廣東省省際名校2024屆數學高一下期末綜合測試試題含解析

廣東省省際名校2024屆數學高一下期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．經過原點且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．2．sincos＋cos20°sin40°的值等于A． B． C． D．3．如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線4．從總數為的一批零件中抽取一個容量為的樣本，若每個零件被抽取的可能性為，則為（）A． B． C． D．5．如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧得到的封閉圖形.在此圖形內隨機取一點，則此點取自等邊三角形內的概率是()A．32π-3 B．34π-236．已知向量，，，則實數的值為()A． B． C．2 D．37．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產品全是正品的概率是（）A． B． C． D．8．已知為第Ⅱ象限角，則的值為（）A． B． C． D．9．若是等差數列，則下列數列中也成等差數列的是()A． B． C． D．10．在中，若，且，則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，為了測量樹木的高度，在處測得樹頂的仰角為，在處測得樹頂的仰角為，若米，則樹高為______米.12．已知x，y滿足，則的最大值為________.13．若兩個正實數滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍是____________.14．若，則_________.15．在中，角A，B，C的對邊分別為，若,則此三角形的最大內角的度數等于________．16．已知一個鐵球的體積為，則該鐵球的表面積為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）已知數列的前項和滿足，求數列的通項公式；（2）數列滿足，（），求數列的通項公式.18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面積的最大值.19．無窮數列滿足：為正整數，且對任意正整數，為前項、、、中等于的項的個數.（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數，使得，判斷命題的真假并說明理由；（3）若對任意正整數，都有恒成立，求的值.20．如圖，在中，，角的平分線交于點，設，其中．（1）求；（2）若，求的長．21．我市某商場銷售小飾品，已知小飾品的進價是每件3元，且日均銷售量件與銷售單價元可以用這一函數模型近似刻畫.當銷售單價為4元時，日均銷售量為400件，當銷售單價為8元時，日均銷售量為240件.試求出該小飾品的日均銷售利潤的最大值及此時的銷售單價.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【題目詳解】解：直線方程為，圓的圓心坐標為，半徑為．圓心到直線的距離．則，解得．圓的圓心坐標為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【題目點撥】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查扇形面積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．2、B【解題分析】由題可得，.故選B.3、B【解題分析】

利用垂直關系，再結合勾股定理進而解決問題．【題目詳解】如圖所示，作于，連接，過作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知，．，故選B．【題目點撥】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關鍵是構造直角三角性．4、A【解題分析】

由樣本容量、總容量以及個體入樣可能性三者之間的關系，列等式求出的值.【題目詳解】由題意可得，解得，故選A.【題目點撥】本題考查抽樣概念的理解，了解樣本容量、總體容量以及個體入樣可能性三者之間的關系是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.5、D【解題分析】

求出以A為圓心，以邊長為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積，根據圖形的性質，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形ABC【題目詳解】設等邊三角形ABC的邊長為a，設以A為圓心，以邊長為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積為S1，則S1=萊洛三角形面積為S，則S=3S在此圖形內隨機取一點，則此點取自等邊三角形內的概率為P,P=S【題目點撥】本題考查了幾何概型.解決本題的關鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運算能力.6、A【解題分析】

將向量的坐標代入中，利用坐標相等，即可得答案.【題目詳解】∵，∴.故選：A.【題目點撥】本題考查向量相等的坐標運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.7、B【解題分析】

利用古典概型概率公式求解即可.【題目詳解】設三件正品分別記為，一件次品記為則從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，取出的產品可能為，共6種情況，其中取出的產品全是正品的有3種所以產品全是正品的概率故選：B【題目點撥】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎題.8、B【解題分析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【題目詳解】因為，所以或，又為第Ⅱ象限角，故，．因為為第Ⅱ象限角即，所以，，即為第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故選B．【題目點撥】本題主要考查二倍角公式的應用以及象限角的集合應用．9、C【解題分析】

根據等差數列的定義，只需任意相鄰的后一項與前一項的差為定值即可．【題目詳解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，與n有關系，因此不是等差數列．B:==與n有關系，因此不是等差數列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d為常數，仍然為等差數列；D:當數列{an}的首項為正數、公差為負數時，{|an|}不是等差數列；故選：C【題目點撥】本題考查了等差數列的定義及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10、D【解題分析】

