第11講 勾股定理與銳角三角函數(shù)（題型訓練）（解析版）-2022年中考數(shù)學大復習（知識點·易錯點·題型訓練·壓軸題組）

第11講勾股定理與銳角三角函數(shù)

題型一勾股定理

1.（2021?福建?福州十八中九年級期中）若二次函數(shù)）=依2+版的圖像與工軸有兩個交點A和8,頂點為

C,且〃-4ac=12,則NACB的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】解：令y=0,則or2+bx+c=0,

._-h+yjh2-4ac_—b±yfV2

??x---------------------------------，

2a2a

."B=|亞

a

?”-4a=12,

/.AC=J（---b-y/i2）2+（-）2=|—

V2aaa

由拋物線的對稱性可知8c=|空I，

a

."C=8C=48,

，ZACB^60°.

故選：C.

2.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級期中）已知AB,CZ）是。O的兩條平行弦，AB=8,8=6,。。的半徑

為5,則弦48與CD的距離為（）

A.1B.7C.4或3D.7或1

【答案】D

［解析】①當弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖①，

過點。作垂足為R交AB于點E,連接04,OC,

"."AB//CD,

：.OEA.AB,

：AB=8,CD=6,

；.AE=4,CF=3,

；0A=0C=5,

???由勾股定理得：E0=J52_不=3,0F=后一乎=4,

：.EF=OF-OE=\；

②當弦AB和CO在圓心異側(cè)時，如圖②,

圖②

過點。作OELA8于點E,反向延長。E交A。于點尸，連接04,0C,

EF=OF+OE=1,

所以A8與CD之間的距離是1或7.

故選：D.

3.（2021?河南?洛陽市洛龍區(qū)教育局教學研究室九年級期中）如圖，在矩形ABC。中，點E是A8的中點，

點尸是8c的中點，連接EF,G是EF的中點，連接。G.在ABEF中，BE=2,NBFE=30。,若將ABEF繞

點3逆時針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段。G長的最大值是（）

A.屈B.2aC.10D.12

【答案】C

【解析】解：如圖，△8EF旋轉(zhuǎn)到圖中位置，連接8。、BG,

?.,在ABE尸中，NEBF=90。,BE=2,NBFE=30。,

：.EF=2BE=4,BF=2y[3,

:旋轉(zhuǎn)前點E是A8的中點，點尸是8C的中點，

.*.A8=Cg,8c=46，

80=8.

?.?在欣△3EF中，點G是EF的中點，

：.BG=^EF=2.

在4BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，BG的長不變，

在^DBG中，BG+BD>GD,

...當Q,B,G三點共線且8點在。、G之間時，QG最大，此時，DG=BG+BD=2+S=IO,

??.DG的最大值為10.

故選C.

4.（2021?浙江?杭州市杭州中學九年級期中）如圖，點C,。在以4B為直徑的。。上，且CC平分/AC8,

若C￡>=2百，/C84=15。，則AB的長是（)

A.2GB.4C.3gD.4后

【答案】B

【解析】解：過點O作OELCD交于點E,連接OC,

B

則CE=DE=；CD=￡,

VOC=OB,NCSA=15°,

Z.ZOCB=ZCBA=15°,

是。。的直徑，

ZACB=90°,

；C￡>平分ZACB,

/.?BCD-?ACB45?,

2

二ZOCE=ZBCD-NOCB=45°-15°=30°,

設OE=x,則OC=2x,

在RtAOCE中，由勾股定理得，

OC2=OE2+CE2

（2x）2=Y+（可

4X2=X2+3

3x2=3

X2=1

解得X|=l,x2=-1（舍）,

...OC=2,

：.AB=2OC=2x2=4,

故選B.

5.（2021?浙江臺州?九年級期中）如圖，在Rf/ABC中，/A8C=90。，AB=BC,點P在AABC內(nèi)一點，連

接必，PB,PC,若NBAP=NCBP,且AP=6,則PC的最小值是（）

BC

A.272B.3C.35/5-3D.3亞

【答案】D

[解析】把仆BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABP,,連接PP,

則AP'=PC,BP=BP',/P8產(chǎn)=90°,NAP，B=NCPB

故4尸尸8是等腰直角三角形

NPP'B=45°

"：ZBAP^ZCBP

：.NBAP=NABP，

：.BP,//AP

：.尸8=90°

當尸'、P、C在同一直線上，且AP'LP'C時，AP最短

NAP'8=9()°+45°=135°

二/B4P'=180°-NA尸'8=45°

.?.△AP嚴是等腰直角三角形

,

：.AP=y/2AP=6

：.PC=AP'=3y[2

故選O.

