電子測量第3章測量誤差及數(shù)據處理

3章．丈量誤差及數(shù)據處置3.1丈量誤差的分類和丈量結果的表征3.2丈量誤差的估計和處置3.3丈量不確定度3.4丈量數(shù)據處置3.1丈量誤差的分類和丈量結果的表征

3.1.1丈量誤差的分類根據丈量誤差的性質，丈量誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機誤差定義:在同一丈量條件下〔指在丈量環(huán)境、丈量人員、丈量技術和丈量儀器都一樣的條件下〕，多次反復丈量同一量值時〔等精度丈量〕，每次丈量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶爾誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對丈量值影響微小但卻互不相關的大量要素共同呵斥。這些要素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、丈量人員感官的無規(guī)律變化等。3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕例：對一不變的電壓在一樣情況下，多次丈量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次丈量的隨差沒有規(guī)律，但多次丈量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律?？山涍^數(shù)理統(tǒng)計的方法來處置,即求算術平均值隨機誤差定義：丈量結果與在反復性條件下，對同一被丈量進展無限多次丈量所得結果的平均值之差3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕2.系統(tǒng)誤差定義：在同一丈量條件下，多次丈量反復同一量時，丈量誤差的絕對值和符號都堅持不變，或在丈量條件改動時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產生的主要緣由是儀器的制造、安裝或運用方法不正確，環(huán)境要素〔溫度、濕度、電源等〕影響，丈量原理中運用近似計算公式，丈量人員不良的讀數(shù)習慣等。系統(tǒng)誤差闡明了一個丈量結果偏離真值或實踐值的程度。系差越小，丈量就越準確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在反復性條件下，對同一被丈量進展無限多次丈量所得結果的平均值與被丈量的真值之差。即3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕3.粗大誤差：粗大誤差是一種顯然與實踐值不符的誤差。產生粗差的緣由有：①丈量操作忽略和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未到達預定的要求而匆忙實驗等。②丈量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內阻電源的開路電壓③丈量環(huán)境條件的忽然變化如電源電壓忽然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起丈量儀器示值的猛烈變化等。含有粗差的丈量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據處置時，應剔除掉。3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕4.系差和隨差的表達式 在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。在任何一次丈量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差普通都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉化3.1.2丈量結果的表征

準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，那么準確度越高，即丈量值與實踐值符合的程度越高。精細度表示隨機誤差的影響。精細度越高，表示隨機誤差越小。隨機要素使丈量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。準確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。準確度越高，表示正確度和精細度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。射擊誤差表示圖3.1.2丈量結果的表征〔續(xù)〕丈量值是粗大誤差3.2丈量誤差的估計和處置3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在丈量中，隨機誤差是不可防止的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的要素引起的，比如外界條件〔溫度、濕度、氣壓、電源電壓等〕的微小動搖，電磁場的干擾，大地細微振動等。多次丈量，丈量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處置丈量數(shù)據，從而減少隨機誤差對丈量結果的影響。3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕〔1〕隨機變量的數(shù)字特征①

數(shù)學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為延續(xù)型隨機變量：

1.隨機誤差的分布規(guī)律3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕②方差和規(guī)范偏向方差是用來描畫隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度。設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)，那么X的方差定義為： D(X)=E(X－E(X))2 規(guī)范偏向定義為：

規(guī)范偏向同樣描畫隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度，并且與隨機變量具有一樣量綱。3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕丈量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的要素呵斥的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研討的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，那么可以為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么丈量數(shù)據和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？(2)丈量誤差的正態(tài)分布3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：丈量數(shù)據X的概率密度函數(shù)為：

隨機誤差的數(shù)學期望和方差為：同樣丈量數(shù)據的數(shù)學期望E(X)＝，方差D(X)＝3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕正態(tài)分布時概率密度曲線隨機誤差和丈量數(shù)據的分布外形一樣，由于它們的規(guī)范偏向一樣，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕規(guī)范偏向意義規(guī)范偏向是代表丈量數(shù)據和丈量誤差分布離散程度的特征數(shù)。規(guī)范偏向越小，那么曲線外形越鋒利，闡明數(shù)據越集中；規(guī)范偏向越大，那么曲線外形越平坦，闡明數(shù)據越分散。3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕〔3〕丈量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入〞的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內，而不知其分布時，普通可假定均勻分布。概率密度:均值:當時,規(guī)范偏向:

