小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全-第二部分-常用解題思路(四-四)特殊思路

小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全第二局部常用解題思路〔四~四〕特殊思路〔四〕特殊思路“特殊思路〞，一般指有特點(diǎn)的思維方向和解題模式。它適用于特定的題型?！炯臃ㄔ硭悸贰坑行╊}目，要我們計(jì)算完成某一件事的方法總數(shù)，如果完成這件事的各類方法都是直接完成的，那么求其方法總數(shù)就可以沿著計(jì)數(shù)中的一個(gè)重要原理一加法原理去思考。什么是加法原理？一般說，做一件事，完成它可以有K類方法，第一類方法有m1種不同的方法，第二類方法中有m2種不同的方法，……，第K類方法中有mK種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1＋m2＋……+mK種方法。運(yùn)用加法原理分析解題的思路，我們把它叫加法原理思路。例1某人從甲地到乙地，可以乘飛機(jī)有2趟班機(jī)，可以乘火車有3趟列車，可以乘汽車有5趟班車，那么他從甲地到乙地共有多少種不同走法？分析〔用加法原理思路考慮〕：此題是一道典型的加法原理計(jì)數(shù)問題。因?yàn)闊o論是乘飛機(jī)，還是坐火車、汽車，都是直接從甲地到乙地。分類時(shí)，乘飛機(jī)有2種走法，乘火車有3種走法，坐汽車有5種走法，所以某人從甲地到乙地共有10種不同的走法。例2從3、5、7、11、13、17這六個(gè)數(shù)中，取兩個(gè)數(shù)作真分?jǐn)?shù)，問這樣的真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？分析〔用加法原理思路分析〕：真分?jǐn)?shù)，必須是分母大于分子，那么3、5、7、11、13、17這六個(gè)數(shù)中，3只能作分子，不能作分母，其他五個(gè)數(shù)均可作分母，因此這些真分?jǐn)?shù)可以分為五類。完成作真分?jǐn)?shù)這件事是直接完成的。故可以運(yùn)用加法原理去思索，這五類真分?jǐn)?shù)分別是：分析到這一步，要求真分?jǐn)?shù)的總數(shù)自然就解決了?！境朔ㄔ硭悸贰坑行╊}目，仍然要我們計(jì)算完成某一件事的方法總數(shù)，但完成一件事是分步〔段〕完成的，那么求完成此事的方法總數(shù)，就要沿著計(jì)數(shù)中的另一個(gè)重要原理——乘法原理去思考。什么是乘法原理呢？如果完成一件事需要幾個(gè)步驟，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……做n步有mn種方法，那么完成這件事共有：N=m1×m2×……×mn種方法。這種運(yùn)用乘法原理分析解題的思路，我們把它叫乘法原理思路。例1小聰、小明、小英三人約好每人報(bào)名參加學(xué)校興趣小組的唱歌、舞蹈、繪畫、電腦四個(gè)組中的一個(gè)，問報(bào)名結(jié)果會出現(xiàn)多少種不同情形？分析〔運(yùn)用乘法原理分析〕：三人報(bào)名參加興趣小組，彼此不受影響，可看作分三步完成。首先小聰報(bào)名，他可以報(bào)四個(gè)組中的任何一組，有4種不同情形；第二步由小明報(bào)名，仍可報(bào)四個(gè)組中的任何一組，也有4種不同情形；剩下第三步小英報(bào)名，同樣有4種不同情形。完成報(bào)名這件事，此題是分三步完成的，每一步都有4種不同情形，故最后可用乘法原理計(jì)數(shù)公式求出總數(shù)。例2地圖上有A、B、C、D四個(gè)國家〔如圖2.22〕，現(xiàn)用紅、藍(lán)、黃、綠四種顏料給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，問有多少種不同的染色方法？分析〔用乘法原理思路分析〕：此題外表看起來與乘法原理無關(guān)。但只要仔細(xì)想一想，就會發(fā)現(xiàn)：對于任何一種符合要求的染色方案，都是分步完成的。