6.（2021?陜西師大附中九年級期中）如圖所示，在邊長為12的正方形中ABCD中，有一個小正方形EFGH,

其中點E、F、G分別在線段AB、BC、F。上，若BF=3,則小正方形的邊長為（）

D

【答案】C

【解析】解：在乙BEF與^CFD中

VZi+N2=Z2+N3=9()°,

Z.Z1=Z3

,?ZB=ZC=90°,

:.ABEFsACFD,

'：BF=3,BC=[2,

：.CF=BC-BF=12-3=9,

又,/DF=y]cD2+CF2=V122+92=15>

.BFEF3EF

，?--=--,Hunp-=---

CDDF1215

故選：C.

7.（2021?江西省臨川第二中學九年級期中）如圖，在RtZ\A8C中，AB=AC,D,E是斜邊8C上兩點,

且ND4E=45。，將AADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到△AFB,連接E凡下列結(jié)論：?AAED^AAEF；

②AABEsAACD；@BE+DC=DE；?BE2+DC2=DE2.其中正確的是（）

A.1個

【答案】B

【解析】解：：△ADC繞A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到AAPB,

：.AF=AD,ZCAD=ZBAF,

?.?在直角三角形ABC中，AB=AC,

：.ZBAC=W°,即NCAD+NBA￡>=90°,

AZBAF+ZBAD=90°,即/布￡>=90°,

ND4EE5。，

ZDAE=ZFAE=45°,

在△AE。和△AEF中,

DA=FA

NDAE=ZFAE,

AE=AE

：.^AED^/\AEF(SAS),故①正確，

與A。不一定相等，

,器不定與篝=1相等

.??△A8E與△4CO不一定相似，②錯誤;

,?也△AEF,

：.DE=EF,

由旋轉(zhuǎn)可知：

：.BF=CD,

'：BE+BF>EF=DE,

：.BE+DODE,③錯誤；

,在RsABC中,AB=AC,

：.ZBAC=90°,ZABC=ZC=45°,

由旋轉(zhuǎn)可知：ZABF=ZC=45°,

：.ZEBF=90°,

:.BU+BF^E尸,

.,.BE^+D^DE2,④正確；

故選B.

8.（2021?浙江?杭州市十三中教育集團（總校）九年級期中）如圖，。。是以坐標原點。為圓心，40為半

徑的圓，點尸的坐標為（2,2）,弦AB經(jīng)過點尸，則圖中陰影部分面積的最小值為（）

3232.r~

A.8?tB.—TVC.87t-16D.—7T—8^3

33

【答案】D

【解析】解：由題意當OP9時，陰影部分的面積最小，

,；P（2,2）,

：.OP=M”=2叵,

?.?。4=08'=4&，

???PA'=PB'=yj0B2-0P-=J(4@2一僅夜丫=2遙，

2/Z

/.tanNA'OF^tanNB'OP-―六=,

2V2

JZAW=ZBW=60°,

???N403三120。，

?c_ce1204?（4&）i324f-

?,3|?j=d闡形OA'B'-^hA'OB'^____1____L___二4yA2垃=-8x/3'

36023

故答案為：D.

9.（2021.福建省福州第十九中學九年級期中）如圖，在矩形A3CD中，點及F是對角線AC上的兩點，

A8=63C=2G且EF=3C,點G是邊A3上的中點，連接GE、DF.當GE+OF取最小值時，線段CF

的長是（）

A.1B.&

【答案】C

【解析】解：取3。的中點"連接G”、HF、HD,

在矩形ABCD「卜，AB=73BC=2石且EF二BC,

：.BC=2,EF=BC=2,

AC=y/AB2+BC2=^（2>/3）2+22=4，

???點G是邊45上的中點，點”是邊8C上的中點，

/.GH=-AC=2GH//AC,

2f

:.GH=EF=2,GH〃EF,

???四邊形EG”廠是平行四邊形，

:,EG;HF,

：.GE+DF=HF+DFNDH,

???當”、F、D共線時，GE+O萬有最小值，最小值為OH,如圖:

NDAC=NHCF,

/.△CFH-AAFD,

.CFCH\

AFAD2

VAC=4,

4

：.CF=-

3f

故選：C.