當時，3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕

2.有限次丈量的數(shù)學期望和規(guī)范偏向的估計值

求被丈量的數(shù)字特征，實際上需無窮多次丈量，但在實踐丈量中只能進展有限次丈量，怎樣辦？用事件發(fā)生的頻度替代事件發(fā)生的概率，當那么令n個可一樣的測試數(shù)據xi(i=1.2…,n)次數(shù)都計為1,當時，那么〔1〕有限次丈量的數(shù)學期望的估計值——算術平均值被丈量X的數(shù)學期望，就是當丈量次數(shù)時，各次丈量值的算術平均值3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕1.有限次丈量的數(shù)學期望的估計值—算術平均值規(guī)定運用算術平均值為數(shù)學期望的估計值，并作為最后的丈量結果。即：

算術平均值是數(shù)學期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次丈量值的算術平均值比丈量值更接近真值？3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕〔2〕算術平均值的規(guī)范偏向

故：算術平均值的規(guī)范偏向比總體或單次丈量值的規(guī)范偏向小倍。緣由是隨機誤差的抵償性。*算術平均值：3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕〔2〕有限次丈量數(shù)據的規(guī)范偏向的估計值

殘差：實驗規(guī)范偏向〔規(guī)范偏向的估計值〕，貝塞爾公式：算術平均值規(guī)范偏向的估計值：3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕【例3.1】用溫度計反復丈量某個不變的溫度，得11個丈量值的序列〔見下表〕。求丈量值的平均值及其規(guī)范偏向。解：①平均值

②用公式計算各丈量值殘差列于上表中③實驗偏向④規(guī)范偏向3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)3.丈量結果的置信問題〔1〕置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)〔或置信因子〕置信概率是圖中陰影部分面積3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕〔2〕正態(tài)分布的置信概率

當分布和k值確定之后，那么置信概率可定正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕〔3〕t分布的置信限

t分布與丈量次數(shù)有關。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于一樣的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和丈量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自在度：v=n-13.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕〔4〕非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。〔P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:3.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)〕3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次丈量同一量值時，誤差的絕對值和符號堅持不變，或者在條件改動時，誤差按一定的規(guī)律變化。多次丈量求平均不能減少系差。3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法〔1〕不變的系統(tǒng)誤差：校準、修正和實驗比對。〔2〕變化的系統(tǒng)誤差①

殘差察看法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據及其殘差按先后次序列表或作圖，察看各數(shù)據的殘差值的大小和符號的變化。存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕②馬利科夫判據：假設有累進性系統(tǒng)誤差，D值應明顯異于零。 當n為偶數(shù)時，

當n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據：檢驗周期性系差的存在。3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕3.系統(tǒng)誤差的減弱或消除方法〔1〕從產生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從丈量原理和丈量方法盡力做到正確、嚴厲。②

丈量儀器定期檢定和校準，正確運用儀器。③留意周圍環(huán)境對丈量的影響，特別是溫度對電子丈量的影響較大。④

盡量減少或消除丈量人員客觀緣由呵斥的系統(tǒng)誤差。應提高丈量人員業(yè)務技術程度和任務責任心，改良設備?！?〕用修正方法減少系統(tǒng)誤差 修正值＝－誤差=－〔丈量值－真值〕 實踐值＝丈量值＋修正值3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕〔3〕采用一些專門的丈量方法

①替代法②交換法③對稱丈量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法系統(tǒng)誤差可忽略不計的準那么是： 系統(tǒng)誤差或剩余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超越丈量結果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。3.2.3粗大誤差及其判別準那么大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據，分析能否是粗大誤差，假設是，那么應將對應的丈量值剔除。1.粗大誤差產生緣由以及防止與消除的方法粗大誤差的產生緣由①丈量人員的客觀緣由：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的緣由：丈量條件不測改動、受較大的電磁干擾，或丈量儀器偶爾失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產生粗大誤差。3.2.3粗大誤差及其判別準那么〔續(xù)〕

2.粗大誤差的判別準那么

統(tǒng)計學的方法的根本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超越置信區(qū)間的誤差就以為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法格拉布斯檢驗法式中，G值按反復丈量次數(shù)n及置信概率Pc確定3.2.3粗大誤差及其判別準那么〔續(xù)〕

應留意的問題①

一切的檢驗法都是人為客觀擬定的，至今無一致的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和丈量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。②

假設有多個可疑數(shù)據同時超越檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。假設有兩個一樣數(shù)據超出范圍時，應逐個剔除。③在一組丈量數(shù)據中，可疑數(shù)據應很少。反之，闡明系統(tǒng)任務不正常。3.2.3粗大誤差及其判別準那么〔續(xù)〕