比方：A染紅、B染綠、C染黃、D染紅，可以看作是按A、B、C、D的順序著色的，也就是說第一步給A染紅色，第二步給B染綠色，第三步給C染黃色，第四步給D染紅色。所以我們可以把給地圖染色分成四個(gè)步驟。第一步給A染色有4種方法，第二步給B染色，因?yàn)锳、B相鄰，B只有3種方法，第三步給C染色，C與A、B相鄰，只有2種方法，第四步給D染色，D與B、C相鄰，也只有2種方法。既然給地圖染色是分步完成的，所以完全可以運(yùn)用乘法原理去計(jì)數(shù)。例3全國各地的紛紛升為7位，對于某市分為假設(shè)干個(gè)分局，即前兩位數(shù)字代表分局，后五位數(shù)字表示號碼。如4432367，表示44分局，號碼是32367。那么，對于44分局這個(gè)局來說，可以安裝多少部？分析〔用乘法原理結(jié)合思路探討〕：要解決這個(gè)問題，對于44分局來說，等于說用0、1、2、……8、9這十個(gè)數(shù)字來排五位的號碼□□□□□，有多少不同的排法，就能有多少個(gè)不同的號碼，也就能裝多少部。號碼□□□□□中，分五步來完成：第一步，第一個(gè)位置的□內(nèi)，可由0、1、2……8、9十個(gè)數(shù)碼中任選一個(gè)來排，有10種排法，第二步，第二個(gè)位置的□內(nèi)，也可以由0、1、2、3、……8、9十個(gè)數(shù)碼中任選一個(gè)來排。同理，第三步、第四步、第五步分別填第三、第四、第五個(gè)位置的□內(nèi)的數(shù)碼，也各有10種排法。因?yàn)槊總€(gè)號碼的排定是分步完成的，因此此題可以通過乘法原理思路找到解題的途徑。【加法、乘法原理相結(jié)合的思路】在解決一些計(jì)數(shù)問題時(shí)，大多數(shù)情況下并不是單獨(dú)運(yùn)用加法原理或乘法原理，而是兩者結(jié)合起來運(yùn)用。我們把這種結(jié)合起來考慮的思路，叫做加法、乘法原理結(jié)合思路。例1數(shù)1339，1008，1761有一些共同的特征，它們都以1開頭，含有兩個(gè)相同的數(shù)字，且都是四位數(shù)，問這樣的數(shù)共有多少個(gè)？分析〔運(yùn)用加法、乘法原理結(jié)合思路來分析〕：什么情況下用加法原理，什么情況下用乘法原理，有些題目很清楚，有些題目要兩者結(jié)合起來使用。一般說，但凡“分類〞完成的事情，求方法總數(shù)應(yīng)用加法原理；但凡“分步〞完成的事，求方法總數(shù)應(yīng)用乘法原理。因此分清“分步〞與“分類〞是解決這類問題的關(guān)鍵。如果一個(gè)題中既有“分類〞，又有“分步〞，那么要兩者結(jié)合起來思考。此題就屬于此類題目。首先我們看到滿足要求的四位數(shù)可以分為兩大類。第一類相同數(shù)字是1；第二類相同數(shù)字不是1。那么要求這樣的數(shù)共有多少個(gè)，就只要把第一類有多少個(gè)數(shù)，第二類有多少個(gè)數(shù)，先求出來。適用“分類〞完成的事情，應(yīng)該用加法原理去計(jì)數(shù)就是了。但是每一類的各個(gè)數(shù)都是四位數(shù)，組成一個(gè)四位數(shù)由4個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成，先確定千位，再分別確定百位、十位、個(gè)位上的數(shù)，這就是說確定一個(gè)四位數(shù)要分四步才能完成，所以就要運(yùn)用乘法原理了。如第一類數(shù)，相同的數(shù)字是1，由于千位上數(shù)字必須是1，還有一個(gè)數(shù)字1可在百位、十位或個(gè)位上，這就有3種可能，剩下兩個(gè)數(shù)位〔比方可能是百位或個(gè)位〕上數(shù)字不是1，應(yīng)是其他兩個(gè)不同數(shù)字〔0、2、3、……9〕，就分別有9種與8種可能，這樣根據(jù)乘法原理，這一類數(shù)就共有3×9×8＝216〔個(gè)〕；第二類數(shù)，相同數(shù)字不是1，那么相同數(shù)字就應(yīng)是除1以外的任何一個(gè)數(shù)〔0、2、3……9〕，這就有9種可能，它們可以在百位與十位、十位與個(gè)位、個(gè)位與百位三種不同位置上，故有3種可能。