由兩角和的正切公式求得，從而得，由二倍角公式求得，再求得，注意檢驗符合題意，可判斷三角形形狀．【題目詳解】，∴，∴，由，即.∴或.當時，，無意義.當時，，此時為正三角形.故選：D.【題目點撥】本題考查三角形形狀的判斷，考查兩角和的正切公式和二倍角公式，根據三角公式求出角是解題的基本方法．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先計算，再計算【題目詳解】在處測得樹頂的仰角為，在處測得樹頂的仰角為則在中，故答案為【題目點撥】本題考查了三角函數的應用，也可以用正余弦定理解答.12、6【解題分析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，結合圖象確定目標函數的最優(yōu)解，即可得到答案.【題目詳解】由題意，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，因為目標函數，可化為直線，當直線過點A時，此時目標函數在軸上的截距最大，此時目標函數取得最大值，又由，解得，所以目標函數的最大值為.故答案為：6.【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．13、【解題分析】試題分析：因為不等式有解，所以，因為，且，所以，當且僅當，即時，等號是成立的，所以，所以，即，解得或.考點：不等式的有解問題和基本不等式的求最值.【方法點晴】本題主要考查了基本不等式在最值中的應用，不等式的有解問題，在應用基本不等式求解最值時，呀注意“一正、二定、三相等”的判斷，運用基本不等式解題的關鍵是尋找和為定值或是積為定值，難點在于如何合理正確的構造出定值，對于不等式的有解問題一般選用參數分離法，轉化為函數的最值或借助數形結合法求解，屬于中檔試題.14、【解題分析】

利用誘導公式求解即可【題目詳解】，故答案為：【題目點撥】本題考查誘導公式，是基礎題15、【解題分析】

根據大角對大邊，利用余弦定理直接計算得到答案.【題目詳解】在中，角A，B，C的對邊分別為，若不妨設三邊分別為：3,5,7根據大角對大邊：角C最大故答案為【題目點撥】本題考查了余弦定理，屬于簡單題.16、.【解題分析】

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【題目詳解】球的體積為球的半徑球的表面積為：故答案為：【題目點撥】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用求出數列的通項公式；（2）利用累加法求數列的通項公式；【題目詳解】解：（1）①當時，即當時，②①減②得經檢驗時，成立故（2）（）……將上述式相加可得【題目點撥】本題考查作差法求數列的通項公式以及累加法求數列的通項公式，屬于基礎題.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題目條件a=1，可以將（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1換成a，達到齊次化的目的，再用正余弦定理解決；（2）已知∠A，要求△ABC的面積，可用公式，因此把問題轉化為求bc的最大值．【題目詳解】（1）因為（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理得：（1+b）（a-b）=（c-b）c∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，得b2+c2-a2=bc由余弦定理得：，所以．（2）因為b2+c2-a2=bc，所以bc=b2+c2-1≥2bc-1，可得bc≤1；所以，當且僅當b=c=1時，取等號．∴面積的最大值.【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形及面積問題，解決三角形面積最值問題常常結合均值不等式求解，屬于中等題.19、（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.【解題分析】

（1）根據題意直接寫出、、的值，可得出結果；（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數，可得知命題為真命題；（3）先證明出“”是“存在，當時，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.【題目詳解】（1）根據題意知，對任意正整數，為前項、、、中等于的項的個數，因此，，，；（2）真命題，證明如下：①當時，則，，，此時，當時，；②當時，設，則，，，此時，當時，.綜上所述，命題為真命題；（3）先證明：“”是“存在，當時，恒有成立”的充要條件.假設存在，使得“存在，當時，恒有成立”.則數列的前項為，，，，，，后面的項順次為，，，，故對任意的，，對任意的，取，其中表示不超過的最大整數，則，令，則，此時，有，這與矛盾，故若存在，當時，恒有成立，必有；從而得證.另外：當時，數列為，故，則.【題目點撥】本題考查數列知識的應用，涉及到命題真假的判斷，同時也考查了數列新定義問題，解題時要充分從題中數列的定義出發(fā)，充分利用分類討論思想，綜合性強，屬于難題.20、（1）；（2）5.【解題分析】

（1）根據求出和的值，利用角平分線和二倍角公式求出，即可求出；（2）根據正弦定理求出，的關系，利用向量的夾角公式求出，可得，正弦定理可得答案【題目詳解】解：（1）由，且，，，，則；（2）由正弦定理，得，即，，又，，由