解：①計算得s=0.033 計算殘差填入表3－7，最大，是可疑數(shù)據。②用萊特檢驗法3·s=3×0.033=0.099故可判別是粗大誤差，應予剔除。再對剔除后的數(shù)據計算得：s′=0.016 3·s′=0.048各丈量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個數(shù)據都為正常數(shù)據?！纠?.3】對某電爐的溫度進展多次反復丈量，所得結果列于表3－7，試檢查丈量數(shù)據中有無粗大誤差。3.2.4丈量結果的處置步驟①對丈量值進展系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據依次列成表格；②求出算術平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算規(guī)范偏向的估計值⑤按萊特準那么，或格拉布斯準那么檢查和剔除粗大誤差；⑥判別有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應查明緣由，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新丈量；⑦計算算術平均值的規(guī)范偏向；⑧寫出最后結果的表達式，即〔單位〕。3.2.4丈量結果的處置步驟〔續(xù)〕【例3．4】對某電壓進展了16次等精度丈量，丈量數(shù)據中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內的丈量結果表達式。3.2.4丈量結果的處置步驟〔續(xù)〕3.2.4丈量結果的處置步驟〔續(xù)〕3.2.4丈量結果的處置步驟〔續(xù)〕

等精度丈量與不等精度丈量等精度丈量：即在一樣地點、一樣的丈量方法和一樣丈量設備、一樣丈量人員、一樣環(huán)境條件〔溫度、濕度、干擾等〕，并在短時間內進展的反復丈量。不等精度丈量：在丈量條件不一樣時進展的丈量，丈量結果的精細度將不一樣。不等精度丈量處置方法：權值與規(guī)范偏向的平方成反比。權值丈量結果為加權平均值

3.2.4丈量結果的處置步驟〔續(xù)〕3.2.5誤差的合成分析問題：用間接法丈量電阻耗費的功率時，需丈量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？3.2.5誤差的合成分析〔續(xù)〕3.2.5誤差的合成分析〔續(xù)〕在實踐運用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的方法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進展分析和估算，以采取減少誤差的相應措施。但是，更嚴厲和更準確地計算合成誤差的方法是丈量不確定度實際中的合成不確定度評定，有關內容在本書第3章中討論3.3丈量不確定度3.3.1不確定度的概念不確定度是闡明丈量結果能夠的分散程度的參數(shù)?？捎靡?guī)范偏向表示，也可用規(guī)范偏向的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術語〔1〕規(guī)范不確定度：用概率分布的規(guī)范偏向表示的不確定度 ①A類規(guī)范不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。②B類規(guī)范不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度3.3.1不確定度的概念〔續(xù)〕〔2〕合成規(guī)范不確定度*由各不確定度分量合成的規(guī)范不確定度。*由于丈量結果是受假設干要素結合影響?！?〕擴展不確定度*合成規(guī)范不確定度的倍數(shù)表示的丈量不確定度，即用包含因子乘以合成規(guī)范不確定度得到一個區(qū)間半寬度。*包含因子的取值決議了擴展不確定度的置信程度。*通常丈量結果的不確定度都用擴展不確定度表示3.3.1不確定度的概念〔續(xù)〕

2.不確定度的分類3.3.1不確定度的概念〔續(xù)〕

3.不確定度的來源 ①被丈量定義的不完善，實現(xiàn)被丈量定義的方法不理想，被丈量樣本不能代表所定義的被丈量。②丈量安裝或儀器的分辨力、抗干擾才干、控制部分穩(wěn)定性等影響。③丈量環(huán)境的不完善對丈量過程的影響以及丈量人員技術程度等影響。④計量規(guī)范和規(guī)范物質的值本身的不確定度，在數(shù)據簡化算法中運用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在丈量過程中引入的近似值的影響。⑤在一樣條件下，由隨機要素所引起的被丈量本身的不穩(wěn)定性。3.3.2誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準確得到，是一個定性的概念表示測量結果的分散程度，可根據試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認識有關。隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質的誤差A類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應關系。須進行異常數(shù)據判別并剔除。剔除異常數(shù)據后再評定不確定度在最后測量結果中應修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應考慮修正不完善引入的不確定度分量。“誤差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進行定性分析。不確定度傳播律更科學，用于定量評定測量結果的合成不確定度1.規(guī)范不確定度的A類評定方法在同一條件下對被丈量X進展n次丈量，丈量值為xi(i=1,2,…,n)，(A)計算樣本算術平均值，作為被丈量X的估計值，并把它作為丈量結果。(B)計算實驗偏向式中自在度v=n－1.(C)A類不確定度3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕自在度意義：自在度數(shù)值越大，闡明丈量不確定度越可信。3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕

2.規(guī)范不確定度的B類評定方法B類方法評定的主要信息來源是以前丈量的數(shù)據、消費廠的技術證明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。確定丈量值的誤差區(qū)間〔α,-α〕，并假設被丈量的值的概率分布，由要求的置信程度估計包含因子k，那么B類規(guī)范不確定度uB為

其中a——區(qū)間的半寬度；k——置信因子，通常在2～3之間。分布三角梯形均勻反正弦k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.57633.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕表3－9正態(tài)分布時概率與置信因子的關系表3－10幾種非正態(tài)分布的置信因子k3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕

3.合成規(guī)范不確定度的計算方法〔1〕

協(xié)方差和相關系數(shù)的概念兩個隨機變量X和Y，其中一個量的變化導致另一個量的變化，那么這兩個量是相關的。獨立一定不相關，但不相關不一定獨立。①協(xié)方差的概念協(xié)方差協(xié)方差的估計值3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕②相關系數(shù)Q概念:表示兩隨機變量相關程度－1≤Q≤1。相關系數(shù)的估計值r(x，y)正相關負相關完全正相關完全負相關不相關0<Q<1－1<Q<0Q=1Q=－1Q=0〔2〕輸入量不相關時不確定度的合成①可寫出函數(shù)關系式Y＝ｆ〔X1，X2，……，XN〕；式中稱為靈敏系數(shù)②不能寫出函數(shù)關系式(3)輸入量相關時,運用不確定度傳播律

3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕〔4〕不確定度傳播律公式的幾種簡化方法①

一切的輸入量都相關，且相關系數(shù)ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1時，那么UC(y)為

②當被丈量的函數(shù)方式為Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不相關時，合成規(guī)范不確定度UC(y)為

3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕③

當被丈量的函數(shù)方式為且X1,X2,…,XN不相關時，相對合成規(guī)范不確定度UC(y)/Y為例:電功率P=IV那么3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕〔5〕不確定度分量的忽略一切不確定度分量均奉獻于合成不確定度，即只會使合成不確定度添加。忽略任何一個分量，都會導致合成不確定度變小。但由于采用的是方差相加得到合成方差，當某些分量小到一定程度后，對合成不確定度實踐上起不到什么作用，為簡化分析與計算，那么可以忽略不計。例如，忽略某些分量后，對合成不確定度的影響缺乏非常之一，就可根據情況忽略這些分量。3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕4.擴展不確定度確實定方法擴展不確定度U由合成規(guī)范不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到U＝k·uC 丈量結果表示為Y＝ｙ±U，即Y=y±kucy是被丈量Y的最正確估計值,k由置信概率〔常取0.95或0.99〕和概率分布〔正態(tài)、均勻、t分布等〕確定。算術平均值3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕包含因子k是的選取方法有:(A)無法得到合成規(guī)范不確定度的自在度，且丈量值接近正態(tài)分布時，那么普通?。氲牡湫椭禐?或3。(B)根據丈量值的分布規(guī)律和所要求的置信程度，選取ｋ值。例如，假設為均勻分布時，置信程度P＝0．95，查表得k＝1．65。P﹪k57.741951.65991.711001.73表3—11均勻分布時置信概率與置信因子k的關系3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕(C)根據要求的置信概率Pc和計算得到的自在度veff，查t分布的t值，得k。自在度的計算步驟如下：a)求A類不確定度分量的自在度

b)求B類不確定度分量的自在度c)求合成不確定度的自在度3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.4丈量不確定度的評定步驟