剩下一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字有8種不同情形，這樣根據(jù)乘法原理，這一類數(shù)就有9×3×8＝216〔個(gè)〕。求出了每類數(shù)的具體個(gè)數(shù)后，就容易求出總數(shù)了。例2如右圖〔圖2．23〕，從A走到B，要求從左至右、從下至上，從左下至右上，問有多少種不同的走法？分析〔運(yùn)用加法與乘法原理結(jié)合思路分析〕：此題乍看只能運(yùn)用乘法原理，因?yàn)閺腁到B是分步完成的。好似無從分類，用不著加法原理。其實(shí)我們把此題的線路作如下分解后〔如〔圖2.24〕，就會發(fā)現(xiàn)從A到B的路線可以分成兩類。一類經(jīng)過C點(diǎn)，一類不經(jīng)過C點(diǎn)，這樣求兩類的總數(shù)就是應(yīng)用加法原理了。而每一類的各種走法因?yàn)槭欠植酵瓿傻?，所以又要?yīng)用乘法原理。先看第一類經(jīng)過C點(diǎn)的，從圖上〔如圖2.25〕可以看出，從A到C有4種走法，從C到B有4種走法，所以應(yīng)用乘法原理可知從A經(jīng)C到B的走法共有4×4＝16種。再看第二類不經(jīng)過C點(diǎn)的，應(yīng)用加法原理〔因?yàn)橹苯訌腁到B〕，從圖上可以數(shù)出有4種走法〔如圖2.26〕。然后再運(yùn)用一次加法原理，就可以求出這兩類的走法的總數(shù)了。例3燕山小學(xué)的乒乓球代表隊(duì)由10名男隊(duì)員和8名女隊(duì)員組成?！?〕在校際乒乓球?qū)官惿?，燕山小學(xué)要從這些隊(duì)員中挑選1名男隊(duì)員和1名女隊(duì)員合成一組去參加男女混合雙打比賽，問有多少種不同的搭配方式？〔2〕燕山小學(xué)榮獲了區(qū)乒乓球比賽團(tuán)體總分第一，領(lǐng)隊(duì)要選派一名男隊(duì)員或女隊(duì)員去登臺領(lǐng)獎，問有多少種不同的選法？分析〔運(yùn)用加法、乘法原理結(jié)合的思路去分析〕：〔1〕題中，挑選男女混合雙打的一組隊(duì)員是“分步〞完成的。第一步從10名男隊(duì)員中挑選一名，第二步從8名女隊(duì)員中挑選1名，配成一組，所以屬于乘法原理。第一步有10種可能，第二步有8種可能，總共有多少種可能就顯而易見是運(yùn)用乘法原理了?！?〕題中，挑選1名隊(duì)員去領(lǐng)獎是“分類〞完成的。即第一類從男隊(duì)員中去選派，10名隊(duì)員，每1名隊(duì)員都有可能被選上，這就有10種可能，另一類是從女隊(duì)員中去選派，同樣的道理8名隊(duì)員就有8種可能，所以此題求總數(shù)就應(yīng)該用加法原理。【容斥原理思路】當(dāng)幾個(gè)計(jì)數(shù)局部有重復(fù)時(shí)，為了不重復(fù)地計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中減去重復(fù)局部。解決這類有關(guān)重疊方面的計(jì)數(shù)問題，就要沿著計(jì)數(shù)中的一個(gè)重要原理——容斥原理去思考。什么是容斥原理？“容〞是“相容、包含〞的意思，“斥〞是“相斥、排除〞的意思，由于容斥原理的內(nèi)容是“相容與排斥〞關(guān)系的闡述，故得名為容斥原理，它有三個(gè)根本原理。容斥原理1如圖2.27，設(shè)有兩個(gè)集合A和B，把A和B合并在一起組成集合C，那么C的元素個(gè)數(shù)等于A與B元素個(gè)數(shù)的和，減去A與B的公共元素的個(gè)數(shù)。容斥原理2如圖2.28，設(shè)有一個(gè)集合M，M內(nèi)有集合A與B，把A與B合并在一起的是集合C，那么C以外的集合N的元素個(gè)數(shù)，等于M的元素個(gè)數(shù)減去C的元素個(gè)數(shù)。容斥原理3如圖2.29，設(shè)有一個(gè)集合M，M內(nèi)有集合A、B、C，把A、B、C合并在一起的集合是D，那么D以外的集合N的元素個(gè)數(shù)等于M的元素個(gè)數(shù)減去D的元素個(gè)數(shù)。容斥原理的根本精神，用一句通俗的話來說就是減足了再加，加足了再減。運(yùn)用容斥原理分析解題的思路，我們把它叫容斥原理思路。