10.（2021?江蘇?無錫市江南中學九年級期中）如圖1,若△ABC內(nèi)一點P滿足/41C=NPB4=NPC6,則

點P為△ABC的布洛卡點，已知在等腰直角三角形。Ef■中，如圖2,ZEDF=90°,若點。為的布

洛卡點，DQ=y/2,EQ+FQ=（）

【答案】D

【解析】解：如圖2,在等腰直角△力E尸中，

ZE￡>F=90°,DE=DF,EF=42DF,ZDEF=ZDFE=45°,Z1=Z2=Z3,

/.Z1+Z2￡：F=Z3+ZDF（2=45O,

AZQEF=ZDFQ,且N2=N3,

：./\DQF^^FQE,

.DQFQDF\

，''FQ~QE~~EF^7/2,

,:DQ=五,

：.FQ=2,EQ=2夜，

:.EQ+FQ=2+2g，

故選：D.

11.（2021?廣東?深圳市龍崗區(qū)百合外國語學校九年級期中）如圖，在四邊形ABC。中，AEYBC,垂足為E,

ZBAE=ZADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB（A為常數(shù)），則8。的長為.（用含上的式子表示）

［答案］J25+16Z?

【解析】解：如圖，連接AC,

：AE±BC,BE=CE=2,

：.BC=4,AE垂直平分8C,AB=AC,

將△A3。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACG,如圖所示，連接。G,

則AO=AG,BD=CG,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NBAC=/DAG,

9：AB=AC,AD=AG,

：.AABC^AADG,

.ADDG

.?------------,

ABBC

'：AD=kAB,

：.DG=kBC=4k,

VZBAE+ZABC=90°,ZBAE-ZADC,

：.ZABC+ZADC=90°,

'：△ABCS/M"

ZABC=ZADG,

：.ZADG+ZADC=90°,

即：ZCDG=90°,

CG=y/cif+GD2=J25+16/>

BD=CG=425+16H.

12.（2021.四川.中江縣凱江中學校九年級期中）在。。中，AB、C。是兩條弦，AB=6,CO=8,且AB〃C。,

。。的半徑為5,則AB、CO之間的距離是一.

【答案】1

【解析】解：①當弦AB和C。在圓心同側(cè)時，如圖①,

圖①

過點。作OFL48,垂足為凡交CD于點E,連接。4,0C,

\'AB//CD,

：.OE1CD,

VAB=6,CD=8,

；.CE=4,AF=3,

"：OA=OC=5,

22

由勾股定理得：水?=疹彳=3,0F=^5-3=4.

；.EF=OF-OE=l；

②當弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖②,

圖②

過點。作OEJ_CO于點￡,反向延長交A8于點F,連接04,0C,

EF=OF+OE=1,

所以AB與CO之間的距離是1或7.

故答案為：I或7.

13.在等邊△ABC中，AB=6,BO=4,點E為AC邊上一個動點，連接OE,將△CDE沿著OE翻折得到

△FDE,則點F到AB距離的最小值是.

BD

【答案】2G-2

【解析】解：如圖，過點。作。于T.

A4BC是等邊三角形，

.?.N8=60。，BC=AB^6,

ZDTB=9O0,BD=4,

.-.CD=DF=2,

DT=BD.sin60°=2V3，

觀察圖象可知，當點尸落在￡>T上時，點尸到A8距離的最小，最小值為2百-2,

故答案為：26-2.

14.（2021.山東李滄.九年級期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點。在CG上，AD=五,DG

=3近,，是4尸的中點，那么C”的長是

【答案】迎

3

472

???正方形ABCD和正方形CEFG中，AD=CDG=^—

3

.”=2,CG等

14

CF=—,ZACD=ZGCF=45°,

3

：.ZACF=9Q°,

由勾股定理得，AF=yjAC2+CF2=^22+(y)2=,

?.?”是AF的中點,

“14.12病屈

CH=-AFc=-x------=------.

2233

故答案為：返.

3

15.(2021?浙江?溫州市第四中學九年級期中)如圖，在AABC中，ADA.BC,交AO于點片且

BD=AD.

