為a、b、c,不妨設(shè)剩下的數(shù)為必c,

則由已知222(“+》+c)-^^3194

而31944-222=14....86

則222X14+86=3194

那么222X15-136=3194,而136數(shù)字之和不是15,則舍去；

222X16-358=3194,358數(shù)字之和為16,那么這個(gè)數(shù)可以為358;

222X17-580=3194,350是有0,不符合要求，舍去；

222X18-802=3194,802是有0,不符合要求，舍去：

222X19-1004=3194,1004已經(jīng)不是三位數(shù)，不用再討論了。

綜上所述，這個(gè)數(shù)為358。

2.一個(gè)數(shù)是它的數(shù)字和的88倍，求所有滿足條紗正整數(shù)。

【分析】由題意，這個(gè)數(shù)至少是三位數(shù)，設(shè)為詼。

則有88(a+b+c)=100n+106+c,整理得4“=266+29c,無解。

若這個(gè)數(shù)為四位數(shù)，設(shè)為嬴

則有88(a+b+c+d)=1000“+100b+10c+4

整理得304a+48=26c+29d,由于26X9+29X9=495,則a=1?

有294=304+46-26。，貝，Id為偶數(shù)。

當(dāng)仁0時(shí)，有26c=304+44由于26X9=234,無解；

當(dāng)d=2時(shí)，有13c=123+2%,由于13X9=117,無解；

當(dāng)4=4時(shí)，有13c=94+2"由于26X9=234,可得c=8,6=5:

當(dāng)1=6時(shí)，有13c=65+26由于26X9=234,可得c=5,8=0;

當(dāng)&=8時(shí)，有13片36+24由于26X9=234,可得c=4,b=8;

綜上，有三個(gè)數(shù)符合要求：1848,1056和1584。

3.兩個(gè)自然數(shù)，差是98,各自的各位數(shù)字之和都能被19整除。試問：滿足要求的最小的一

對(duì)數(shù)之和是多少？

【分析】(已有電子版)

4.如果133332是756的倍數(shù)，那么”最小是多少？

,介3

【分析】由于756=12X7X9,則133332+12=1111

,介3(d+1)個(gè)I

那么1111是7的倍數(shù)，也是9的倍數(shù)，由于111111是7的倍數(shù)，111是9的倍

(”+1)個(gè)19個(gè)I

數(shù)，則有111是63的倍數(shù)，則幾+1=18,〃最小值為17。

18個(gè)1

5.包含0至9這10個(gè)數(shù)字的十位數(shù)稱為“十全數(shù)”。求滿足以下條件的所有的十全數(shù)：

①它的千位是7；

②從左往右數(shù)，它的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三

位數(shù)能被3整除……前十位組成的十位數(shù)能被10整除。

【分析】由題意，前五位是5的倍數(shù)，前十位是10的倍數(shù)，再根據(jù)整除特點(diǎn)列出下圖：

兩位數(shù)為三位數(shù)為

4的倍數(shù)8的倍數(shù)