對丈量設備進展校準或檢定后，要出具校準或檢定證書；對某個被丈量進展丈量后也要報告丈量結果，并闡明丈量不確定度。①明確被丈量的定義和數(shù)學模型及丈量條件，明確丈量原理、方法，以及丈量規(guī)范、丈量設備等；②分析不確定度來源；③分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時要剔除異常數(shù)據；④計算合成規(guī)范不確定度；⑤計算擴展不確定度；⑥報告丈量結果。Y=y±kuc3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔續(xù)〕【例3．9】用電壓表直接丈量一個標稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻接受的功率。丈量所用的電壓的技術目的由運用闡明書得知，其最大允許誤差為±1％，經計量鑒定合格，證書指出它的自在度為10。(當證書上沒有有關自在度的信息時，就以為自在度是無窮大。)標稱值為200Ω的電阻經校準，校準證書給出其校準值為199.99Ω，校準值的擴展不確定度為0.02Ω〔包含因子k為2〕。用電壓表對該電阻在同一條件下反復丈量5次，丈量值分別為：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。丈量時溫度變化對丈量結果的影響可忽略不計。求功率的丈量結果及其擴展不確定度。電壓的B類不確定度電阻的B類不確定度電壓的A類不確定度解：〔1〕數(shù)學模型

〔2〕計算丈量結果的最正確估計值①②3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕3〕丈量不確定度的分析本例的丈量不確定度主要來源為①電壓表不準確；②電阻不準確；③由于各種隨機要素影響所致電壓丈量的反復性。3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕·〔4〕規(guī)范不確定度分量的評定①電壓丈量引入的規(guī)范不確定度電壓表不準引入的規(guī)范不確定度分量u1-〔V〕按B類評定。a1=2.32V×1%=0.023V(b)電壓丈量反復性引入的規(guī)范不確定度分量u2-〔V〕。按A類評定。3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕(c)由此可得:電壓的自在度如下：②電阻不準引入的規(guī)范不確定度分量u〔R〕由電阻的校準證書得知，其校準值的擴展不確定度U＝0.02Ω，且k=2，那么u〔R〕可由B類評定得到3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕〔5〕計算合成規(guī)范不確定度uC(P)，其中輸入量V〔電壓〕和R〔電阻〕不相關①計算靈敏系數(shù)c1和c2，得②計算UC(P)，得3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕〔6〕確定擴展不確定度U計算合成規(guī)范不確定度的有效自在度veff：電壓的自在度＝4.3，電阻的自在度可設為，那么③根據P＝0.95，veff＝5，查t分布，得④擴展不確定度U0.95為〔7〕報告最終丈量結果功率P＝〔0.027±0.004〕W〔置信程度P＝0.95〕包含因子k為2.57，有效自在度為5。1.合成不確定度的分配在進展丈量任務前，根據丈量準確度的要求來選擇丈量方案，確定每項不確定度的允許范圍〔1〕按等作用原那么分配不確定度：各個不確定度分量對合成不確定度的影響相等。假設確定度互不相關，各個不確定度分量相等，有：那么：〔2〕由于有的丈量值那么難以滿足要求，各分量靈敏系數(shù)也不同，必需根據詳細情況進展調整。對難以實現(xiàn)的不確定項進展補償；3.3.5合成不確定分配及最正確丈量方案的選擇

3.3.5合成不確定分配及最正確丈量方案的選擇〔續(xù)〕2.最正確丈量方案的選擇選擇目的：使丈量結果的不確定度為最小?！?〕選擇最有利的函數(shù)公式應先取包含丈量值數(shù)目最少的函數(shù)公式來表示；那么應選取不確定度較小的丈量值的函數(shù)公式．如丈量內尺寸的誤差比丈量外尺寸的誤差大，應選擇含有外尺寸的函數(shù)公式?！?〕使各個丈量值對函數(shù)的傳送系數(shù)為零或最小由函數(shù)公式可知，假設使不確定度傳送系數(shù)ci＝0或為最?。敲春铣刹淮_定度可相應減小。3.4丈量數(shù)據處置

3.4.1有效數(shù)字的處置1.數(shù)字修約規(guī)那么由于丈量數(shù)據和丈量結果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不一樣。為了使丈量結果的表示準確獨一，計算簡便，在數(shù)據處置時，需對丈量數(shù)據和所用常數(shù)進展修約處置。數(shù)據修約規(guī)那么：〔1〕小于5舍去——末位不變?！?〕大于5進1——在末位增1?！?〕等于5時，取偶數(shù)——當末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1〔將末位湊為偶數(shù)〕。3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕

例：將以下數(shù)據舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需求留意的是，舍入應一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結果為0.69，錯誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5〞的舍入處置上，采用取偶數(shù)規(guī)那么，是為了在比較多的數(shù)據舍入處置中，使產生正負誤差的概率近似相等。3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕2.有效數(shù)字假設截獲得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超越近似數(shù)末位的半個單位，那么該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005