（1）求證：ABDF^AADC.

（2）若尸為AO的中點，且OC=1.求AC的長.

【答案】（1）見解析；（2）AC=^5

【解析】（1）證：VAD1BC,BELAC,

：./BDF=NADC=NFEA=90。,

???/AFB:/CAD+/FEA=/FBD+/BDF,

；?/CAD=NFBD,

在48￡＞尸和△ADC中，

NFBD=ZCAD

BD=AD

ZBDF=ZADC

/.△BDF^AADC；

(2)NBDF^/ADC.

，DF=DC,

???F為的中點，DC=\,

：.AD=2DF=2DC=2,

.?.在MAAOC中，ACTAA+DC。=M，

4c=逐.

16.(2021?北京教育學院附屬中學九年級期中)如圖，點M,N分別在正方形A8CD的邊BC,8上，且

ZMAN=45°.把小ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABE.

(1)求證：AAEM絲△ANM.

(2)若BM=3,DN=2,求正方形A2C￡＞的邊長.

【答案】(1)見解析(2)6

【解析】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，△ADN經(jīng)AABE,

:.NDAN=NBAE,AE=AN,ND=NABE=90。,

,NABC+/ABE=180。，

.?.點E,點6,點C三點共線，

VZDAB=90°,NMAN=45。,

：.NMAE=ZBAE+NBAM=ZDAN+NBAAf=45°,

NMAN,

'：MA=MA,

：./^AEM^/^ANM(SAS).

(2)解：設C0=8C=x,則CA/=x-3,CN=x-2,

,：/XAEM^^ANM,

：.EM=MN,

?；BE=DN,

:.MN=BM+DN=5,

VZC=90°,

二25=（廠2）2+（x-3）2,

解得，x=6或T（舍棄），

，正方形ABC。的邊長為6.

17.（2021?天津河西?九年級期中）如圖，已知8c為。。的直徑，BC=5,AB=3,點A點8點C在。。上,

NCAB的平分線交。。于點￡）.

（I）求AC的長；

（II）求BD,CD的長.

【答案】（1）4；（II）CD=BD=—.

2

【解析】解：（I）連接OO,

BC為直徑，

，ZCAB=ZBDC=90°.

在RIAC4B中，

AC=7BC。-AB。=出―，=4.

（II）,:A￡）平分NC4B,

二ZCAD=ZBAD,

乙COD=ABODCD=DB

：.CD=BD.

在RtABDC中，BC=5,CD2+BD2=BC2,

：.BD=CD=—.

2

18.（2021?河南?永城市實驗中學九年級階段練習）如圖，在正方形ABC。中，點￡尸分別在AB和BC上,

BE=4.AE=BF=1,將ABEF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)，當點H落在CO邊上時，得到△G〃F.

（1）求證：/BEF=/CFH.

（2）求瓦”兩點之間的距離.

【答案】（1）見解析：（2）V34

【解析】（1）將ABEF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)得到△GHF,

.-.HF=EF^yj42+12=717，

四邊形A8CD是正方形，AE=BF=\,

:.CF=BE=4,

.?.C/7=7（Vl7）2-42=1.

BF=CH,

在AEBF與/XFCH中，

EB=FC

-NB=NC=90°,

BF=CH

AEBF/AFCH,

NBEF=/CFH：

（2）如圖，連接EH,作EMLCD交于點M,

EM=8C=l+4=5,MH=5-\-\=3,

EH=y]52+32=V34.

19.(2021?四川江油?九年級期中)如圖1,將兩塊全等的直角三角形紙片AABC和ADEF疊放在一起，其中

ZACB=ZE=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點力與邊AB的中點重合.

(1)若。E經(jīng)過點C,。尸交AC于點G,求重疊部分(4DCG)的面積：

(2)合作交流：“希望”小組受問題(1)的啟發(fā)，將ADEF繞點。旋轉(zhuǎn)，使力ELAB交AC于點兄QF交AC

于點G,如圖2,求。H的長.

【答案】(1)6；(2)v

【解析】(1)VZACB=90°,D是48的中點，

:.DC=DB=DA.

:,/B=/DCB.

又:/\ABC^/\FDE,

???ZFDE=/B.

：./FDE=/DCB.

：.DG//BC.

：.ZAGD=ZACB=9Q0,

：.DG±AC.