例1．英才小學(xué)組織學(xué)生參加區(qū)田徑運(yùn)動會，其中參加徑賽的有21人，參加田賽的有25人，既參加徑賽又參加田賽的有9人，求英才小學(xué)組織了多少名學(xué)生參加區(qū)田徑運(yùn)動會？分析〔運(yùn)用容斥原理思路思索〕：這是一道典型的重疊計(jì)數(shù)問題，所以應(yīng)沿著容斥原理思路去考慮。我們可以根據(jù)容斥原理1畫出以下圖〔圖2．30〕。參加徑賽的21人，田賽的25人，求總?cè)藬?shù)，我們不能簡單地把兩者加起來，因?yàn)橛?人既參加了徑賽，又參加了田賽，這就是說，這9人既包含在徑賽的21人中，又包含在田賽的25人中，重復(fù)計(jì)算了兩次，因此應(yīng)減去重復(fù)計(jì)算的那一次，此題的解題思路可以沿著容斥原理1去思考。即c＝a＋b－〔ab〕例2一年級實(shí)驗(yàn)班有46人，在期終考試中，每人至少有一門語文或一門數(shù)學(xué)得100分，其中語文得100分的有34人，數(shù)學(xué)得100分的有39人，語文數(shù)學(xué)得雙百分的有多少人？分析〔運(yùn)用容斥原理分析〕：此題和例1，除了一個(gè)條件和問題對換以外，其他結(jié)構(gòu)是一樣的，所以仍可用容斥原理分析。語文得百分的有34人，數(shù)學(xué)得百分的有39人，兩者相加為73人，比該班人數(shù)46人多，為什么會多呢，如圖2·31，因?yàn)檫@當(dāng)中語文得百分的34人中包含了得雙百分的人數(shù)，數(shù)學(xué)得百分的39人中也包含了得雙百分的人數(shù)。全班人數(shù)由三局部人數(shù)構(gòu)成：即〔1〕只有語文得百分的；〔2〕只有數(shù)學(xué)得百分的；〔3〕語數(shù)都得百分的。所以求語數(shù)都得百分的人數(shù)，可根據(jù)容斥原理c＝a＋b－〔ab〕變形為〔ab〕＝a＋b－c。即可。這里a＝34b＝39c＝46。例3在1——1000的自然數(shù)中，既不是4的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？分析〔用容斥原理思路分析〕：如何求1000以內(nèi)既不是4的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？乍一看，1000中減去4的倍數(shù)的個(gè)數(shù)和6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，應(yīng)該說剩下的個(gè)數(shù)就是既不是4的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)了。但這樣理解就錯(cuò)了。因?yàn)槟阒貜?fù)減了一些數(shù)。例如12這個(gè)數(shù)，它既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)，這就是說它既含在4的倍數(shù)的個(gè)數(shù)里，又含在6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)里，你在減去4的倍數(shù)的個(gè)數(shù)里減去了它，在減6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)里再次減去它，這就重復(fù)多減了一次，所以應(yīng)還一個(gè)這樣的數(shù)。根據(jù)容斥原理：n＝m－a－b＋〔ab〕這里m就是1000，a就是4的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，它有多少呢？可以計(jì)算一下：這里用的括號〔〔〕〕表示取整數(shù)的意思，即把括號內(nèi)除得的商的小數(shù)局部全部去掉，只保存整數(shù)局部。例4有四個(gè)圖形擺放在桌面上〔如圖2．