3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。丈量數(shù)據的絕對值比較大〔或比較小〕，而有效數(shù)字又比較少的丈量數(shù)據，應采用科學計數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決議。丈量結果〔或讀數(shù)〕的有效位數(shù)應由該丈量的不確定度來確定，即丈量結果的最末一位應與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的丈量結果的值為63.44，且該量的丈量不確定度u＝0.4，丈量結果表示為63.4±0.4。3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕3.近似運算法那么 保管的位數(shù)原那么上取決于各數(shù)中準確度最差的那一項?！?〕加法運算 以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準〔各項無小數(shù)點那么以有效位數(shù)最少者為準〕，其他各數(shù)可多取一位。例如：

〔2〕減法運算：當兩數(shù)相差甚遠時，原那么同加法運算；當兩數(shù)很接近時，有能夠呵斥很大的相對誤差，因此，第一要盡量防止導致相近兩數(shù)相減的丈量方法，第二在運算中多一些有效數(shù)字。 3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕〔3〕乘除法運算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準，其他參與運算的數(shù)字及結果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保管一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保管至517和4.08，結果為35.5?！?〕乘方、開方運算：運算結果比原數(shù)多保管一位有效數(shù)字。例如：〔27.8〕2≈772.8 (115)2≈1.322×1043.4.2丈量數(shù)據的表示方法1.列表法根據測試的目的和內容，設計出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據易于參考比較，它對數(shù)據變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和閱歷公式法的根底。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.13.4.2丈量數(shù)據的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點是籠統(tǒng)、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及能否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標或極座標。普通是先按成對數(shù)據〔x，y〕描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于一切點接近，不強求經過各點，要使位于曲線兩邊的點數(shù)盡量相等3.閱歷公式法閱歷公式法就是經過對實驗數(shù)據的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定它們之間的數(shù)量關系，即用數(shù)學表達式表示各變量之間關系。有時又把這種閱歷公式稱為數(shù)學模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉化為線性回歸方程來解。3.4.2丈量數(shù)據的表示方法〔續(xù)〕一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx3.4.3建立閱歷公式的步驟知丈量數(shù)據列(xi,yii=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：〔1)將輸入自變量xi,作為橫坐標，輸出量yi即丈量值作為縱坐標，描畫在坐標紙上，并把數(shù)據點描畫成丈量曲線。〔2〕分析描畫的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的根本方式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，那么先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處置。③假設丈量曲線很難判別屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處置。即：

〔3〕由丈量數(shù)據確定擬合方程〔公式〕中的常量。3.4.3建立閱歷公式的步驟〔續(xù)〕(4)檢驗所確定的方程的準確性。①用丈量數(shù)據中的自變量代入擬合方程計算出函數(shù)值y′②計算擬合殘差③計算擬合曲線的規(guī)范偏向

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個數(shù)，n為丈量數(shù)據列長度。假設規(guī)范偏向很大，闡明所確定的公式根本方式有錯誤，應建立另外方式公式重做。3.4.4一元線性回歸用一個直線方程y=a+bx來表達丈量數(shù)據(xi,yii=1,2,…,n)之間的相互關系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。1.端點法此方法是將丈量數(shù)據中兩個端點，起點和終點〔即最大量程點〕的丈量值〔x1,y1〕和〔xn,yn〕，代入y=a+bx，那么a,b分別為3.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕2.平均選點法此方法是將全部n個丈量值(xi,yii=1,2,…,n)分成數(shù)目大致一樣的兩組，前半部k個丈量點為一組，其他的n-k個丈量點為另一組，兩組丈量點都有本人的“點系中心〞，其坐標分別為

經過兩個“點系中心〞的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：3.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕3.最小二乘法最小二乘法的根本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最正確直線。丈量數(shù)據中的任何一個數(shù)據yi與擬合直線上y=a+bx對應的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為丈量點數(shù)〕 即求a和b的偏導數(shù)，并令它們?yōu)榱悖纯山獾胊和b的值。3.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕【例3.10】對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計進展測試，輸出由數(shù)字電壓表讀數(shù)，所得各丈量點的輸出值列于下表中。試用端點法、平均選點法和最小二乘法擬合線性方程，并計算各種擬合方程的擬合精度。壓力〔MPa〕246810輸出〔mV〕10.04320.09330.40.12850.0723.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕壓力MPa輸出mV端點法平均選點法最小二乘法理想直線殘差理想直線殘差理想直線殘差210.04310.044－0.00110.95－0.05210.080－0.0337420.09320.0520.0412