又???QC=ZM,

???G是AC的中點.

ACG=-AC=-x8=4,DG=-BC=-x6=3.

2222

q=—xCG,DG=—x4x3=6.

°DCG22

(2)如圖2所示:

圖2

■:/\ABC^/\FDE,

???ZB=Z1.

VZC=90°,ED上AB,

VZA+ZB=90°,ZA+Z2=90°,

ZB=Z2,

???Z1=Z2,

:?GH=GD,

VZA+Z2=90°,Zl+Z3=90°,

NA=N3,

/.AG=GD,

:.AG=GH,

.??點G為A”的中點；

在RtZ\ABC中，=yjAC2+BC-=V82+62=10>

?.?。是A8中點,

AD=-AB=5,

2

連接BH.

,：D”垂直平分A8,

，AH=BH.

設M=x,則CH=8-x,

由勾股定理得：（8-X）2+62=V,

解得'=中25，

4

20.（2021?北京師范大學第二附屬中學西城實驗學校九年級期中）如圖，在△ABC中，AC=BC,ZACB=

90°,O是線段AC延長線上一點，連接3D,過點A作AEL8O于￡

（1）求證：ZCAE=NCBD；

（2）將射線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45。后，所得的射線與線段8。的延長線交于點F,連接CE.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段所，CE,BE之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析：②EF=8E+血CE，見解析

【解析】（1）

圖1

如圖1,

VZACB=90°,AELBD,

：.ZACB=ZAEB=90°,

又?:Z1=Z2,

；?NCAE=NCBD；

(2)①補全圖形如圖2；

②EF=BE+叵CE.理由如下：

在AE上截取40,使=

XVAC^CB,NCAE=NCBD,

：.MCM/MCE,

：.CM=CE,ZACM=NBCE,

乂ZACB=ZACM+ZMCB=90°,

，ZMCE=ZBCE+ZMCB=90°,

ME=-J1CE,

又,/射線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°,

后得到AF,且ZAE尸=90。，

EF=AE=AM+ME=BE+辰E.

題型二銳角三角函數(shù)

1.（2021?上海市金山初級中學九年級期中）已知在△ABC中，NC=90。，N8<N4設sinB=n,那么c的

取值范圍是（）

A.0<n<lB.0<n<-C.0<n<—D.0<n<

222

【答案】C

【解析】解：在AABC中，ZC=90°,Z6<ZA,且NA+/B=9()。，

0°<ZB<45°,

0<sinB<,即0<n<立';

22

故選C.

2.（2021?吉林?長春市凈月實驗中學九年級期中）如圖，在△ABC中，ZC=90",AB=5,AC=4,下列三角

函數(shù)表示正確的是（）

443

A.sin4=一B.tan4=一D.tanB=一

534

【答案】C

【解析】解：zACB=90°,46=5,AC=4,

BC=yjAB2-AC2=>/52-42=3,

3

sin4=^,故選項A錯誤;

3

tan4=—,故選項B錯誤；

4

4

cosA=-f故選項C正確；

4

tanB=y,故選項D錯誤.

故選：c.

3.（2021?安徽省馬鞍山市第七中學九年級期中）如圖，將NAOB放在正方形網(wǎng)格中，則cos/408的值為

)

1.正

5B?平

【答案】A

【解析】解：如圖所示，在直角三角形。BE中，OE=2,BE=4,NOEB=90。,

OB=yJOE2+BE2=2#>，

cosAAOB=cosZEOB=^-=^->

OB5

故選A.

4.如圖，已知月以ABC中，ZACB=90°,AC=3,>48=5,則cosA的值為（）

【答案】A

【解析】解：在R3ABC中，NACB=90°,

.AC3

COSA=

^5

故選：A.

5.（2021?四川,成都嘉祥外國語學校九年級期中）在RRA8C中,ZC=90°,CD1.AB,垂足為點D,下列四

個三角比正確的是（）

ACADCDCD

A.sinAB.cosAC.tanAD.cosA=-----

~ABAC~BDAD

【答案】B

【解析】解：因為NAC8=90。，CD±AB,

ADAC

AC-AB?AD

故選：B.