32〕，長方形、正方形、大圓、小圓的面積分別是22、18、24、12平方厘米；長方形與正方形重合局部的面積是7.4平方厘米，長方形與小圓重合局部的面積是8.2平方厘米；長方形與大圓重合局部的面積是7.6平方厘米，正方形與小圓重合局部的面積是5.8平方厘米，正方形與大圓重合局部的面積是9.5平方厘米；長方形、正方形與小圓重合局部的面積是2.8平方厘米，長方形、正方形與大圓重合局部的面積是3.5平方厘米。求總體圖形所覆蓋的面積。分析〔用容斥原理思路分析〕：此題如果這四個(gè)圖形沒有一點(diǎn)重疊地?cái)[放在桌面上，那么要求覆蓋的總面積，就只需把這四個(gè)圖形的面積相加就是了。問題就出在有重疊，而解決重疊計(jì)數(shù)問題的思路就是容斥原理，此題是屢次重疊，那么我們就采取加足了再減，減足了再加。四個(gè)圖形相加，多算了長方形與正方形、長方形與小圓、長方形與大圓、正方形與小圓、正方形與大圓的重合局部，所以應(yīng)把這些重疊局部分別減去〔即7.4，8.2，7.6，5.8，9.5〕，但當(dāng)你真正分別減去這些重疊局部時(shí)，你又發(fā)現(xiàn)多減了，因?yàn)檫@當(dāng)中的長方形、正方形與小圓重合局部面積2.8平方厘米，及長方形、正方形與大圓重合局部的面積3.5平方厘米，是三次重復(fù)，多減了就要退還，所以又要把這兩個(gè)數(shù)相加，這一思路正符合容斥原理了，即d＝a＋b＋c－〔ab〕－〔bc〕－〔ac〕＋〔abc〕，只不過此題比容斥原理3再增加了一個(gè)數(shù)罷了?！境閷显硭悸贰吭诂F(xiàn)實(shí)生活中，我們還會遇到一種與容斥原理不同的另一類重疊問題。如把3本書放在兩個(gè)抽屜里，無論你怎么放，至少有一個(gè)抽屜要放2本或2本以上，這反映了一種非常有用的思考問題和解決問題的數(shù)學(xué)原理——抽屜原理。什么是抽屜原理？它包括兩個(gè)內(nèi)容：抽屜原理1：如果把〔n＋1〕個(gè)〔或更多個(gè)〕物體〔元素〕放進(jìn)n個(gè)抽屜里去，那么，至少有一個(gè)抽屜里放進(jìn)2個(gè)或2個(gè)以上物體〔元素〕。抽屜原理2：如果把m×n個(gè)〔或更多個(gè)〕物體〔元素〕放進(jìn)抽屜里，那么，至少有一個(gè)抽屜里放進(jìn)〔m＋n〕個(gè)或更多個(gè)物體〔元素〕。抽屜原理又叫鴿子籠原那么，它是十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷最早發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用于數(shù)論研究的，后人為了紀(jì)念他，有時(shí)也把抽屜原理叫狄利克雷重疊原理。運(yùn)用抽屜原理來解題的思路，我們把它叫做抽屜原理思路。其思路的主要步驟是：〔1〕造好抽屜，確定元素；〔2〕所有元素，放入抽屜〔或從抽屜取出元素〕；〔3〕根據(jù)原理，說明結(jié)論。例1今年燕山小學(xué)招收的一年級新生有230名，年齡在6歲至7歲之間，能否保證有20名或20名以上的小朋友在同一個(gè)月出生；為什么？分析〔運(yùn)用抽屜原理思路分析〕：此題的問題是在230名小朋友中能否有20名以上的小朋友是同一個(gè)月出生。因?yàn)檫@些小朋友的年齡在6歲至7歲之間，這就是說他們年齡最小的與年齡最大的相差12個(gè)月，應(yīng)用抽屜原理，把12個(gè)月看作12個(gè)抽屜，把230名小朋友看作230本書，如果每個(gè)抽屜里放19本書，那么共放19×12＝228〔本〕，因?yàn)?30大于228，所以一定有20本或20本以上的書放在同一個(gè)抽屜里。因此該校今年招收的一年級新生能否保證有20名或20名以上的小朋友在同一個(gè)月出生的回容許該是肯定的。例2有黑色、白色、黃色的筷子各8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子，問至少要取多少根才能保證到達(dá)要求？分析〔運(yùn)用抽屜原理思路分析〕：在黑暗中摸筷子，如果連摸8根都是同一顏色的，只能保證有一雙筷子，那么剩下兩種顏色看作兩個(gè)抽屜，要使兩個(gè)抽屜里有兩根同顏色，那么根據(jù)抽屜原理1，至少要取3根筷子，這樣，至少要取出〔8＋3〕根筷子，才能保證取出顏色不同的兩雙筷子。