6.（2021?陜西師大附中九年級期中）如圖所示，在矩形ABCD中,AB=3,8c=4,點C沿對角線8。折疊,

點C的對應點為E,線段BE交A。于點F,則tanNEZ?;'的值為（）

72424

A.—B.—D.—

24257

【答案】A

【解析】..在矩形陽CD中，AB=3,3c=4,

AD=BC=4

■二點C沿對角線BD折疊，得到AEDF

/.DE=DC=AB

又N4=ZE=90°,ZAFB=NEFD

△ABF^△DEF,

/.BF;DF,AF=EF

設EF=x=AF,則DF=4-x

在RtADEF中，DF2=EF2WE2

即(4-x)2=x2+32

解得心（7

o

7

/.EF~,

8

7

7

?,.tanZEDF=￡F=8=

~DE~1~24

故選4

7.已知a=3,且（4tan45°--）2+j3+9-c=0,則以a、b、c為邊長的三角形面積等于（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】解：r（4tan45f）2+j3+?_c=0,

（4tan45f=0,（

LiAn解得廠一：

3+—/?-c=0,[c=5.

所以。=3,b=4,c=5,BPfl2+b2=c2,

ZC=90°,

所以Sv=g"=6.

8.（2021?山東新泰?九年級期中）已知。是銳角，sina=cos30°,則a的值為（）

A.30°B.60°C.45°D.無法確定

【答案】B

【解析】解：Qa是銳角,sina=cos30°,

.*.a=90o-30°=60°.

故選：B.

9.（2021?浙江鄴州?九年級期末）角用滿足0。＜。＜夕＜45。，下列是關于角a,9的命題,其中錯送的

是（）

A.o＜sinaB.0ctan6＜1c.cossinaD.sin6＜cosa

2

【答案】C

【解析】解：角a，夕滿足0°＜々＜/＜45。，sina隨a的增大而增大，cos/7隨月的增大而減小，

tan尸隨夕的增大而增大，

A：：sin45Q=1；.0<sinc<正，選項A正確，不合題意；

22

B.；tan45o=l"'.0<tan/<1,選項B正確，不合題意；

C.sin45°=^-.cos45°=^-?cos/>Y^,sinc<立^,cos尸）sina,選項C不正確，符合題意；

2222

D.sin45°=g^,cos45°=-^-?cosa>^y-,sinp<.sin/?<cosa,選項D正確，不符合題意.

故選擇：C.

10.（2021?四川樂山?中考真題）如圖，直線4與反比例函數(shù)y=±（x>0）的圖象相交于A、B兩點,線段A3

x

的中點為點C,過點C作x軸的垂線,垂足為點。.直線4過原點。和點C.若直線4上存在點P（”，〃），

滿足=

A.3-小

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，得A（|,3）,《3,1,即A（l,3）,8（3,1）

直線,過原點。和點C

直線4：y=x

???P（孫〃）在直線4上

m=n

.PC=j2（m-2）2

連接以，PB,FB

?PA=PB,線段AB的中點為點C

C(2,2),OC1AB

過點C作x軸的垂線，垂足為點D

D(2,0)

.AD=^(2-1)2+(0-3)2=VlO.AB=^(1-3)2+(3-1)2=242,8力=J(3-2『+l=0

AD2=AB2+BD2

：.ZABD=90°

.?.點A、8、D.P共圓，直線4和AB交于點F,點F為圓心

cosZADB=-=

ADVio

.AC=BC,FB=FA=-AD

2

ZBFC=-ZAFB

2

■.ZAPB=ZADB,=

2

.ZAPB=ZADB=NBFC

cosZ71PB=cosZBFC=—=-==^=

FBM7Mi

F

■?rC=----

2

PC=PF+FC或PC=PF-FC

當尸C=PF-FC時，NAPB和NAD3位于直線A8兩側(cè)，即NAP3+NAT)3=180。

,PC=-尸C不符合題意

-?.PC^PF+FC=—+—,且加＜2

22

PC=[2（%-2『=0（2-句,

加一力粵名

3后

??m=-------

22

?*?m+n=2m=3-非

故選：A.

11.（2021?山東?濰坊市寒亭區(qū)教學研究室九年級期中）在RfA8C中，ZC=90°,sinA=g,3c=2,則

AC=.

【答案】4拒

【解析】解：在R3A8C中，ZC=90°,

.\BC

'：sinA=-=---,

3AB

又BC=2,

48=6,

.AC=ylAB2-BC2=762-22=472，

故答案為：4夜.

12.（2021?上海市松江九峰實驗學校九年級期中）如圖，折線A8-8C中，A8=3,BC=5,將折線AB-8c

繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到折線AO-DE,點B的對應點落在線段BC上的點。處，點C的對應點落在

點E處，連接CE,若CEJL8C,plljtanzEDC=_________________.

【答案】y

【解析】解：如圖，連接AC,AE,過點A作AF_LBC于F,作AM_LEC于H,

,/CE±8C,AFA.BC,AH±EC.

???四邊形4FCH是矩形，

AAF=CHf

???將折線AB-8C繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到折線AD-DE,

：.AD=AB=3,BC=DE=5,NABC=NADE,

「.△ABC^△ADE(S>AS),

??.AC=AE,

,/AC=AE,AB=AD,AF±BC,AH±EC,

BF=DF,CH=EH,

222222

VAB=AF+BFfDE=DC+CEf

2222

：.9=AF-\-BFf25=(5-2BF)+4AFt

912

BF=g,,

2497

EC=2CH=2AF=—CD=5-2x-=-,

5t55

EC24

tanzEDC=-----=—,

CD7

故答案為：y.

13.(2021?重慶南開中學九年級期中)計算：2tan45。+(石-1)°=

【答案】3

【解析】解：原式=2x1+1

=2+1

=3,

故答案為：3.

14.若三個銳角滿足sin48=a,cos48=p,tan48=y,則。,力,/由小到大的順序為

【答案】P<a<7

【解析】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)可得：

oooooo

C0s48=sin42/sin42<sin48°<l,tan45<tan48/tan45=l,

/.cos48°<sin480<l<tan48°,

P<a<y,

故答案為P<a<V.

15.（2021?福建?泉州五中九年級期中）如果a是銳角，且sin2a+cos248°=l,那么a=度

【答案】48

【解析】；a是銳角,sin2a+cos248°=l，

乂；sin2a+cos2a=1,

a=48°.

故答案是48.

16.（2021?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學九年級階段練習）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點P,

且BP=血.連接CP,將線段PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ.連接CQ、DQ,則goQ+CQ的最小值

為一.

【答案】5

【解析】解：如圖，連接AC、AQ,

四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

：.ZACB=ZPCQ=45%

:.ZBCP=4ACQ,COSZACB=—=—,cosNPCQ==①，

AC2QC2

：.z4ce=zPCO,

...A8cpsAACQ,

.AQ_sf2

?.-------

BP2

BP=y/2，

AQ=2,

???Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，

在AD上取AE=1,

AE1AQ1

「?△QAE”△DAQf

??卻即gm

^DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

連接CE,

CE=4DE2+CD2=5,

1DQ+CQ的最小值為5.

故答案為：5.

17.(2021?河北?廣平縣第二中學九年級期中)(1)(l-sin45")0-tan60°+74.

(2)cos300-3tan60°-2sin45°?cos45".

【答案】(1)3-白；(2)——1.

【解析】解：(1)(1-sin45")°-tan60°+",

=3-6；

(2)cos30°-3tan600-2sin45°?cos450,

亞

一

一2一3xg一

3

-2-36-1，

2

18.(2021?四川?成都市溫江區(qū)東辰外國語學校九年級期中)計算：0x(-2014)。-(1)-2+|2sin450

-2|.

【答案】-2

【解析】解：0x(-2014)。-2+|2sin45°-2|

=0-4+2-〃

=-2.

19-(2。21?廣東?佛山市華英學校九年級期中)計算：京麗二嬴商-8s3。。

3

【答案】j

tan600

【解析】解:-cos30"

2sin60°-tan45°

6

66

V3-12

石(6+1)6

(百一1)(6+1)2

6+36

---------------

22

=3

~2'

20.(2021?吉林?長春市凈月實驗中學九年級期中)圖①、圖②均是邊長為1的小正方形組成的5x5網(wǎng)格,

每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上.(要求：借助網(wǎng)格，只用無刻度的直尺，不要

求寫出畫法)

(1)在圖①中的線段A8上畫出點M,使48=3AM.

(2)在圖②中作出AABN,使點N在格點上，且tanN8AN=g.

AA

I/

//

//

BB

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】解：（1）如圖，點M即為所求.

A

/M

/

B

（2）如圖，點N即為所求.