例3有19個(gè)同學(xué)參加了三個(gè)課外活動小組，它們分別是數(shù)學(xué)組、美術(shù)組、電腦組，每人可參加一個(gè)組、兩個(gè)組或三個(gè)組活動，問這些同學(xué)中至少有幾個(gè)同學(xué)參加了相同的組？分析〔運(yùn)用抽屜原理思路分析〕：這道題就是要把19個(gè)同學(xué)放到假設(shè)干個(gè)小組里去。物體〔元素〕是19，接下來是要確定抽屜。因?yàn)槊總€(gè)人可以參加三個(gè)課外小組的一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)，這樣就不是3個(gè)抽屜，而是〔3＋2＋1〕個(gè)抽屜了，然后可根據(jù)抽屜原理2去解答，至少有4個(gè)同學(xué)參加了相同的小組。例4一個(gè)布袋里有紅、白、黃、藍(lán)、綠五種顏色的氣球假設(shè)干個(gè)，問至少要拿出幾個(gè)氣球，才能保證其中有5個(gè)氣球是同種顏色的？分析〔用抽屜原理分析〕：我們把5種顏色看作5個(gè)抽屜〔n〕，物體〔元素〕的個(gè)數(shù)不知。但知道抽屜原理2中的m＋1＝5，所以m＝4，根據(jù)抽屜原理2，就可求得至少要拿出的氣球個(gè)數(shù)。即可根據(jù)至少的元素個(gè)數(shù)＝m×n＋1求出?！竟浪闼悸贰坑行┯?jì)算題，不要求精確的結(jié)果，只需對結(jié)果作大概的估計(jì)，我們把它叫估算，估算一般采取將原算式各數(shù)適當(dāng)放大和縮小的方法，我們稱之為“前后夾攻法〞。運(yùn)用估算解題的思路，我們把它叫估算思路。例1求數(shù)分析〔用估算思路思考〕：從條件可知，這11個(gè)帶分?jǐn)?shù)的和，可以先把每個(gè)分?jǐn)?shù)拆成一個(gè)整數(shù)和一個(gè)真分?jǐn)?shù)，然后把11個(gè)整數(shù)和11個(gè)分?jǐn)?shù)分別相加后，再相加，1＋2＋3＋……先放大：再縮小。到此求a的整數(shù)局部是幾就容易了。例2問a的整數(shù)局部是幾？分析〔運(yùn)用估算思路分析〕：此題要直接計(jì)算出來，雖然可以，但計(jì)算相當(dāng)繁雜，而且容易出錯(cuò)。因?yàn)轭}目要求結(jié)果并不是準(zhǔn)確值，只要求a值的整數(shù)局部是多少，故運(yùn)用估算思路來考慮。先估算出a值的大致范圍。然后對上式中的第二個(gè)加數(shù)進(jìn)行估算，經(jīng)過“放大〞和“縮小〞后不難得出。由此可得：即可求出a的整數(shù)局部是多少了。例3．有一算式，左邊方框里都是整數(shù)，右邊答案只寫出了四舍五入后的近似值：分析〔用估算思路思考〕：此題先用估算思路確定左邊算式的精確值的范圍：由于1.16是這個(gè)精確值四舍五入后得到的，所以它一定介于1.155與1.164之間。假設(shè)算式左邊三個(gè)方框中的整數(shù)從左至右依次分別為A、B、C，那么去分母得：121.275≤35A＋21B＋15C≤122.2由于每個(gè)方框里的數(shù)都是一個(gè)整數(shù)，所以中間算式35A＋21B＋15C的結(jié)果也一定是一個(gè)整數(shù)。即35A＋21B＋15C＝122。由奇偶性可以看出A、B、C三個(gè)數(shù)中一定是兩奇一偶，同時(shí)根據(jù)題意．這樣可得出A、B、C分別是1、2、3?！窘y(tǒng)籌法思路】有些題，要求在許多方案中尋求一種最合理、最省事、最節(jié)約的最優(yōu)方案，這實(shí)際上運(yùn)用了統(tǒng)籌法，我們把這種思路叫統(tǒng)籌法思路。用統(tǒng)籌法思路考慮問題時(shí)要注意三點(diǎn)：〔1〕要做哪些工作；〔2〕做每件工作需要的時(shí)間；〔3〕要弄清所做工作的程序。也就是先做什么，后做什么，哪些工作可以同時(shí)做。從而找出最優(yōu)方案。例1用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)餅，煎一個(gè)餅需要2分鐘〔假定正、反面各需1分鐘〕，問：〔1〕煎3個(gè)餅至少需要幾分鐘？〔2〕如果需要煎n〔n＞1〕個(gè)餅，至少需要幾分鐘？分析〔用統(tǒng)籌法思路思考〕：此題就是要我們考慮怎樣安排煎餅最節(jié)省時(shí)間?！?〕如果煎3個(gè)餅一個(gè)一個(gè)煎，那么要6分鐘，如果先煎好2個(gè)餅，再煎第3個(gè)餅，那么共需4分鐘，但統(tǒng)籌安排一下，還可以把時(shí)間縮短，先將兩個(gè)餅同時(shí)放入鍋里一起煎，1分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，這時(shí)可先將第1個(gè)取出，第2個(gè)翻了面，再放入第3個(gè)，又煎了1分鐘，第2個(gè)已經(jīng)煎好，可取出，把第3個(gè)翻個(gè)面，再將第1個(gè)放入煎，再煎1分鐘就全部熟了，由此可知煎3個(gè)餅至少需要3分鐘．〔2〕由煎3個(gè)餅需要3分鐘，可以推得煎n〔n＞1〕個(gè)餅需要n分鐘。例2媽媽讓小明給客人燒水沏茶，洗開水壺要用1分鐘，燒開水要15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘，小明估算了一下，完成這些工作需要20分鐘，為了讓客人早點(diǎn)喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？分析〔用統(tǒng)籌法思路考慮〕：此題最合理的安排應(yīng)該是最省時(shí)間，那就要考慮在同一時(shí)間里做兩件、三件事，題中列出了從準(zhǔn)備工作到開始沏茶這一過程中各個(gè)“工序〞所需的時(shí)間，我們可以把各個(gè)“工序〞之間的銜接關(guān)系以及所需時(shí)間用以下圖表示：從圖中可以看出：①—→②—→⑥這條線需要的時(shí)間最長，決定著完成整個(gè)“工序〞所需的時(shí)間。由于②—→⑥所需時(shí)間最長：15分鐘。所以③—→⑥、④—→⑥、⑤—→⑥都可以在此同時(shí)進(jìn)行，而不另占時(shí)間，水燒開了就沏茶．所以只需將①—→②—→⑥所需時(shí)間算出來，就是所求時(shí)間?！緮?shù)列求和思路】在生產(chǎn)建設(shè)和日常生活中，經(jīng)常遇到求一列數(shù)的和的問題。如何才能簡捷地求一列數(shù)的和呢？我們可以沿著數(shù)列求和的思路，去找出這一列數(shù)的特點(diǎn)，然后按某種特定的公式去求和。數(shù)列很多，如等差數(shù)列、等比數(shù)列、菲波那契數(shù)列等等，數(shù)列求和主要是講等差數(shù)列求和。這種數(shù)列的特點(diǎn)就是一列數(shù)依次相差一個(gè)固定的數(shù)。其求和的公式為：a＝首項(xiàng)b＝末項(xiàng)n＝項(xiàng)數(shù)．例1〔如圖2·33〕一堆鋼管，最底下一層是十根，倒數(shù)第二層是九根，以后每上一層，鋼管減少一根。問十層共有多少根鋼管？分析〔用數(shù)列求和思路思考〕這個(gè)題目，實(shí)際上就是求從1到10的連續(xù)10個(gè)自然數(shù)的和，因此可以按數(shù)列求和的思路探索：1＋2＋3＋……＋10＝？這列數(shù)有什么特點(diǎn)呢？仔細(xì)觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，這列數(shù)依次相差一個(gè)固定的數(shù)1，是一個(gè)有10項(xiàng)的等差數(shù)列，所以完全可以用等差數(shù)列求和的公式求出這堆鋼管的總數(shù)。例2一個(gè)劇場放置了20排座位，第一排有38個(gè)座位，往后每排都比前一排多2個(gè)座位，這個(gè)劇場共有多少個(gè)座位？分析〔用數(shù)列求和思路分析〕：此題因?yàn)椤巴竺颗哦急惹耙慌哦?〞，實(shí)際上是一列公差為2的等差數(shù)列，所以按等差數(shù)列求和的思路探討就是了。等差數(shù)列求和的公式為：項(xiàng)b就不知多少，怎樣才能求出b呢？按條件，第一排為38，往后每排都比前一排多2，那么第二排為40，第三排為42，……，這樣一排一排地?cái)?shù)下去，確實(shí)太麻煩了，得另找規(guī)律。我們來分析一下：設(shè)a1，a2……分別表示第一排，第二排，第三排……那么有：a1＝38a2＝a1＋2＝38＋2＝38＋2×1＝40a3＝a2