222222

BN=y/[+\=>/2>AN=y/2+2=272?AB=y]]+3=y/]Q>

BN2+AN2=AB2,

△ABN是直角三角形,且NAN8=90°,

,e*,BNV21

??tanNBAN==—產(chǎn)=—.

AN2722

21.如圖所示，△ABC中，。為48的中點，DC_L4C,且N88=30。，求NQM的正弦值、余弦值和正切值.

ADB

【答案】sinZCDA=^-,cos=—.tanZCDA=—

773

【解析】解：過。作DEIIAC,交8C于點E.

1,,AD=BD,：.CE=EB,：.AC=2DE.

又：DC±AC,DEWAC,

：.DC1.DE,即NCDE=90°.

又；NBCD=30°,EC=2DE,DC=5/3DE.

設DE=k,則CD=/&,AC=2k.

在R3ACD中，AD=yjAC2+CD2=^k'

sin/OM="=%=砧,cosZCDA衛(wèi)卑再

AD幣k7ADgk7

/iAC2k2G

tanZ.CDA=-----==-------.

CDy/3k3

22.(2021?上海市松江九峰實驗學校九年級期中)如圖1,已知在等腰AA8C中，AB=AC=5^,tanZABC

=3,BF±AC,垂足為F.點。是邊A8上一點(不與48重合).

(1)求邊8C的長；

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)DF,DF恰好經(jīng)過△ABC的重心，求線段的長；

(3)過點。作DEJLBC,垂足為E,DE交BF于點Q.聯(lián)結(jié)。F,如果△DQF和△ABC相似，求線段8D的長.

D

圖I圖2備用

【答案】(1)10；(2)(3)eD=65>A0gj.BD=9V10

7135

【解析】解(1)如圖1,過點A作4H_L8C于H,

(圖1)

ZAHB=90°,

-：A8=AC=5屈，

BC=2BH,

..AH

在RQAHB中，tanNA8C=——=3,

BH

.-.AH=3BH,

根據(jù)勾股定理得，AH2+BH2=AB2,

：.(3B”)2+BH2=(5VlO)2,

BH=5,

：.BC=28”=10；

(2)/BC=10,tanZABC=3,

CF=V10,BF=3y[\0,如圖2,作8NJ_BC,CMYBC,

A

圖2

G為重心，

AG=10fGH=5,

?/AH±BCfCM±BC

CM//AG,

??.ZACM=NGAG,ZGMC=AAGM

「.△CMF-△AGF

rllICMCF1

AGAF4

15

CM=—AG=—,

42

/AH±BC,CM_L8C,BN±BC

CM//AG//BN

.MGCH

「.G為M/V中點

「?HG為梯形CMNB的中位線，

15

/.BN=2GH-CM=—,

2

.NB〃AG,

：.ZDAGMNBD/AGD=ABND

：,△ADG-△BDN

A。_AG4

而一嬴一§，

.人C—420M

77

(3),/BF±ACfDE±BCr

/.ZBFC=Z.DEB=90°,

ZBQE=AACB（同角的余角相等）

,/Z8QE=NDQF,

ZDQF=ZACB

ADQFfllA48c相彳以，

.DQ^DQ=FQ

ACBC-BCAC'

「tanNBQE=tanZ4c8=tanNABC=3,

，毀=3,匹=3

QEBE

設QE=x,BE=3x,則0E=9x,

BQ=VlOx,BD=3>JiOx,DQ=8x,

BF=3CF=3屈,

QF=3V10-^x,

⑴當筆嘿此8x3M-Mx

貝IJ,1——1

5>/io10

解得x=j|,

33瓜-65浮

3當冬噗時，8%sVio-Viox

則，一/—,

105加

解得x=：3

BD=3A/10X=^^,

綜上所述，8。=竺叵或8。=%^.

135

A

°EC

r名用醫(yī)h

23.（2021?北京市第三中學九年級期中）如圖，在AABC中，AC=BC,Z7168=90°,。為AC上一點（與點

A,C不重合），連接BD,過點A作AE_L8。的延長線于E.

（1）①在圖中作出△ABC的外接圓。。，并用文字描述圓心。的位置；

②連接。E,求證：點E在O。上；

（2）①延長線段BD至點F,使EF=AE,連接CF,根據(jù)題意補全圖形；

②用等式表示線段C